將物理知識(shí)融入數(shù)學(xué)方法: 細(xì)推物理 潤物無聲

摘 要 思政元素的挖掘和思政案例的建設(shè)是開展課程思政的基礎(chǔ)工作之一。為豐富“數(shù)學(xué)物理方法”課程思政元素，嘗試從將物理知識(shí)融入數(shù)學(xué)方法的角度深度挖掘課程思政教育內(nèi)容。分別從利用物理原理推導(dǎo)數(shù)學(xué)方法、借助物理現(xiàn)象求解數(shù)學(xué)方程、結(jié)合物理規(guī)律理解數(shù)學(xué)條件等方面給出三個(gè)教學(xué)案例，詳細(xì)介紹了教學(xué)案例的背景、內(nèi)容、施訓(xùn)方法及思政效果。分析表明在“數(shù)學(xué)物理方法”課程教學(xué)中，可以有意識(shí)地強(qiáng)化物理和數(shù)學(xué)的融合，開展有特色的課程思政教育教學(xué)，提高育人效果。

關(guān)鍵詞 課程思政;數(shù)學(xué)物理方法;思政元素;思政案例

自2016年12月7日，習(xí)近平總書記在全國高校思想政治工作會(huì)議上的講話中指出，高等學(xué)?！耙獔?jiān)持把立德樹人作為中心環(huán)節(jié)，把思想政治工作貫穿教育教學(xué)全過程，實(shí)現(xiàn)全程育人、全方位育人” [1]以來，課程思政已經(jīng)引起了各領(lǐng)域教育專家和廣大高校教師的高度關(guān)注，各種課程思政教學(xué)改革如雨后春筍，方興未艾[2-5]。作為一門經(jīng)典的物理學(xué)專業(yè)基礎(chǔ)課程，筆者所教授的“數(shù)學(xué)物理方法”課程也不例外，大量教師精心設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容、恰當(dāng)選擇教學(xué)方法，融入思政元素開展課程思政，努力把知識(shí)傳授、能力培養(yǎng)與價(jià)值引領(lǐng)統(tǒng)一起來，成效顯著。

思政元素的挖掘和思政案例的建設(shè)是開展課程思政的基礎(chǔ)工作之一?！皵?shù)學(xué)物理方法”主要講授復(fù)變函數(shù)及數(shù)學(xué)物理方程相關(guān)知識(shí)，為后續(xù)四大力學(xué)等理論物理課程的學(xué)習(xí)提供必要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)和工具，復(fù)變函數(shù)部分主要學(xué)習(xí)解析函數(shù)的微積分性質(zhì)、冪級數(shù)展開、留數(shù)、積分變換等內(nèi)容，數(shù)學(xué)物理方程則包括定解問題的建立及行波法、分離變量法、格林函數(shù)法、積分變換法等解法，特殊函數(shù)部分主要學(xué)習(xí)勒讓德函數(shù)及貝塞爾函數(shù)相關(guān)知識(shí)，因此思政元素的挖掘主要圍繞數(shù)學(xué)哲學(xué)、數(shù)學(xué)美學(xué)、數(shù)學(xué)人文、數(shù)學(xué)精神、數(shù)學(xué)發(fā)展歷史、數(shù)學(xué)方法應(yīng)用等方面展開[6-10]。

筆者認(rèn)為，“數(shù)學(xué)物理方法”課程的核心是學(xué)習(xí)解決物理問題的數(shù)學(xué)方法，表面上看數(shù)學(xué)是表達(dá)物理問題和物理規(guī)律的語言，數(shù)學(xué)方法是解決物理問題的途徑和手段，但實(shí)際上不僅物理學(xué)的發(fā)展推動(dòng)了數(shù)學(xué)的進(jìn)步[11]，而且一些數(shù)學(xué)方法還可以借助直觀的物理圖像來獲得。在講授數(shù)學(xué)方法過程中融入物理知識(shí)的應(yīng)用，不僅能幫助學(xué)生掌握專業(yè)的數(shù)學(xué)知識(shí)，還能夠從數(shù)學(xué)、物理認(rèn)知客觀世界的殊途同歸中感受到客觀規(guī)律的美、感受到科學(xué)方法的多樣性，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀、邏輯思維、科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，實(shí)現(xiàn)全方位育人的目標(biāo)。

本文基于此，嘗試給出幾個(gè)物理知識(shí)融入數(shù)學(xué)方法的案例，以豐富“數(shù)學(xué)物理方法”課程思政元素，并給出教學(xué)實(shí)踐思路，在“細(xì)推物理”中，達(dá)到“潤物無聲”的課程思政效果。

1 沖量定理與Duhamel原理

1.1 Duhamel原理的給出

在“數(shù)學(xué)物理方法”課程教學(xué)中，完成無界弦自由振動(dòng)的dAlembert公式的學(xué)習(xí)后，學(xué)生就開始接觸無界弦或桿的純強(qiáng)迫振動(dòng)初值問題（Cauchy問題），如

和無界弦自由振動(dòng)問題相比，泛定方程出現(xiàn)了非齊次項(xiàng)。顯然把泛定方程齊次化，是解此定解問題的一個(gè)合理的思路[12]。一般教材這時(shí)會(huì)直接給出Duhamel原理（齊次化原理），即

若w （x，t;τ）是下述齊次方程定解問題的解

其中，τ 為參數(shù)。則前述純強(qiáng)迫振動(dòng)問題（1）的解為

u（x，t）=∫t0w （x，t;τ）dτ （3）

事實(shí)上齊次化原理給出了求解雙曲型及拋物型非齊次線性偏微分方程初值及初邊值問題的基本思路和方法。但目前教材中一般就具體的定解問題給出此原理，然后將式（3）代回原定解問題式（1）中進(jìn)行解的正確性的驗(yàn)證，而不會(huì)利用牛頓萊布尼茨微積分理論嚴(yán)格的對其進(jìn)行推導(dǎo)。由于缺乏對Duhamel原理來龍去脈的了解，導(dǎo)致學(xué)生“知其然不知其所以然”，教學(xué)效果不佳。

1.2 利用沖量原理推導(dǎo)

實(shí)際上，以一維無界弦的橫振動(dòng)為例，在物理學(xué)最基本的原理之一———疊加原理的基礎(chǔ)上，運(yùn)用大學(xué)物理課程中的沖量定理（合外力的沖量等于物體動(dòng)量的變化量），可以較為容易的推導(dǎo)出Duhamel原理。

（1） 由疊加原理，從時(shí)間域上對力的作用過程進(jìn)行分割，對力的作用效果進(jìn)行求和。

0→t 時(shí)間段內(nèi)持續(xù)力f （x，t）的作用效果u（x，t）等同于前后相繼的多個(gè)時(shí)間間隔τ →τ+Δτ 上力的作用效果v（x，t;τ）的和，即

（2） 由沖量原理，τ →τ+Δτ 上力的作用效果是給系統(tǒng)一定的沖量，帶來動(dòng)量的變化量。

考慮Δτ→0，可視該時(shí)間間隔上f（x，t;τ）為恒力，在質(zhì)量不變的情況下，考慮f（x，t;τ）的物理含義，可帶來速度的變化量為f（x，t;τ）Δτ。

（3） 從作用效果等效的角度，將τ→τ+Δτ 時(shí)間段上力的作用等效為τ 時(shí)刻的瞬時(shí)作用效果，則（2）中的速度改變量可視為是τ 時(shí)刻獲得的（成為τ→τ+Δτ 這個(gè)過程的初始條件），而在Δτ 的其他時(shí)間則沒有力的作用（τ→τ+Δτ 這個(gè)過程的泛定方程成為齊次的）。因此v（x，t;τ）應(yīng)滿足如下定解問題

令v（x，t;τ）=w （x，t;τ）Δτ，并代入式（5），可得到w （x，t;τ）滿足式（2），再將w （x，t;τ）代入式（4），即得式（3）。

上述（1）～（3）步對于已學(xué)過“大學(xué)物理”的本科生來講，物理思想明確，物理圖像清晰，物理過程嚴(yán)謹(jǐn)，易于理解和接受。帶領(lǐng)學(xué)生一起完成這個(gè)推導(dǎo)過程，不僅掌握了知識(shí)，鍛煉了思維，更重要的是，基于物理學(xué)原理可以分析得到一個(gè)基本的數(shù)學(xué)規(guī)律，不免讓學(xué)生驚嘆于神奇的科學(xué)美，深切感受到客觀世界“真理”的唯一性和通往“真理”途徑的多樣性，促使其唯物主義世界觀的形成以及科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)的加強(qiáng)。

2 點(diǎn)電荷電場與狄氏格林函數(shù)

格林函數(shù)法是偏微分方程的常用解法之一，也是本門課程的教學(xué)重點(diǎn)。狄氏問題的求解歸根到底在于求出相應(yīng)問題的狄氏格林函數(shù)。一般來說，格林函數(shù)的求解并非易事，特別是場域邊界復(fù)雜的情況下。但物理思想的引入和物理原理的應(yīng)用，可以減少數(shù)學(xué)運(yùn)算的工作量，還可以得到形式比較簡單且正確的格林函數(shù)的表達(dá)式。舉兩個(gè)教學(xué)案例加以說明。

例1 三維泊松方程的基本解

無界空間中的格林函數(shù)G 又稱為相應(yīng)方程的基本解，應(yīng)滿足方程

▽2G（M ，M0）=-δ（x -x0，y -y0，z -z0）（6）

格林函數(shù)法的教學(xué)往往在分離變量法之后進(jìn)行，因此式（6）的求解可以在球坐標(biāo)系中采用分離變量法來進(jìn)行。如果將點(diǎn)M0（x0，y0，z0）取為球坐標(biāo)系的原點(diǎn)，則由于三維空間無界、G 的分布與方向無關(guān)，式（6）轉(zhuǎn)化為

其中，r 表示點(diǎn)M （x，y，z）到M0 的距離。

上述解法中包含了之前所學(xué)的諸多知識(shí)點(diǎn)，如球坐標(biāo)系中的分離變量、δ（r）函數(shù)的性質(zhì)、常微分方程的求解等等，特別是當(dāng)r=0時(shí)，由于δ（r）函數(shù)的性質(zhì)而不得不采取的體積分，往往是筆者經(jīng)常強(qiáng)調(diào)需要學(xué)生多加體會(huì)的地方。

從數(shù)學(xué)解題技巧訓(xùn)練及知識(shí)點(diǎn)綜合運(yùn)用的角度來看，顯然上述解法是學(xué)生必須要掌握的。但如果我們的教學(xué)僅止步于此，則會(huì)無形中淡化學(xué)生對格林函數(shù)物理含義的理解，從而影響學(xué)生對格林函數(shù)法的學(xué)習(xí)和應(yīng)用。

事實(shí)上，分析一個(gè)學(xué)生熟悉的物理現(xiàn)象可以直觀的獲得式（6）的解?？紤]一個(gè)位于M0（x0，y0，z0）點(diǎn)、帶電量為ε0 的正的點(diǎn)電荷。由靜電場高斯定理的微分形式可得該點(diǎn)電荷的電場強(qiáng)度滿足

▽·E =（ε0／ε0）δ（x -x0，y -y0，z -z0）=δ（x -x0，y -y0，z -z0） （9）

再由電場強(qiáng)度和標(biāo)量電位之間的負(fù)梯度關(guān)系

E =-▽U （10）

可得該點(diǎn)電荷的標(biāo)量電位應(yīng)滿足

▽2U（M ）=-δ（x -x0，y -y0，z -z0）（11）

顯然式（11）與式（6）為同一個(gè)方程。而在大學(xué)物理課程中學(xué)生已經(jīng)知道，在現(xiàn)有理論體系及符號(hào)規(guī)定之下，實(shí)驗(yàn)已經(jīng)證明該正的點(diǎn)電荷在M （x，y，z）處產(chǎn)生的標(biāo)量電位為

U（M ）= 1／4πr （12）

r 含義同前，因此式（12）為式（11）的解，同樣式（7）的解應(yīng)為式（8）。通過這樣一個(gè)補(bǔ)充分析，學(xué)生自然明白了三維泊松方程基本解G （無界空間中的格林函數(shù)）的物理含義———一定邊界條件下位于M0 的點(diǎn)源在M 點(diǎn)產(chǎn)生的場分布，進(jìn)而對狄氏積分公式也就有了更深的理解，同時(shí)還為有界空間中的狄氏格林函數(shù)的求解奠定了基礎(chǔ)，見下例。

例 2 鏡像法求上半空間的狄氏格林函數(shù)

上半空間的狄氏格林函數(shù)應(yīng)滿足下述定解問題

式（13）可以用本征函數(shù)展開法進(jìn)行求解，一般情況下可得到一個(gè)無窮項(xiàng)求和形式的解。求解過程相對繁瑣，且所得格林函數(shù)形式復(fù)雜，導(dǎo)致實(shí)際應(yīng)用受限。再加上式（13）并不是訓(xùn)練本征函數(shù)展開法的典型問題，所以該問題的求解往往采用物理中的“鏡像法”來進(jìn)行。

有了例1的基礎(chǔ)，學(xué)生不難分析出式（13）對應(yīng)的物理問題，即將一無限大接地導(dǎo)體板置于z=0平面，并將帶電量為ε0 的正的點(diǎn)電荷置于上半空間的M0（x0，y0，z0）點(diǎn)處，此時(shí)上半空間中的標(biāo)量電位分布即待求格林函數(shù)G。

上述接地導(dǎo)體板存在時(shí)點(diǎn)電荷的電場分布問題是靜電學(xué)中靜電感應(yīng)部分的一個(gè)典型問題，在大學(xué)物理課程中一般都進(jìn)行過詳細(xì)討論和學(xué)習(xí)[13]。根據(jù)靜電感應(yīng)相關(guān)規(guī)律可知，空間中的電位分布是由M0 點(diǎn)處的正點(diǎn)電荷和導(dǎo)體板上的感應(yīng)電荷共同產(chǎn)生的，且分布在導(dǎo)體板表面的感應(yīng)電荷所產(chǎn)生的電位可以用該正的點(diǎn)電荷的“鏡像電荷”所產(chǎn)生的電位來等效———這就是“鏡像法”的基本思想。具體實(shí)施時(shí)，可將鏡像電荷置于正的點(diǎn)電荷關(guān)于接地導(dǎo)體板的鏡像點(diǎn)M'（x0，y0，-z0）處，再根據(jù)導(dǎo)體板接地時(shí)其上任意點(diǎn)標(biāo)量電位為0的條件確定出鏡像電荷的電荷量為-ε0。由此很快可以得到式（13）的解應(yīng)為

其中，r'表示點(diǎn)M （x，y，z）到鏡像點(diǎn)M'的距離。

盡管借助物理原理及物理方法，非常直觀地得到了上半空間的狄氏格林函數(shù)，但初學(xué)者往往還會(huì)心存疑惑，式（14）真的是式（13）的解嗎？ 為打消學(xué)生的疑惑，加深學(xué)生對數(shù)物融合的認(rèn)識(shí)，接下來，我們可以再回到數(shù)學(xué)方法的應(yīng)用上。利用數(shù)學(xué)上線性方程所滿足的疊加原理，定解問題式（13）的解可以寫為

G（M ，M0）=g（M ，M0）+f（M ，M0）， z gt;0（15）

其中，g（M ，M0）、f（M ，M0）分別滿足下述兩個(gè)定解問題，即

此時(shí)可請學(xué)生根據(jù)所學(xué)知識(shí)，自行寫出位于M'（x0，y0，-z0）處、電荷量為-ε0 的點(diǎn)電荷在上半空間所產(chǎn)生的標(biāo)量電位分布所滿足的定解問題，即式（17），自然得到其解為f（M ，M0）= 1／4πr'。g（M ，M0）和f（M ，M0）相加即式（14），由此又結(jié)合數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用，驗(yàn)證了所求上半空間狄氏格林函數(shù)的正確性。

物理圖像和物理規(guī)律的恰當(dāng)引入，無疑使復(fù)雜問題的求解更為直觀，對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生來講，更利于他們專注于數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)而不僅僅只關(guān)注表面繁瑣復(fù)雜的理論推導(dǎo)和數(shù)學(xué)證明。另外在教學(xué)過程中數(shù)學(xué)方法與物理知識(shí)的交叉運(yùn)用、相互印證，也能使課堂教學(xué)內(nèi)容更富有張力，學(xué)生的抽象思維能力、創(chuàng)新思維能力都得到鍛煉。

3 熱力學(xué)第二定律與第三類邊界條件

“數(shù)學(xué)物理方法”課程的一個(gè)重要的教學(xué)目標(biāo)是掌握把物理問題正確地“翻譯”成數(shù)學(xué)語言的方法，也就是根據(jù)物理問題，寫出相應(yīng)的定解問題，這是用數(shù)學(xué)方法解決物理問題的第一步。

定解問題包括泛定方程和初始條件及邊界條件，初始條件反映了物理系統(tǒng)的初始狀態(tài)，邊界條件則是系統(tǒng)邊界上發(fā)生的物理過程的描述。在這部分的教學(xué)中，通常是借助幾個(gè)典型過程，如桿的振動(dòng)、桿的導(dǎo)熱過程，給出第一類、第二類和第三類邊界條件的一般形式，如第三類齊次邊界條件可寫為[14]第三類：αu +βux x=0 =0，α'u +β'ux x=L =0其中，α、β、α'、β'為常系數(shù)。單純從數(shù)學(xué)上來看，第三類邊界條件中的系數(shù)是無限制條件的。但實(shí)際情況呢？ 在學(xué)完分離變量法后，可以帶領(lǐng)學(xué)生從兩個(gè)方面進(jìn)行分析[15]。

（1） 從物理學(xué)原理出發(fā)，可分析得到u 與un（u 在邊界面外法線方向上的導(dǎo)數(shù)）前面的系數(shù)應(yīng)該同號(hào)。以放置在x 軸上0-L 上的一維桿的導(dǎo)熱問題為例，若左端點(diǎn)x=0放置在溫度為0的空間中自由冷卻，則由牛頓冷卻定律可得αu+βux|x=0=0且α、β 異號(hào);若右端點(diǎn)x=L 放置在溫度為0的空間中自由冷卻，則由牛頓冷卻定律可得α'u+β'ux|x=L =0且α'、β'同號(hào)。產(chǎn)生這個(gè)現(xiàn)象的根源在于熱傳導(dǎo)現(xiàn)象應(yīng)符合熱力學(xué)第二定律，即熱量只能自動(dòng)的從高溫物體流向低溫物體而不能反其道而行之，這是大自然的一個(gè)基本規(guī)律，只要是一個(gè)真實(shí)的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象，就一定滿足這個(gè)定律。邊界上所發(fā)生的熱傳導(dǎo)現(xiàn)象也符合這個(gè)規(guī)律，因此邊界條件中的系數(shù)是有正負(fù)的。

那么數(shù)學(xué)方法是否支持這種自然界客觀規(guī)律的不可違背性呢？ 也就是說有沒有可能邊界條件不滿足物理學(xué)原理的定解問題也是有解的呢？

（2） 從數(shù)學(xué)方法出發(fā)，假設(shè)定解問題中的第三類邊界條件不符合（1）中所述要求，仍然用分離變量法進(jìn)行求解。很快就會(huì)發(fā)現(xiàn)，分離變量后所得的本征值問題無解，因此原定解問題無解。反過來，若邊界條件符合（1）中所述要求，則對應(yīng)的本征值問題有解，且解（本征函數(shù)）有無窮多個(gè)。

也就是說，對于真實(shí)存在的客觀規(guī)律，數(shù)學(xué)方法和物理規(guī)律是高度一致的，這無疑能讓學(xué)生感受到大自然和諧之美、科學(xué)世界神奇之美的沖擊，從而激發(fā)出對未知世界強(qiáng)烈的好奇心，增強(qiáng)其探索未知、追求真理的責(zé)任感和使命感。

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)物理方法是應(yīng)用數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)解決實(shí)際問題的方法，它是連接數(shù)學(xué)理論與物理問題的橋梁，因此筆者認(rèn)為“數(shù)學(xué)物理方法”課程思政可在借鑒其他數(shù)學(xué)課程做法的基礎(chǔ)上，有意識(shí)強(qiáng)化物理和數(shù)學(xué)的融合，開展有特色的課程思政教育教學(xué)。近幾年來，筆者所在的課程教學(xué)團(tuán)隊(duì)從利用物理原理推導(dǎo)數(shù)學(xué)方法、借助物理現(xiàn)象求解數(shù)學(xué)方程、結(jié)合物理規(guī)律理解數(shù)學(xué)條件等角度入手，針對性的選取教學(xué)內(nèi)容，開展教學(xué)案例建設(shè)，并將之用于教學(xué)實(shí)踐，取得了較好的實(shí)踐效果。學(xué)生普遍反映，采用數(shù)物融合的教學(xué)方法，起到了激發(fā)學(xué)習(xí)興趣、深化內(nèi)容理解、強(qiáng)化思維訓(xùn)練的作用，有效提升了課程教學(xué)效果。

本文選取了三個(gè)教學(xué)案例，詳細(xì)介紹了將物理知識(shí)融入數(shù)學(xué)方法、深度挖掘課程思政教育內(nèi)容的想法和做法。通過分析教學(xué)案例的背景、內(nèi)容、施訓(xùn)方法及思政效果，表明該方法不僅有助于幫助學(xué)生深度理解知識(shí)，訓(xùn)練科學(xué)思維，還能引導(dǎo)學(xué)生感受客觀規(guī)律的美、感受科學(xué)方法的多樣性，從而培養(yǎng)學(xué)生的辯證唯物主義世界觀、科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)，激發(fā)學(xué)生探索未知、追求真理、勇攀科學(xué)高峰的責(zé)任感和使命感，充分發(fā)揮“數(shù)學(xué)物理方法”課程的育人功能。

參 考 文 獻(xiàn)

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基金項(xiàng)目： 學(xué)校教學(xué)研究立項(xiàng) “新時(shí)代課程思政視角下的《數(shù)學(xué)物理方法》課程建設(shè)”資助。