注重知識關(guān)聯(lián) 強化數(shù)學思維

摘 要：“冪函數(shù)”是“函數(shù)概念與性質(zhì)”的延續(xù)、拓展和應(yīng)用，“冪函數(shù)”擔負著應(yīng)用已學知識來研究具體函數(shù)的作用，“冪函數(shù)”的研究方法、路徑對后面學習“指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)”起著示范作用.在“冪函數(shù)”的研究過程中，須整體把握教學內(nèi)容，注重知識關(guān)聯(lián)；須經(jīng)歷完整的研究過程，強化數(shù)學思維.

關(guān)鍵詞：知識關(guān)聯(lián)；數(shù)學思維；冪函數(shù)

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》在“實施建議”中指出：“要注意數(shù)學學科核心素養(yǎng)與具體教學內(nèi)容的關(guān)聯(lián).數(shù)學教師要深刻認識數(shù)學學科核心素養(yǎng)的育人價值，把握數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能之間的關(guān)聯(lián)，理解數(shù)學學科核心素養(yǎng)的內(nèi)涵和水平劃分，將數(shù)學學科核心素養(yǎng)的落實變成自己的自覺行動.”［1］一方面，教師要厘清知識的來龍去脈，建立知識之間的關(guān)聯(lián)；另一方面，教師要研究應(yīng)該用什么樣的途徑引發(fā)學生思考，能夠讓學生在掌握知識技能的同時，強化數(shù)學思維，感悟知識的本質(zhì).

在以課時為單位的教學中，教師比較關(guān)注所授課時知識和技能的獲得，而忽視數(shù)學知識內(nèi)在的關(guān)聯(lián)，忽略數(shù)學學習和研究方法的一致性，易造成知識學習的淺顯化、碎片化，使學生對知識的發(fā)展過程缺乏整體感知，不能正確理解數(shù)學知識的本質(zhì).那么如何整體把握教學內(nèi)容，強化數(shù)學思維，突出數(shù)學本質(zhì)，發(fā)展學生的核心素養(yǎng)呢？不久前，筆者執(zhí)教了一節(jié)蘇教版《義務(wù)教育教科書數(shù)學必修第一冊》中“冪函數(shù)”的公開課，下面以這節(jié)課的教學為例，談?wù)勱P(guān)于注重知識關(guān)聯(lián)，強化數(shù)學思維的做法與思考.

1 教學目標解析

通過具體實例引入幾個特殊函數(shù)，并對幾個特殊函數(shù)的共性進行觀察，抽象出一般形式.了解冪函數(shù)的概念，理解冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)，通過對冪函數(shù)的學習，體會研究一種具體函數(shù)的方法與路徑，累積研究具體函數(shù)的基本活動經(jīng)驗.在冪函數(shù)的研究過程中，體會從一般到特殊，特殊到一般，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，提升數(shù)學建模、數(shù)學抽象、直觀想象、邏輯推理數(shù)學核心素養(yǎng).

2 教學重難點分析

在初中階段，學生已會通過列表、描點、連線制作函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象直觀感知函數(shù)性質(zhì)；

在高中階段，學生已學習函數(shù)概念和性質(zhì)，掌握用數(shù)學符號語言精準刻畫函數(shù)奇偶性和單調(diào)性的理論知識，學生已經(jīng)具備直接通過函數(shù)解析式分析出函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的能力，這使函數(shù)圖象與特質(zhì)的探究有了“形”的直觀與“數(shù)”的嚴謹.

本節(jié)課讓學生自己動手實踐，引導(dǎo)學生思考可以結(jié)合函數(shù)解析式分析出函數(shù)的性質(zhì).借助函數(shù)解析式，通過代數(shù)運算可以得到冪函數(shù)y=x3，y=x12的有關(guān)性質(zhì).通過學生動手作y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的圖象，教師再利用GeoGebra軟件（以下簡稱“GGB軟件”）繪制其他冪函數(shù)的圖象，讓學生從直觀感知上歸納總結(jié)冪函數(shù)具有的共性，從而培養(yǎng)學生將函數(shù)圖象與代數(shù)運算相結(jié)合來研究函數(shù)性質(zhì)的習慣.基于以上分析，確定本節(jié)課的教學重難點如下.

（1）教學重點.冪函數(shù)的概念，冪函數(shù)的性質(zhì).

（2）教學難點.冪函數(shù)y=x3，y=x12的圖象與性質(zhì)，冪函數(shù)性質(zhì)的歸納.

3 教學過程分析

3.1 章引言

函數(shù)概念的分析，為探尋種種運動規(guī)律提供有力工具，教給人們?nèi)绾我罁?jù)已有的經(jīng)驗去預(yù)測未來的事物，從而進一步獲得自然界的科學知識，從千姿百態(tài)的現(xiàn)象中總結(jié)出反映本質(zhì)的基本規(guī)律.［2］

【設(shè)計意圖】本章引言告訴了我們“為什么學、學什么、怎么學”，本章介紹數(shù)學新知識學習的整體思路，以及如何依據(jù)已有的經(jīng)驗去預(yù)測未來的事物.

3.2 問題情境

請將下列問題中的y表示成x的函數(shù).（PPT展示，學生口答）

（1）如果一個長方形紙片的長為x，寬為1，則這個長方形紙片的面積y=""nbsp; .

（2）如果一個長方形紙片的長為x，面積為1，則這個長方形紙片的寬y=""" .

（3）如果一個正方形紙片的邊長為x，則這個正方形紙片的面積y=""" .

（4）如果一個正方形紙片的面積為x，則這個正方形紙片的邊長y=""" .

（5）如果一個正方體的盒子棱長為x，則這個正方體盒子的體積y=""" .

【設(shè)計意圖】讓學生從簡潔的、熟悉的情境中提取有關(guān)冪函數(shù)的知識，并從三個熟悉的冪函數(shù)過渡到另外兩個，

由易到難，由熟悉到陌生，為后續(xù)的研究埋下伏筆.

問題1 函數(shù)y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12具有什么共同特征？

【設(shè)計意圖】從具體實例抽象出數(shù)學模型，讓學生體會從特殊到一般的思維過程，發(fā)展學生數(shù)學抽象思維.

3.3 概念建構(gòu)

一般地，我們把形如y=xα的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)

問題2 你能再舉出一些冪函數(shù)嗎？

【設(shè)計意圖】通過學生自己舉出的一些冪函數(shù)實例，以及教師隨手在黑板上寫出的幾個函數(shù)，如y=（2x）5，y=2x，y=1x3，讓學生辨別是否為冪函數(shù)，加深對冪函數(shù)的認識.

3.4 探究性質(zhì)

問題3 知道了冪函數(shù)的概念，如何研究y=xα的性質(zhì)呢？

【設(shè)計意圖】研究一類函數(shù)的性質(zhì)，應(yīng)該由一般到特殊，先研究具體的冪函數(shù)，然后找共性，總結(jié)性質(zhì).通過研究y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的性質(zhì)，進而由特殊推廣到一般.

問題4 如何研究y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的性質(zhì)，需要研究哪些性質(zhì)？

【設(shè)計意圖】如何研究其性質(zhì)，學生可能想到畫圖，通過列表、描點、連線，學生可以輕松畫出前三個函數(shù)的圖象，但是對于y=x3，y=x12的圖象，學生僅用列表、描點、連線就不能準確畫出圖象，需要先根據(jù)解析式分析函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性，然后根據(jù)性質(zhì)進行作圖，這也是教材緊接著安排例1的原因.

例1 寫出下列函數(shù)的定義域，并分別指出它們的奇偶性、單調(diào)性.

（1）y=x3；（2）y=x12；（3）y=x-2.

【設(shè)計意圖】例1是對上一章“函數(shù)圖象和性質(zhì)”內(nèi)容的一個具體應(yīng)用，具有發(fā)展學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的功能，通過函數(shù)解析式，并根據(jù)已有的知識，可以分析出其定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性等.有了代數(shù)層面的理論研究，對于畫出函數(shù)的草圖起到了事半功倍的作用.

問題5 我們將y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12圖象放在同一坐標系下觀察，它們的圖象有著各自的特點，作為一類函數(shù)有什么共性嗎？

【設(shè)計意圖】通過y=x，y=x-1，y=x2，y=x3，y=x12的圖象研究（如圖1、圖2），思考這類函數(shù)的共性，由特殊到一般的探究思路.在此過程中，可以借助GGB軟件作圖演示學生的猜想，充分發(fā)揮信息技術(shù)的直觀便捷的優(yōu)勢.

學生經(jīng)歷從數(shù)到形，從形到數(shù)，經(jīng)歷發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、解決問題的過程，提高了數(shù)學學科直觀想象的核心素養(yǎng).

3.5 數(shù)學應(yīng)用

例2 試比較下列各組數(shù)的大小.

（1）1.13，0.893.

（2）2.112，212，1.812.

（3）121.3，1，313.

【設(shè)計意圖】通過各組數(shù)的大小比較，引導(dǎo)學生注意審題，觀察共性，寫出對應(yīng)的函數(shù)，

再通過函數(shù)的單調(diào)性進行求解.第（1）問、第（2）問容易觀察共性，易寫出相應(yīng)的函數(shù)，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求解.第（3）問給學生一種思想，當兩數(shù)不容易比較大小時，可以尋求中介，搭建橋梁進行比較.同時還要培養(yǎng)學生直觀想象的能力，腦中有圖，圖中有數(shù)，才能夠快速解決問題.

3.6 課堂小結(jié)

問題6 通過這節(jié)課的學習，同學們認為對一個新函數(shù)的學習，應(yīng)該研究哪些內(nèi)容，如何研究？

【設(shè)計意圖】回顧研究冪函數(shù)的過程、內(nèi)容和方法，積累研究新函數(shù)的基本活動經(jīng)驗，在冪函數(shù)的研究過程中體會一般到特殊，特殊到一般，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學思想方法，發(fā)展數(shù)學建模、數(shù)學抽象，直觀想象、邏輯推理素養(yǎng).同時說明“冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)”的關(guān)聯(lián)性，提出下面要學習的內(nèi)容.

4 教學反思

4.1 以構(gòu)建函數(shù)的知識體系培養(yǎng)系統(tǒng)性思維方式

本課時的核心知識是冪函數(shù)，但教師眼里不能只有冪函數(shù)，要努力讓學生看到冪函數(shù)與函數(shù)概念與性質(zhì)的關(guān)聯(lián)，冪函數(shù)與后面要學習的指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的關(guān)聯(lián)，以及冪函數(shù)與三角函數(shù)的關(guān)聯(lián).用寬領(lǐng)域的研究視野去思考知識整體與局部的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，落實從整體規(guī)劃教學與局部挖掘已有知識的學習方式，遷移前后知識相似問題的研究策略.同時，要注重章引言，章引言是每單元教學中的統(tǒng)領(lǐng)性內(nèi)容，是培養(yǎng)系統(tǒng)性思維重要的方式，包含了“為什么學、學什么、怎么學”三個問題，但在平時教學中容易被教師忽略，需要引起我們教師的關(guān)注.

4.2 以冪函數(shù)的研究方法培養(yǎng)拓廣性思維方式

數(shù)學教學研究的起點是概念，但數(shù)學教學的研究方式不僅在于概念生成，更在于問題解決的過程中形成的認知策略.系統(tǒng)性思維方式讓數(shù)學知識的學習有序化，但在數(shù)學概念學習中，概念的生成和同化都是拓廣性思維方式.在冪函數(shù)的研究中，首先，由生活情境通過數(shù)學建模得到5個函數(shù)解析式；其次，通過啟發(fā)式問題讓學生抽象出冪函數(shù)的概念，在生成冪函數(shù)的概念后，讓學生舉出一些冪函數(shù)，同時又借助易混淆的幾個函數(shù)解析式讓學生辨別冪函數(shù)，在概念辨清后提問學生如何研究冪函數(shù)，啟發(fā)學生從一般到特殊進行研究；最后，由特殊回到一般，先總后分再總.有了研究方向后，還需學生解決需要研究什么，研究幾類具體冪函數(shù)的哪些性質(zhì).學生通過初中階段的學習經(jīng)驗，通過列表、描點、連線作圖，但是學生初中沒有畫過y=x3，y=x12的圖象，這時又拓廣到前章學習過的由函數(shù)解析式研究函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性，達到了以形助數(shù)，以數(shù)解形的目的.學生通過幾類具體的函數(shù)圖象，能由特殊到一般抽象出冪函數(shù)的性質(zhì)，掌握其性質(zhì)并加以應(yīng)用.

4.3 以數(shù)學學科中相似問題解決辦法培養(yǎng)同構(gòu)性思維方式

數(shù)學思維方式通過系統(tǒng)性思維方式展開知識內(nèi)容，拓廣性思維方式作用于同一概念下知識的生成和同化，建構(gòu)出同一概念在不同問題情境下的分類研究.同構(gòu)型思維方式是作用于不同概念數(shù)學知識解決策略的共同點的思維，類比不同的概念在解決問題中的類似點是數(shù)學知識體系的類比研究.冪函數(shù)是學生進入高中之后，學的第一個具體函數(shù)，它的研究方法為后面學習指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)提供了研究模板.學生通過冪函數(shù)的研究過程，知道了研究函數(shù)的一般路徑，同時還掌握了研究問題的一般方法，即研究什么，怎么研究，有無借鑒經(jīng)驗，從哪方面研究，如何應(yīng)用等.在平時教學中要通過有效的問題設(shè)計來展示數(shù)學思維的本質(zhì)，讓學生在問題解決中提升數(shù)學素養(yǎng).

數(shù)學作為一門思維性較強的學科，數(shù)學教學的意義在于促進學生數(shù)學思維的發(fā)展.創(chuàng)設(shè)情境，喚醒思維；問題導(dǎo)向，激活思維；活動操作，聚焦思維.需整體把握教學內(nèi)容，注重知識關(guān)聯(lián)；需經(jīng)歷完整研究過程，強化數(shù)學思維.

參考文獻

［1］中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］ 單墫，李善良.普通高中教科書數(shù)學必修第一冊［M］.南京：江蘇鳳凰教育出版社，2022.

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［4］ 米妍，王光明.整體性數(shù)學思維方式視野下的教材閱讀——基于章建躍先生《實數(shù)》一章的教材分析［J］.數(shù)學通報，2017（10）：8-12.