新工科背景下“復(fù)變函數(shù)與積分變換”教學(xué)改革探索

［摘 要］ 新工科背景下對(duì)人才培養(yǎng)提出了新的要求，其內(nèi)涵是以立德樹人為引領(lǐng)，培養(yǎng)多元化、創(chuàng)新型工程人才。新工科教育理念突出了數(shù)學(xué)理論和方法對(duì)工科專業(yè)的支撐作用。在新工科的教育理念和背景下，針對(duì)當(dāng)前“復(fù)變函數(shù)與積分變換”教學(xué)中存在的不足，從課程思政、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式、考核模式等方面進(jìn)行了改革，以提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提高教學(xué)效果，培養(yǎng)符合新工科要求的具有高級(jí)思維能力、實(shí)際應(yīng)用能力及正確價(jià)值觀的創(chuàng)新型人才。

［關(guān)鍵詞］ 新工科；教學(xué)改革；課程思政；可視化教學(xué)

［基金項(xiàng)目］ 2022年度山東省精品示范課“數(shù)學(xué)物理方程”（16202210003）

［作者簡(jiǎn)介］ 牟海寧（1979—），女，山東棲霞人，理學(xué)博士，中國(guó)石油大學(xué)（華東）理學(xué)院講師，主要從事數(shù)值計(jì)算和偏微分方程研究。

［中圖分類號(hào)］ G642.0 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1674-9324（2024）26-0045-04 ［收稿日期］ 2023-09-28

引言

在新工科背景下，各高校需秉承立德樹人根本任務(wù)，以培養(yǎng)應(yīng)用型、創(chuàng)新型人才為目標(biāo)，積極開展教育教學(xué)改革［1-2］?！皬?fù)變函數(shù)與積分變換”是高等院校中許多工科專業(yè)的重要數(shù)學(xué)基礎(chǔ)課。復(fù)變函數(shù)論在流體力學(xué)、電磁學(xué)等領(lǐng)域有著廣泛應(yīng)用，而積分變換理論在信號(hào)處理、自動(dòng)控制、圖形圖像處理、地質(zhì)勘探等工程技術(shù)領(lǐng)域有著重要應(yīng)用［3］。學(xué)習(xí)此課程能夠培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和應(yīng)用能力，培養(yǎng)學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力。“復(fù)變函數(shù)與積分變換”內(nèi)容主要包括：復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)、解析函數(shù)、復(fù)變函數(shù)積分、級(jí)數(shù)、留數(shù)及其應(yīng)用、共形映射、傅里葉積分變換和拉普拉斯變換等，內(nèi)容比較抽象、理論性和實(shí)用性強(qiáng)，很多學(xué)生認(rèn)為課程比較難學(xué)，有畏難心理。為提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，提升教學(xué)效果，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，我們從課程思政、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、教學(xué)模式以及考核模式等方面進(jìn)行了教學(xué)改革探索。

一、課程教學(xué)中存在的問(wèn)題

根據(jù)十多年的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)以及調(diào)查研究發(fā)現(xiàn)，“復(fù)變函數(shù)與積分變換”教學(xué)中存在以下問(wèn)題［4］。

1.課程思政教育不足。教師對(duì)思政的認(rèn)識(shí)和重視不足。多數(shù)教師只注重傳授專業(yè)知識(shí)而忽視了思政教育?！皬?fù)變函數(shù)與積分變換”課程中蘊(yùn)含著豐富的思政元素，但教學(xué)過(guò)程中缺少思政教育，未能充分發(fā)揮其育人功能。

2.教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)結(jié)合不夠緊密，缺乏前沿性知識(shí)。在傳統(tǒng)教學(xué)中，面對(duì)不同專業(yè)、不同層次的學(xué)生，教學(xué)內(nèi)容是統(tǒng)一的，學(xué)生只能被動(dòng)接受教學(xué)內(nèi)容和進(jìn)度，導(dǎo)致學(xué)生對(duì)課程的學(xué)習(xí)興趣打折扣。

3.教學(xué)模式單一。以教師為主體的灌輸式教學(xué)方式無(wú)法較好地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)主動(dòng)性和積極性，不能有效地追蹤到學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。如何讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣和主動(dòng)性是急需解決的關(guān)鍵問(wèn)題。

4.教學(xué)手段和教學(xué)方法單一。由于復(fù)變函數(shù)理論的抽象性特點(diǎn)，如何將傳統(tǒng)的板書教學(xué)與PPT教學(xué)兩者有機(jī)結(jié)合起來(lái)是關(guān)鍵，引入可視化教學(xué)，將抽象問(wèn)題直觀化。

5.考核模式單一。傳統(tǒng)的考核方式是平時(shí)作業(yè)+期末考試，缺少對(duì)學(xué)生的過(guò)程化考核，無(wú)法對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行持續(xù)追蹤和監(jiān)督，缺乏教育評(píng)價(jià)的診斷和改進(jìn)功能，導(dǎo)致部分學(xué)生學(xué)習(xí)效果欠佳。

二、教學(xué)改革措施

新工科的教育背景下，要求在教學(xué)中以“學(xué)生為中心”，以專業(yè)需求為導(dǎo)向，培養(yǎng)具有高級(jí)思維能力、創(chuàng)新能力的德才兼?zhèn)涞目沙掷m(xù)性發(fā)展的人才。針對(duì)上述提出的問(wèn)題及新工科的教育理念，采取以下幾個(gè)改革措施。

（一）加強(qiáng)思政建設(shè)

充分挖掘“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程中的思政元素，將其融入教學(xué)過(guò)程中，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，提高學(xué)生的探索精神，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。例如，第一堂課介紹復(fù)變函數(shù)的發(fā)展歷史及其在實(shí)際工程領(lǐng)域中的應(yīng)用時(shí)，向?qū)W生介紹柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯等科學(xué)家對(duì)復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域做出的貢獻(xiàn)，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到復(fù)變函數(shù)論發(fā)展至今是一代代科學(xué)家艱苦努力取得的成果，以此激勵(lì)學(xué)生不畏艱苦、勇于追求科學(xué)真理。

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是“高等數(shù)學(xué)”的后續(xù)課程，許多定理和結(jié)論都是“高等數(shù)學(xué)”在實(shí)數(shù)域中的推廣和發(fā)展，但許多結(jié)論和實(shí)函數(shù)的結(jié)論不同，甚至相悖。如在復(fù)數(shù)域中，負(fù)數(shù)可以開平方根并且任何一個(gè)非零負(fù)數(shù)開n次方根有且僅有n個(gè)不同的根等；在復(fù)變函數(shù)中，指數(shù)函數(shù)ez是周期函數(shù)，三角函數(shù)sin z和cos z為無(wú)界函數(shù)。因此，在教學(xué)中引入類比教學(xué)法，引導(dǎo)學(xué)生找到相關(guān)結(jié)論的異同，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)展的思維思考問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生的探究精神和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)精神。

柯西積分公式和高階導(dǎo)數(shù)公式說(shuō)明對(duì)于解析函數(shù)來(lái)說(shuō)，區(qū)域內(nèi)部的函數(shù)值完全可由邊界上的積分值來(lái)確定，即“邊界決定內(nèi)部”的數(shù)學(xué)思想，這彰顯了解析函數(shù)局部反映整體的性質(zhì)，由此可引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)要善于發(fā)現(xiàn)、總結(jié)數(shù)學(xué)規(guī)律，探究數(shù)學(xué)思想，有助于培養(yǎng)良好的數(shù)學(xué)思維。

在講解洛朗級(jí)數(shù)時(shí)，向?qū)W生介紹科學(xué)家洛朗理論結(jié)合實(shí)際的能力非常強(qiáng)，讓學(xué)生學(xué)習(xí)洛朗理論應(yīng)用于實(shí)際的能力。同時(shí)，教師要搜集、提煉復(fù)變函數(shù)與積分變換知識(shí)在實(shí)際工程中的應(yīng)用實(shí)例，建立相關(guān)案例庫(kù)，教學(xué)時(shí)有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的理論聯(lián)系實(shí)際的能力和理論應(yīng)用于實(shí)際的能力。

總之，我們應(yīng)將思政教育貫穿教學(xué)始終，對(duì)學(xué)生進(jìn)行價(jià)值引領(lǐng)，但要注意思政教育應(yīng)與課程內(nèi)容有效融合，不能生搬硬套。

（二）教學(xué)內(nèi)容改革

1.教學(xué)內(nèi)容與專業(yè)緊密結(jié)合。搜集并建立專業(yè)案例庫(kù)，在教學(xué)內(nèi)容上選擇與學(xué)生專業(yè)相結(jié)合的案例，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。例如，講解解析函數(shù)在實(shí)際中的應(yīng)用時(shí)，對(duì)力學(xué)專業(yè)的學(xué)生，引入解析函數(shù)在平面流體場(chǎng)中的應(yīng)用案例；對(duì)物理專業(yè)的學(xué)生，引入解析函數(shù)在平面靜電場(chǎng)中的應(yīng)用案例。講解拉普拉斯積分變換時(shí)，對(duì)電信專業(yè)的學(xué)生引入信號(hào)處理方面的應(yīng)用實(shí)例；講解傅里葉積分變換時(shí)，對(duì)光電專業(yè)的學(xué)生引入光學(xué)方面的應(yīng)用實(shí)例等。

2.教學(xué)內(nèi)容與前沿知識(shí)相結(jié)合。在本課程教學(xué)中，存在學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)水平有較大差異的情況。部分學(xué)生由于“高等數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)較弱，學(xué)起來(lái)吃力，而基礎(chǔ)好的學(xué)生知識(shí)接受能力強(qiáng)，渴望新知識(shí)。因此，在注重基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的前提下，要適當(dāng)引入高階性、前沿性的知識(shí)。這要求教師要及時(shí)增加知識(shí)儲(chǔ)備，及時(shí)了解復(fù)變函數(shù)領(lǐng)域和積分變換領(lǐng)域的前沿進(jìn)展。在教學(xué)過(guò)程中適當(dāng)引入前沿知識(shí)，提高教學(xué)內(nèi)容的前沿性和高階性，滿足不同層次學(xué)生的學(xué)習(xí)需求，真正做到以尊重學(xué)生個(gè)性化發(fā)展為前提的分層次教學(xué)。此外，可在每一章引入相關(guān)的拓展知識(shí)問(wèn)題，組織學(xué)生進(jìn)行分組研討并匯報(bào)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和解決問(wèn)題的能力以及團(tuán)隊(duì)合作能力。

（三）教學(xué)模式改革

在教學(xué)過(guò)程中始終遵循以“學(xué)生為中心”的教育理念，讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主體，采取線上線下混合教學(xué)模式［5］，充分發(fā)揮學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。

線上線下混合教學(xué)模式是學(xué)生線上自學(xué)和傳統(tǒng)線下教學(xué)相結(jié)合的新型教學(xué)模式，充分利用信息技術(shù)和網(wǎng)絡(luò)資源，借助于慕課、愛課程、智慧樹等平臺(tái)進(jìn)行輔助教學(xué)。目前所采取的線上線下混合教學(xué)模式是以“線下為主，線上為輔”。對(duì)于線上自學(xué)課，教師將學(xué)習(xí)任務(wù)在平臺(tái)上提前布置給學(xué)生，學(xué)生學(xué)習(xí)線上教學(xué)視頻、教學(xué)課件等，并在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成相關(guān)測(cè)試。為此，教師需要根據(jù)課程內(nèi)容，制訂好課程計(jì)劃。

1.對(duì)教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)課時(shí)進(jìn)行劃分。根據(jù)內(nèi)容難易程度及與前后的關(guān)聯(lián)程度，將課程內(nèi)容分為學(xué)生線上自學(xué)內(nèi)容和線下講授內(nèi)容兩部分。一般線上課時(shí)占總課時(shí)的20%左右。

2.制定自學(xué)導(dǎo)學(xué)單。以學(xué)習(xí)目標(biāo)、問(wèn)題引入、學(xué)習(xí)內(nèi)容、學(xué)習(xí)要求、作業(yè)、思考拓展、思政元素為模塊做成導(dǎo)學(xué)單，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行自學(xué)。在智慧樹等平臺(tái)向?qū)W生布置學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生按照導(dǎo)學(xué)單的要求進(jìn)行自學(xué)，并完成相關(guān)作業(yè)和測(cè)試。

3.布置測(cè)試。每次自學(xué)都緊跟一次線上測(cè)試以檢驗(yàn)學(xué)生的學(xué)習(xí)效果。課程組教師提前做好題庫(kù)，按知識(shí)點(diǎn)將試題分類，借助于智慧樹平臺(tái)將測(cè)試布置給學(xué)生。試題與學(xué)習(xí)內(nèi)容緊密關(guān)聯(lián)，按難易程度分類，每次測(cè)試都隨機(jī)組卷，打亂題目順序，并讓學(xué)生在限定時(shí)間內(nèi)完成。

線上自學(xué)過(guò)程中，學(xué)生可以隨時(shí)通過(guò)QQ、微信等及時(shí)與教師交流，教師要及時(shí)為學(xué)生答疑解惑。自學(xué)后緊跟的線上測(cè)試可以反饋學(xué)生的學(xué)習(xí)情況。這樣線下授課時(shí)，教師可以有針對(duì)性地進(jìn)行教學(xué)，提高教學(xué)效果，線下教學(xué)時(shí)可利用信息技術(shù)與學(xué)生進(jìn)行有效互動(dòng)。例如，課中充分利用雨課堂，講課過(guò)程中針對(duì)重要知識(shí)點(diǎn)及時(shí)插入雨課堂測(cè)試，隨時(shí)掌握學(xué)生學(xué)習(xí)情況。對(duì)大部分學(xué)生掌握欠佳的知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行再次講解，以保證教學(xué)效果。這樣既可以調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，又實(shí)現(xiàn)了對(duì)學(xué)生的過(guò)程化考核。

自學(xué)視頻可以選取慕課、愛課程等網(wǎng)站的精品課程視頻，課程組教師也可錄制微課視頻。將教學(xué)內(nèi)容系統(tǒng)分類后進(jìn)行“碎片化”處理，錄制時(shí)長(zhǎng)較短的微課視頻，學(xué)生可以隨時(shí)隨地學(xué)習(xí)。在每個(gè)視頻中都加入彈題，學(xué)生在學(xué)習(xí)完某部分知識(shí)后，通過(guò)做彈題理解、檢測(cè)學(xué)習(xí)重點(diǎn)和學(xué)習(xí)效果。對(duì)于難度較大、比較抽象的問(wèn)題，還可錄制答疑視頻，有需要的學(xué)生可以觀看解惑。通過(guò)錄制拓展視頻，滿足學(xué)生的學(xué)習(xí)成長(zhǎng)需求。線上線下混合式教學(xué)模式可以充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性和主動(dòng)性，培養(yǎng)學(xué)生的自學(xué)能力和科學(xué)探索能力。

（四）教學(xué)手段和教學(xué)方法改革

1.板書與PPT相結(jié)合。在線下教學(xué)時(shí)，應(yīng)將板書教學(xué)和PPT教學(xué)有機(jī)結(jié)合，既可以節(jié)省時(shí)間、豐富教學(xué)內(nèi)容、增加課堂的信息量，又可以保證課堂教學(xué)有效性。例如，涉及定理證明時(shí)，應(yīng)結(jié)合啟發(fā)式教學(xué)方法，進(jìn)行板書講解，便于學(xué)生思路跟進(jìn)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思維能力；講述函數(shù)的性質(zhì)時(shí)，借助于PPT演示，有助于學(xué)生的直觀理解。

2.可視化教學(xué)。由于“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的理論性強(qiáng)、內(nèi)容比較抽象，很多學(xué)生感到乏味、難以理解。在教學(xué)過(guò)程中引入可視化教學(xué)手段，可將抽象的問(wèn)題直觀化，有助于學(xué)生對(duì)內(nèi)容和內(nèi)在規(guī)律進(jìn)行分析與理解。例如，在講解對(duì)數(shù)函數(shù)時(shí)借助于其可視化圖形，可看出其多值性，以及各個(gè)值的實(shí)部、虛部之間的關(guān)系。如圖1所示，畫出的是Ln z=ln |z|+iarg z+2kπi在k=0，1，2，3時(shí)的圖形。從圖1可以看出，對(duì)數(shù)函數(shù)Ln z的四個(gè)值的實(shí)部值（豎軸代表函數(shù)的實(shí)部值）相等，而虛部值（顏色代表函數(shù)的虛部值）之間相差一個(gè)常數(shù)。再例如，講解傅里葉積分變換時(shí)，利用可視化圖形有助于理解象函數(shù)的物理意義。如圖2所示，繪制的是矩形脈沖函數(shù)的傅氏變換的頻譜圖。由圖2可理解象函數(shù)的模代表了各個(gè)頻率成分的函數(shù)在信號(hào)中所占的比重。

可視化教學(xué)可以使教學(xué)過(guò)程生動(dòng)化、形象化、直觀化，有助于學(xué)生理解抽象知識(shí)，能夠提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。

（五）考核方式改革

基于新工科內(nèi)涵，需建立能夠全面評(píng)價(jià)學(xué)生的綜合能力的多元化考核模式。由于本課程實(shí)行線上線下混合式教學(xué)，增強(qiáng)了過(guò)程化考核，使得考核評(píng)價(jià)更有時(shí)效性和全面性。本課程的考核采用多維度的評(píng)價(jià)方式，評(píng)價(jià)分為以下幾個(gè)模塊。

1.課程小論文。讓學(xué)生撰寫基于本課程且與專業(yè)相關(guān)的課程論文，并組織答辯。論文評(píng)分要素有：（1）選題情況（與本課程的相關(guān)度、難易程度）；（2）問(wèn)題解決情況（模型建立、求解方法、求解步驟、程序?qū)崿F(xiàn)）；（3）總結(jié)（結(jié)果分析與探討）；（4）論文書寫情況（邏輯性、規(guī)范性、充實(shí)性）；（5）答辯情況（PPT講解、語(yǔ)言表達(dá)、回答問(wèn)題）。從深度和廣度上對(duì)學(xué)生進(jìn)行評(píng)價(jià)，有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

2.過(guò)程化考核。包括平時(shí)作業(yè)、課堂表現(xiàn)，以及每次自學(xué)測(cè)試等，過(guò)程化考核貫穿整個(gè)學(xué)習(xí)過(guò)程，有助于對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行診斷和改進(jìn)。

3.期末考試。期末考試試題將基礎(chǔ)理論知識(shí)測(cè)試和實(shí)際能力測(cè)試并重，以培養(yǎng)學(xué)生解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

結(jié)語(yǔ)

筆者將上述改革措施應(yīng)用于2020級(jí)和2021級(jí)石油工程專業(yè)、電子通信專業(yè)、地學(xué)專業(yè)，進(jìn)行了兩個(gè)學(xué)期的“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)試驗(yàn)，發(fā)現(xiàn)與之前相比，學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性有了很大提高，也取得了較好的教學(xué)效果。經(jīng)過(guò)調(diào)查，學(xué)生對(duì)教學(xué)的滿意度也有所提高。新工科建設(shè)對(duì)教師的教學(xué)提出了新的要求，我們必須不斷深化改革教學(xué)內(nèi)容和教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量。

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Exploration on Teaching Reform of Complex Variable Function and Integral Transform under the Background of Emerging Engineering Education

MOU Hai-ning

（College of Science， China University of Petroleum （East China）， Qingdao， Shandong 266580， China）

Abstract： Under the background of emerging engineering education， new requirements are put forward for talent training. Its connotation is to cultivate diversified and innovative talents guided by moral education. The emerging engineering education concept highlights the supporting role of mathematical theories and methods in engineering majors. Under the educational concept and background of new engineering， aiming at the shortcomings in the current teaching of complex variable function and integral transform， the reform is carried out from the aspects of curriculum ideology and politics， teaching content， teaching method， teaching mode and assessment mode， so as to improve students’ interest in learning， improve teaching effect， and cultivate innovative talents with advanced thinking ability， practical application ability and correct values in line with the requirements of new engineering.

Key words： emerging engineering education; teaching reform; curriculum ideology and politics; visual teaching