高中數(shù)學(xué)直線和圓錐曲線?？碱}型探析

摘 要：在新課標(biāo)背景下，教師需要針對(duì)高中數(shù)學(xué)中直線和圓錐曲線的?？碱}型進(jìn)行詳細(xì)分析，通過(guò)整合與歸納數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，在課堂練習(xí)中引導(dǎo)學(xué)生掌握每一種題型的解析能力.本文主要闡述了在橢圓、雙曲線和拋物線教學(xué)中?？碱}型，引導(dǎo)學(xué)生可以更好地理解和掌握高中數(shù)學(xué)中的圓錐曲線知識(shí).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；直線和圓錐曲線；?？碱}型

在高中數(shù)學(xué)解析幾何教學(xué)過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生理解直線和圓錐曲線的概念.通過(guò)課堂練習(xí)的方式，幫助學(xué)生了解高考中的常考題型；通過(guò)在課堂上講解數(shù)學(xué)概念的應(yīng)用，并對(duì)每一種題型進(jìn)行歸納和解析，促進(jìn)學(xué)生更好地掌握解題方法.

1 圓錐曲線常考題型的應(yīng)用

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱“新課標(biāo)”）對(duì)教與學(xué)都提出了新的要求，教師在課堂上講解高考專題時(shí)，應(yīng)當(dāng)立足于核心素養(yǎng)的培育.［1］例如，在圓錐曲線的教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線的定義、性質(zhì)和應(yīng)用的知識(shí)要點(diǎn)，并在課堂練習(xí)中突破圓錐曲線問(wèn)題及范圍與最值問(wèn)題.

在分析不同解題類(lèi)型的過(guò)程中，教師引導(dǎo)學(xué)生掌握?qǐng)A錐曲線與方程的關(guān)系，以及范圍與最值的求解方法.［2］

1.1 題型一：橢圓定義的應(yīng)用

例1 在△ABC中，B（-6，0），C（0，8），且sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列.

（1）頂點(diǎn)A的軌跡是什么？

（2）指出軌跡的焦點(diǎn)和焦距.

（1）解：由sinB，sinA，sinC成等差數(shù)列，得sinB+sinC=2sinA.由正弦定理可得AB+AC=2BC.

又BC=10，所以AB+AC=20，且20gt;BC.

所以點(diǎn)A的軌跡是橢圓（除去直線BC與橢圓的交點(diǎn)）.

（2）橢圓的焦點(diǎn)為B，C，焦距為10.

教師在課堂上講解直線和圓錐曲線?？碱}型時(shí)，注重培養(yǎng)學(xué)生的核心思想，促進(jìn)學(xué)生的思維升華.

通過(guò)教師梳理知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生了解圓錐曲線的實(shí)際背景，促進(jìn)學(xué)生自主學(xué)習(xí)，主動(dòng)探究圓錐曲線的?？碱}型，從具體情境中掌握?qǐng)A錐曲線的解題過(guò)程.

1.2 題型二：雙曲線定義的應(yīng)用

例2 已知圓C1：（x+2）2+y2=1和圓C2：（x-2）2+y2=9，動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切，求動(dòng)圓圓心M的軌跡.

解：由已知，得圓C1的圓心為C1（-2，0），半徑r1=1；圓C2的圓心為C2（2，0），半徑r2=3.設(shè)動(dòng)圓M的半徑為r.

因?yàn)閯?dòng)圓M與圓C1相外切，所以MC1=r+1①.又動(dòng)圓M與圓C2相外切，所以MC2=r+3②.②-①，得MC2-MC1=2，且2lt;C1C2=4.

所以動(dòng)圓圓心M的軌跡為雙曲線的左支，且除去點(diǎn)（-1，0）.設(shè)動(dòng)圓半徑為r，利用動(dòng)圓M同時(shí)與圓C1及圓C2相外切得兩個(gè)等式，相減后消去r，得到點(diǎn)M的關(guān)系式.注意到MC2-MC1=2中沒(méi)有絕對(duì)值，所以軌跡是雙曲線的一支.又圓C1與圓C2相切于點(diǎn)（-1，0），所以M的軌跡不過(guò)（-1，0）.

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生突破橢圓、拋物線的定義和幾何圖形知識(shí)的重點(diǎn)、難點(diǎn)，掌握雙曲線的定義和幾何圖形的解題技巧.

2 多維探究最值問(wèn)題的常考題型

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)采用多維探究方法和幾何法求最值問(wèn)題.幾何法求最值的解決方法，就是通過(guò)研究函數(shù)圖象的性質(zhì)，利用圖形特征來(lái)尋找最值涉及多個(gè)變量的函數(shù).［3］探究最值問(wèn)題的常考題型，歸納出下面三個(gè)結(jié)論.

第一，教師確定函數(shù)在坐標(biāo)平面上的表示，并根據(jù)變量的個(gè)數(shù)確定相應(yīng)的圖形.例如，二維問(wèn)題可以通過(guò)畫(huà)圖找到函數(shù)的最值，三維問(wèn)題則需要使用三維坐標(biāo)系進(jìn)行分析.通過(guò)繪制函數(shù)圖象，觀察其與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，以及函數(shù)的單調(diào)性來(lái)確定最值問(wèn)題.

第二，對(duì)于三維問(wèn)題，則需要考慮三個(gè)坐標(biāo)軸之間的關(guān)系，并利用幾何方法進(jìn)行分析，教師通過(guò)利用函數(shù)的對(duì)稱性、直角坐標(biāo)系變換等技巧來(lái)簡(jiǎn)化求解過(guò)程.

第三，在處理多維最值問(wèn)題時(shí)，需要靈活運(yùn)用各種方法，結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行探究和求解.扎實(shí)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和靈活的思維方式，能夠幫助學(xué)生更好地理解和解決最值問(wèn)題.

例3 （2020·新高考全國(guó)Ⅱ）已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）過(guò)點(diǎn)M（2，3），點(diǎn)A為其左頂點(diǎn)，且AM的斜率為12.

（1）求C的方程.

（2）點(diǎn)N為橢圓上任意一點(diǎn)，求△AMN的面積的最大值.

解：（1）由題意可知，直線AM的方程為y-3=12（x-2），即x-2y=-4.

當(dāng)y=0時(shí)，解得x=-4，所以a=4.

由橢圓C：x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0）過(guò)點(diǎn)M（2，3），可得416+9b2=1，解得b2=12.

所以C的方程為x216+y212=1.

（2）設(shè)與直線AM平行的直線方程為x-2y=m.

如圖1所示，當(dāng)直線與橢圓相切時(shí)，與AM距離比較遠(yuǎn)的直線與橢圓的切點(diǎn)為N，此時(shí)△AMN的面積取得最大值.

聯(lián)立x-2y=m，

x216+y212=1，可得3（m+2y）2+4y2=48.

化簡(jiǎn)，得16y2+12my+3m2-48=0.

所以Δ=144m2-4×16（3m2-48）=0，即m2=64，解得m=±8.

與AM距離比較遠(yuǎn)的直線方程為x-2y=8.

點(diǎn)N到直線AM的距離，即兩平行線之間的距離d=8+41+4=1255.

由兩點(diǎn)之間的距離公式，可得|AM|=（2+4）2+32=35.

所以△AMN的面積的最大值為12×35×1255=18.

3 代數(shù)法求最值的?？碱}型

代數(shù)法求最值，是圓錐曲線中普遍存在的一類(lèi)問(wèn)題.教學(xué)中，

高中數(shù)學(xué)教師可運(yùn)用幾何法，包括三角形的形狀判斷、線段長(zhǎng)度、圓的定位等，通過(guò)對(duì)函數(shù)的構(gòu)造或變量替換，從而尋找解決問(wèn)題的關(guān)鍵條件，為求出結(jié)果提供有效的策略.

例4 在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓O交x軸于點(diǎn)F1，F(xiàn)2，交y軸于點(diǎn)B1，B2，以B1，B2為頂點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為左、右焦點(diǎn)的橢圓E恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，22.

（1）求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（2）設(shè)經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-2，0）的直線l與橢圓E交于M，N兩點(diǎn)，求△F2MN的面積的最大值.

解：（1）由題意，得橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上.

設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1（agt;bgt;0），焦距為2c，則b=c.

∴a2=b2+c2=2b2，∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22b2+y2b2=1.

∵橢圓E經(jīng)過(guò)點(diǎn)1，22，∴12b2+12b2=1，解得b2=1.

∴橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1.

（2）∵點(diǎn)（-2，0）在橢圓E外，∴直線l的斜率存在.

設(shè)直線l的斜率為k，則直線l為y=k（x+2）.設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2）.

由y=k（x+2），

x22+y2=1，消去y，得（1+2k2）x2+8k2x+8k2-2=0.

∴x1+x2=-8k21+2k2，x1x2=8k2-21+2k2.

Δ=64k4-4（1+2k2）（8k2-2）gt;0，解得0≤k2lt;12.

∴|MN|=1+k2|x1-x2|=21+k2·2-4k2（1+2k2）2.

∵點(diǎn)F2（1，0）到直線l的距離d=3|k|1+k2，

∴△F2MN的面積為S=12|MN|·d=

3k2（2-4k2）（1+2k2）2.

令1+2k2=t，t∈［1，2），得k2=t-12.

∴S=3（t-1）（2-t）t2=3-t2+3t-2t2=

3-1+3t-2t2=3-21t-342+18.

當(dāng)1t=34，即t=4343∈［1，2時(shí)，S取得最大值，Smax=324，此時(shí)k=±66.

∴△F2MN的面積的最大值是324.

4 結(jié)語(yǔ)

綜上所述，教師通過(guò)總結(jié)、歸納高中數(shù)學(xué)知識(shí)概念，組織學(xué)生在課堂上進(jìn)行練習(xí)題訓(xùn)練，重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生掌握數(shù)學(xué)中直線和圓錐曲線的?？碱}型中的一些解題技巧.除此以外，還要強(qiáng)調(diào)學(xué)生學(xué)會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)確定直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，促進(jìn)學(xué)生總結(jié)不同的?？碱}型問(wèn)題，包括動(dòng)弦過(guò)定點(diǎn)、過(guò)已知曲線上定點(diǎn)的弦、共線向量、面積問(wèn)題、弦或弦長(zhǎng)為定值、角度問(wèn)題、四點(diǎn)共線問(wèn)題、范圍問(wèn)題及存在性問(wèn)題等，啟發(fā)學(xué)生掌握靈活的解題技巧，最終全面提高數(shù)學(xué)知識(shí)概念及?？碱}型的解題綜合素養(yǎng)能力.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］吳爽.淺析圓錐曲線參數(shù)方程在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用［J］.數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2018（15）：140.

［3］豐效輝.高中數(shù)學(xué)圓錐曲線復(fù)習(xí)策略探析［J］.才智，2017（11）：113.