蒙特卡羅方法模擬公路自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員的功率及速度分布

摘 要 近些年來(lái)，公路自行車(chē)賽引起眾多關(guān)注，如何使運(yùn)動(dòng)員在比賽中獲得更好的成績(jī)成為眾多研究的目標(biāo)。為給出自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員在比賽過(guò)程中功率分配方案，本文首先建立了公路自行車(chē)賽車(chē)手的功率曲線模型，然后分析對(duì)比了不同賽車(chē)選手的特點(diǎn);再通過(guò)分析賽車(chē)手的在不同性質(zhì)路段的動(dòng)力學(xué)模型，獲得運(yùn)動(dòng)員經(jīng)過(guò)具體賽段的時(shí)間和速度隨功率的變化。我們運(yùn)用蒙特卡羅方法得到了不同賽車(chē)手在不同路段最佳的功率和速度分配曲線，并將模型應(yīng)用于2021公路自行車(chē)UCI世錦賽，得到不同類(lèi)型運(yùn)動(dòng)員具體功率和速度曲線在路程中的分布。通過(guò)這一模型我們可以得知，賽車(chē)手在賽程中盡力保持勻速狀態(tài)并在擅長(zhǎng)的路段進(jìn)行一定的加速可以得到最佳的比賽結(jié)果。最后我們分析了該方法得到的結(jié)果的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞 蒙特卡羅方法;自行車(chē)公路賽;自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員功率模型

近幾年，公路自行車(chē)賽的風(fēng)潮席卷全球，引起眾多騎行愛(ài)好者和專業(yè)騎手的關(guān)注，也吸引了許多研究者的注意。越來(lái)越多的研究者研究如何使運(yùn)動(dòng)員在比賽中獲得更好的比賽成績(jī)。

眾多課題組現(xiàn)階段的研究主要是局限于基于參賽運(yùn)動(dòng)員個(gè)人統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的能量管理[1]、營(yíng)養(yǎng)需求、體重、骨密度[2]等生理性因素對(duì)自行車(chē)選手比賽發(fā)揮的影響，也有對(duì)適合自行車(chē)性能的最佳海拔高度的研究[3，4]，而缺乏將自行車(chē)動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)員的生理性因素相結(jié)合的針對(duì)自行車(chē)個(gè)人計(jì)時(shí)賽這一類(lèi)高強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)的研究[5]。

20世紀(jì)20年代希爾首先提出臨界功率，后來(lái)勞埃爾等人在希爾的研究基礎(chǔ)上，逐步建立功率關(guān)于運(yùn)動(dòng)時(shí)間的嚴(yán)謹(jǐn)數(shù)學(xué)模型[6]。基于此，我們可以建立出運(yùn)動(dòng)員功率輸出的大致模型。

密爾沃基心臟研究所提出個(gè)人公路自行車(chē)計(jì)時(shí)賽的成績(jī)與選手在整個(gè)過(guò)程中的功率分配密切相關(guān)[7]，克瑞斯·阿吉里斯指出不同的比賽項(xiàng)目、賽況條件以及運(yùn)動(dòng)員的自身差異性都會(huì)對(duì)功率分配的結(jié)果產(chǎn)生影響[8-10]。但是目前，關(guān)于如何更好地在比賽過(guò)程中分配功率的分析是十分缺乏的，需要更多的研究來(lái)確定比賽的策略，從而使不同運(yùn)動(dòng)員在不同的比賽中取得更好的成績(jī)。

在實(shí)際訓(xùn)練中，教練員及參賽選手通常是通過(guò)反復(fù)試驗(yàn)和經(jīng)驗(yàn)依賴來(lái)確定最佳的比賽方案，這樣做往往會(huì)耗費(fèi)很多時(shí)間和精力而最終效果不佳。因此，使用計(jì)算機(jī)來(lái)模擬不同因素對(duì)比賽結(jié)果造成的影響，并進(jìn)行優(yōu)化是一個(gè)簡(jiǎn)便優(yōu)質(zhì)的方法，并且目前已經(jīng)有一些課題組進(jìn)行了類(lèi)似的研究。2014年，通過(guò)對(duì)能量供給方和能量需求方進(jìn)行數(shù)學(xué)分析將人體運(yùn)動(dòng)建模運(yùn)用于自行車(chē)運(yùn)動(dòng)[11]。2020年，有團(tuán)隊(duì)模擬了彎道和路況對(duì)自行車(chē)個(gè)人計(jì)時(shí)賽成績(jī)的影響[12]。但是目前關(guān)于比賽的模擬結(jié)果只是針對(duì)理想狀態(tài)下功率分布對(duì)時(shí)間的影響，而忽略了對(duì)于賽道的天氣因素以及地形的影響。

在前人的研究基礎(chǔ)上，我們的工作是將運(yùn)動(dòng)員的功率輸出模型運(yùn)用到包含不同地形的具體的自行車(chē)賽道上，并通過(guò)蒙特卡洛方法求解運(yùn)動(dòng)員在最佳功率分配情況。在地形的分析中，我們將地形主要分為平地、彎道和坡道，通過(guò)受力分析結(jié)合運(yùn)動(dòng)員當(dāng)前的功率得到運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)速度，最終得到運(yùn)動(dòng)員總體的運(yùn)動(dòng)時(shí)間。

由于實(shí)際比賽過(guò)程是變化的，受多種因素的約束，因此我們將主要影響因素設(shè)為變量并且加以條件限制，使用蒙特卡羅方法實(shí)現(xiàn)動(dòng)態(tài)優(yōu)化，而優(yōu)化目標(biāo)是找到最短完成時(shí)間。

1 計(jì)算理論

1.1 運(yùn)動(dòng)員個(gè)人輸出功率模型

我們首先要建立運(yùn)動(dòng)員功率輸出的模型。運(yùn)動(dòng)員的功率輸出主要體現(xiàn)在耗氧速率上，與他們的個(gè)人身體素質(zhì)又有著極大關(guān)系。

在20世紀(jì)20年代希爾首先提出了臨界功率，定義為“長(zhǎng)時(shí)間可維持的運(yùn)動(dòng)強(qiáng)度”，到現(xiàn)在人們認(rèn)為是“高強(qiáng)度和極高強(qiáng)度運(yùn)動(dòng)的臨界點(diǎn)”。臨界功率與個(gè)人耗氧的最大速率VO2max 顯著相關(guān)。勞埃爾基于希爾的觀測(cè)數(shù)據(jù)建立了跑步者的功率輸出P（t）和比賽總持續(xù)時(shí)間T 之間的關(guān)系[10]

P（t）=（A/T）+R （1）

其中，A 和R 分別表示厭氧代謝的能力和有氧代謝的能量釋放率。然而這個(gè)模型，沒(méi)有考慮到可持續(xù)的有氧能量輸出會(huì)逐漸減少，不能準(zhǔn)確描述跑步距離超過(guò)10000m 時(shí)的功率輸出情況。在后續(xù)的發(fā)展中在勞爾的理論基礎(chǔ)上導(dǎo)出了有氧運(yùn)動(dòng)情況下功率隨時(shí)間和路程的變化，并且可以表示超過(guò)7分鐘左右的運(yùn)動(dòng)，即

P =[S/t（ 1-e-t/20） ]+1／t∫t0［BMR +B（1-e-x/30）］dx （2）

其中，S 表示的是無(wú)氧運(yùn)動(dòng)中運(yùn)動(dòng)員實(shí)際可以消耗的功率（單位：J/kg），BMR 代表基礎(chǔ)代謝功率，而B(niǎo) 等于瞬時(shí)消耗功率峰值和BMR 的差值。該模型很好地預(yù)測(cè)了60m～42.195km 范圍內(nèi)的自行車(chē)世界紀(jì)錄，其中對(duì)男性的預(yù)測(cè)誤差為0.91%，對(duì)女性為1.3%。

莫爾頓以數(shù)學(xué)為工具導(dǎo)出了另一個(gè)功率時(shí)間關(guān)系的模型，建立了一個(gè)由磷利用、厭氧糖酵解和有氧動(dòng)力組成的三組分系統(tǒng)，表示出了生物能量過(guò)程的發(fā)生，有氧運(yùn)動(dòng)中能量供應(yīng)的延遲。莫爾頓的三組份模型最大可持續(xù)有氧運(yùn)動(dòng)功率也隨著運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間的延長(zhǎng)而下降，但不會(huì)最終下降到零，而是維持在氧氣消耗最大速率VO2max 的84%左右。

莫爾頓對(duì)一個(gè)普通男性建立出如下方程表示該男性的平均輸出功率和運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間的關(guān)系[13]

臨界功率并不是無(wú)限小，而是約為208W;而當(dāng)實(shí)際功率較大遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)臨界功率時(shí)，持續(xù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間將很快減小。臨界功率又由于個(gè)人身體素質(zhì)不同而不同，運(yùn)動(dòng)員由于長(zhǎng)期的科學(xué)訓(xùn)練，臨界功率比普通人更高，而自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員通常為250～350W[14]。

莫爾頓的模型為后來(lái)的研究者們打下了扎實(shí)的基礎(chǔ)，后來(lái)的Omni功率持續(xù)時(shí)間模型就是基于此發(fā)展得來(lái)的，如式（4）（5）。Omni功率持續(xù)時(shí)間模型很好地描述了較長(zhǎng)時(shí)間內(nèi)選手的最大輸出功率隨時(shí)間的變化，其中考慮了總能量的消耗w'、最大沖刺功率Pmax 和持續(xù)時(shí)間t 等因素[15，16]。

其中，CP 為臨界功率，W'為在臨界功率以上消耗的能量，Pmax 為功率峰值，CPTTF 為臨界功率下有氧運(yùn)動(dòng)持續(xù)時(shí)間。該模型可以在250W 和320W的輸出功率下較好地描繪出功率的變化情況，而自行車(chē)比賽中輸出功率通常大于300W，故我們采用該模型來(lái)預(yù)測(cè)自行車(chē)運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的功率變化。

以騎手在環(huán)法自行車(chē)賽的騎行數(shù)據(jù)為例[16]，可以知道在不同地形和不同持續(xù)時(shí)間下最佳輸出功率是不同，功率曲線的變化也不同。平地的輸出功率約為218±21W[3.1±0.3W/kg]，在丘陵的輸出功率為228±22W[3.3±0.3W/kg]， 在山地約為234±13W[3.3±0.2W/kg]）。在模型中我們分別對(duì)不同地形設(shè)置基礎(chǔ)輸出功率和變化范圍，在每一次改變地形時(shí)隨機(jī)生成范圍內(nèi)輸出功率。

1.2 自行車(chē)動(dòng)力學(xué)模型

1.2.1 自行車(chē)坡道動(dòng)力學(xué)模型

首先，我們討論了坡度為0 的賽道的情況。在騎行過(guò)程中，自行車(chē)的動(dòng)力來(lái)自于騎行者帶動(dòng)車(chē)輪軸轉(zhuǎn)動(dòng)，阻力則包括來(lái)自空氣和地面的阻力以及自行車(chē)本身的機(jī)械摩擦力。沿自行車(chē)運(yùn)動(dòng)方向和垂直于地面方向建立了二維坐標(biāo)系，并畫(huà)出受力示意圖，如圖2所示。

圖2中，動(dòng)力F 由騎手的蹬踏產(chǎn)生。由于在一個(gè)蹬踏循環(huán)中，力不是恒定的，因此動(dòng)力用瞬時(shí)功率與速度之比表示。同時(shí)，人產(chǎn)生的能量也會(huì)在鏈?zhǔn)津?qū)動(dòng)過(guò)程中流失。研究表明，鏈條的傳遞效率與驅(qū)動(dòng)力的大小呈正相關(guān)，公路自行車(chē)一般為98.5%。[17]

由于壓力使輪胎發(fā)生彈性形變，同時(shí)輪胎和路面粗糙，車(chē)體相對(duì)于路面產(chǎn)生摩擦力。騎行過(guò)程中，踩動(dòng)踏板轉(zhuǎn)動(dòng)鏈條帶動(dòng)后輪的轉(zhuǎn)動(dòng)，產(chǎn)生的靜摩擦驅(qū)動(dòng)自行車(chē)，而對(duì)于前輪不直接受到驅(qū)動(dòng)力，而是受到來(lái)自地面的摩擦阻力，車(chē)體的摩擦力表示為[18]

Ff =Crmg （6）

其中，Cr 為輪胎與地面的滑動(dòng)摩擦系數(shù)，取決于路面和輪胎的材質(zhì)，在公路自行車(chē)比賽中，我們考慮輪胎的材質(zhì)相同，因此主要與騎行路面的情況有關(guān)。

騎行時(shí)，前面的空氣由于被壓縮對(duì)運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)產(chǎn)生壓力，兩側(cè)的空氣由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生，共同構(gòu)成空氣阻力Fw ?？諝庾枇Φ谋磉_(dá)式為

Fw =1／2CdAρV2 （7）

其中，Cd 是空氣阻力系數(shù)，A 是最大迎風(fēng)橫截面積，ρ 是空氣密度，V 為車(chē)體相對(duì)空氣的速度。

除了上述空氣阻力外，由于非對(duì)稱流體的動(dòng)力效應(yīng)，車(chē)輪旋轉(zhuǎn)也會(huì)產(chǎn)生空氣阻力Fd 。Greenwell研究表明，旋轉(zhuǎn)阻力的大小取決于車(chē)輪的大小及外形，不會(huì)隨車(chē)輪的轉(zhuǎn)速發(fā)生明顯改變，同時(shí)由于人體的作用，后輪所受的阻力也會(huì)減少。假定后輪旋轉(zhuǎn)阻力減少25%，由上述分析，獲得前后車(chē)輪轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)受到的空氣阻力為

其中，Cw 是自行車(chē)車(chē)輪的空氣阻力系數(shù)，r是車(chē)輪半徑（前后輪相同），ρ 是空氣密度，V 是車(chē)體相對(duì)空氣的速度。

根據(jù)牛頓第二定律，公路自行車(chē)在騎行過(guò)程中的動(dòng)力學(xué)方程為

其中，x 代表位移，x'、x″分別代表系統(tǒng)的速度和加速度。If ，Ir 分別代表前輪和后輪的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。

在此基礎(chǔ)上，考慮坡角為θ 賽道上的情況。

如圖3所示，此時(shí)需要將重力分解為沿運(yùn)動(dòng)方向和垂直于運(yùn)動(dòng)方向。沿運(yùn)動(dòng)方向的重力直接影響運(yùn)動(dòng)，垂直運(yùn)動(dòng)方向通過(guò)改變支持力進(jìn)而改變摩擦力的大小來(lái)影響運(yùn)動(dòng)[19]。上坡時(shí)，θ 為正，重力分量為阻力;下坡時(shí)，θ 為負(fù)，重力分量為動(dòng)力。將支持力表示為F'g ，運(yùn)動(dòng)方程為

利用以上的動(dòng)力學(xué)方程，通過(guò)MATLAB 利用龍格庫(kù)塔算法進(jìn)行求解。在已知距離和路況的情況下，通過(guò)求解該方程可以得到以一定功率通過(guò)路段的時(shí)間以及過(guò)程中的速度和加速度。

1.2.2 自行車(chē)彎道動(dòng)力學(xué)模型

假定車(chē)身與后輪始終保持在一條直線上，轉(zhuǎn)彎方向由前輪決定，如圖4所示。

對(duì)于縱向方向（x 方向），由向心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程

x″=φ'y'+ax （13）

其中，ax 為沿x 方向由于人的蹬踏產(chǎn)生的加速度。

其中，F(xiàn)yf 、Fyr 分別為前后輪的橫向作用力，我們將其簡(jiǎn)化為簡(jiǎn)單的線性輪胎模型，即表達(dá)式如下

同樣地，我們使用MATLAB進(jìn)行求解，獲得以一定功率通過(guò)該路段的時(shí)間以及該過(guò)程速度與加速度的大小。

1.3 程序思路

我們使用MATLAB 軟件編寫(xiě)程序，并采用蒙特卡羅方法對(duì)該問(wèn)題進(jìn)行了優(yōu)化求解。

由以上分析，我們將該模型轉(zhuǎn)化為求解最小時(shí)間的優(yōu)化問(wèn)題，并將人的功率曲線以及賽道的性質(zhì)作為限制條件。為了計(jì)算模擬的方便，我們將比賽的總路段劃分為多個(gè)足夠小的階段，由于單個(gè)小段的路程足夠小，因此可以假定在單個(gè)階段的路況是一致的，同樣的，可以假定運(yùn)動(dòng)員的功率在這一段是一個(gè)定值。同時(shí)，在主程序的模擬中，我們暫時(shí)忽略了風(fēng)速對(duì)運(yùn)動(dòng)員成績(jī)的影響，具體原因和解決方案將在后文中討論。

1.3.1 求解時(shí)間

將整個(gè)賽道分成多個(gè)足夠小的階段，因此每個(gè)階段只包含一種路況，并將每個(gè)階段替換為不同條件下的運(yùn)動(dòng)方程。利用MATLAB 中的龍格庫(kù)塔算法，用ode45函數(shù)求解上述運(yùn)動(dòng)微分方程，獲得通過(guò)每個(gè)路段的速度分布和時(shí)間，ode45函數(shù)是MATLAB中提供的求常微分方程數(shù)值解的函數(shù)，表示采用的是四階五階龍格庫(kù)塔算法。將每個(gè)路段的時(shí)間求和，得到總時(shí)間。在這個(gè)過(guò)程中，每個(gè)階段的最終速度將作為下一階段的初始速度。

1.3.2 功率選擇

本程序主要采用蒙特卡羅方法對(duì)功率進(jìn)行選擇和優(yōu)化。由于假設(shè)運(yùn)動(dòng)員在每小段的功率保持一致，因此只需要隨機(jī)確定在該路段的功率即可。在本文中，每段賽道的功率是在功率曲線的限制范圍內(nèi)使用random 函數(shù)隨機(jī)選擇，random 函數(shù)是生成隨機(jī)數(shù)的函數(shù)，其返回值是一個(gè)設(shè)定范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。將此功率作為求解運(yùn)動(dòng)微分方程的已知條件，并由此求得該賽道總時(shí)間，即最終成績(jī)。通過(guò)多次迭代，選擇總時(shí)間最少的功率組合，并輸出該組功率組合作為最終結(jié)果。

1.3.3 功率曲線的改進(jìn)

最后，我們基于上述結(jié)果對(duì)功率曲線進(jìn)行了修正。累積輸出功率的大小會(huì)對(duì)后續(xù)的功率曲線產(chǎn)生影響，如果長(zhǎng)時(shí)間高功率輸出，將意味著騎手需要額外的時(shí)間在較低的功率水平下恢復(fù)，這將影響后續(xù)的功率分配，通過(guò)計(jì)算已消耗的能量來(lái)對(duì)后續(xù)的功率曲線進(jìn)行修正。

2 數(shù)值結(jié)果

為了設(shè)定具體的賽道數(shù)值，我們將模型運(yùn)用到2021公路自行車(chē)UCI世錦賽的男子精英賽和女子精英賽中，賽程的路線如圖5所示，不同路段的坡度、長(zhǎng)度、彎道的轉(zhuǎn)角將作為程序的初始條件，本文依據(jù)路況將其劃分為36段，具體的路線信息可以在官網(wǎng)獲得。

由于程序求解的方程中有很多參數(shù)如轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、前后輪半徑等，與本文解決的主要問(wèn)題即功率分配的相關(guān)性較弱，因此只取相關(guān)參數(shù)的大致數(shù)值，在實(shí)際應(yīng)用的過(guò)程中可以進(jìn)一步準(zhǔn)確設(shè)定，基于此，我們得到以下的結(jié)果。

2.1 世錦賽不同類(lèi)型選手模擬結(jié)果

對(duì)比兩類(lèi)騎行選手的模擬結(jié)果，首先是爬山類(lèi)型選手，善于在山地進(jìn)行加速且山地的能量消耗對(duì)于后續(xù)運(yùn)動(dòng)的影響更小;還有一類(lèi)計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手，他們?cè)诟鞣N地形有更綜合的優(yōu)勢(shì)。

得到爬山類(lèi)型選手在世錦賽路段上功率和速度的曲線如圖7所示。

由于計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手和爬山類(lèi)型選手設(shè)置的是在不同路況的P 反映曲線和恢復(fù)情況不同，所以他們較為舒適的功率曲線應(yīng)該是一致的。

從整體來(lái)看，計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手較爬山類(lèi)型選手的總體功率變化較大。但爬山類(lèi)型選手的總體速度大于計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手。

爬山類(lèi)型選手在賽程的后半段能夠保持較大的功率輸出，但是計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手功率減小很快，這也展示出爬山類(lèi)型選手擁有長(zhǎng)耐力的特性。同時(shí)計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手在前半段路況較好的時(shí)候，選擇較大的功率輸出，也體現(xiàn)出他的經(jīng)驗(yàn)。

計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手在世錦賽路段上功率和速度的曲線如圖8所示。

沖刺階段，計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手提高功率輸出，但是爬山類(lèi)型選手的輸出功率反而減小，可能是由于爬山類(lèi)型選手前期長(zhǎng)時(shí)間功率較高的輸出導(dǎo)致體力下降，而恢復(fù)程度不如計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手。

在較為復(fù)雜的路段，如轉(zhuǎn)彎、上下坡的時(shí)候，計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手傾向于通過(guò)多次減小輸出功率來(lái)維持速度的變化，但是爬山類(lèi)型選手該作用不顯著，通過(guò)藍(lán)色的實(shí)際輸出功率曲線也可以看到，計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手比爬山類(lèi)型選手更擅長(zhǎng)控制自身的功率變化，以適應(yīng)地形的改變。

2.2 世錦賽不同性別選手模擬結(jié)果

在功率的圖中，淺色是騎手能夠維持長(zhǎng)時(shí)間穩(wěn)定輸出的功率曲線，而深色代表實(shí)際選擇的可以達(dá)到最好成績(jī)的功率曲線。

從圖9和圖10中我們可以看到，整體上，男性的功率比女性的功率要高，速度也相應(yīng)地要高。這說(shuō)明男性能夠在比賽過(guò)程中產(chǎn)生更大的速度，成績(jī)也會(huì)更好。但是，男性功率的下降幅度較女性的大，這說(shuō)明男性在耐力等方面不如女性。且男性遇到彎道、山坡等路況時(shí)輸出功率的表現(xiàn)也不如女性[21]，功率圖中顯示女性的斜率要略大于男性，且持續(xù)的路程更長(zhǎng)，這代表著女性的沖刺路線長(zhǎng)度長(zhǎng)于男性，且沖刺的爆發(fā)力也越大。這是因?yàn)樵诟蠊β实妮敵龊螅行缘幕謴?fù)能力不如女性。而在研究中表明，人體的質(zhì)量可以用脂肪質(zhì)量（fatmass，F(xiàn)M）與瘦體質(zhì)量（lean mass，LM）這兩個(gè)量來(lái)描述，其中瘦體指數(shù)（lean mass index，LMI）與個(gè)體運(yùn)動(dòng)的相關(guān)性更大。女性由于體重和體脂率的影響，會(huì)表現(xiàn)得更輕盈更有耐力，用瘦體指數(shù)LMI來(lái)衡量女性個(gè)體的運(yùn)動(dòng)情況會(huì)更加準(zhǔn)確。[22]

結(jié)合路線發(fā)現(xiàn)，男性在遇到急彎等復(fù)雜路況時(shí)更偏向于加大功率來(lái)維持自身速度的穩(wěn)定，而女性的功率表現(xiàn)則相對(duì)平穩(wěn)，同時(shí)女性的速度變化也更小。

2.3 程序性質(zhì)分析

2.3.1 針對(duì)風(fēng)速的敏感性分析

天氣會(huì)影響自行車(chē)計(jì)時(shí)賽運(yùn)動(dòng)員的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)和速度，斯溫使用普羅斯佩羅等人的數(shù)學(xué)模型預(yù)測(cè)[23]，自行車(chē)計(jì)時(shí)賽的最佳比賽策略是讓功率隨坡度和風(fēng)速變化。斯溫在實(shí)際中運(yùn)用了他的模型來(lái)驗(yàn)證其優(yōu)越性，當(dāng)平均功率在丘陵和多風(fēng)地區(qū)增加到相同程度時(shí)，它可以在丘陵地區(qū)提高速度并節(jié)省時(shí)間，但是有更多的方案比斯溫的模型能節(jié)省更多的時(shí)間。在平均功率為289W 的40km 標(biāo)準(zhǔn)賽試跑中，如果功率以接近10%的速率變化，最終可節(jié)省約26秒的時(shí)間。所以如果我們忽略風(fēng)速對(duì)功率改變的影響，也可以得到最佳功率分配曲線。

馬丁等人導(dǎo)出了自行車(chē)行駛速度的模型[24]，涉及的因變量包括空氣阻力、風(fēng)速、風(fēng)力、車(chē)輪軸承摩擦、勢(shì)能和動(dòng)力學(xué)以及機(jī)械效率。由此產(chǎn)生的表達(dá)式是

P ={V2aVG1/2P CDA +Fw + ——— 空氣阻力VGGRRmTgcos arctan GR +——— 滾動(dòng)阻力VG 91+8.7v0 VG10-3 +——— 車(chē)輪軸承的摩擦損失VGGRmTgsin arctan GR——— 勢(shì)能變化1/2 mT +1/r2 V2Gf +V2Gi / ti-tf /Ec——— 能量轉(zhuǎn)換

研究結(jié)果證實(shí)，在自行車(chē)計(jì)時(shí)比賽中，如果騎手的力量與風(fēng)向平行變化，可以縮短比賽時(shí)間。也就是說(shuō)，如果騎手可以通過(guò)改變功率來(lái)補(bǔ)償風(fēng)速的變化，從而節(jié)省時(shí)間。然而，在實(shí)際的比賽線路中，由于賽道的方向可能會(huì)發(fā)生變化，因此行進(jìn)方向不一定與風(fēng)速相同，運(yùn)動(dòng)員對(duì)風(fēng)的感知以及運(yùn)動(dòng)員在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中的反應(yīng)時(shí)間和反應(yīng)動(dòng)作很難模仿。而在實(shí)驗(yàn)中發(fā)現(xiàn)風(fēng)速與節(jié)省的時(shí)間呈線性關(guān)系，因此，我們不將風(fēng)速這個(gè)因素納入模型的建立中，但可以在分析結(jié)果時(shí)考慮風(fēng)速的影響。

2.3.2 針對(duì)運(yùn)動(dòng)員實(shí)際功率分配的穩(wěn)定性分析

當(dāng)運(yùn)動(dòng)員判斷失誤時(shí)，我們以爬山類(lèi)型選手為例，在2021公路自行車(chē)UCI世錦賽的項(xiàng)目上。我們假設(shè)，當(dāng)遇到山地路段時(shí)，爬山類(lèi)型選手錯(cuò)誤地使用力量向前移動(dòng)的可能性有20%。我們假設(shè)在這一點(diǎn)上，他將以爬山時(shí)能達(dá)到的最大功率前進(jìn)，然后我們使用之前在1.1中建立的個(gè)人功率輸出模型，我們可以得到P-x 和V-x 曲線來(lái)預(yù)測(cè)登山者之后的表現(xiàn)。

比較最佳情況下爬山類(lèi)型選手的輸出功率和速度分布，我們可以看到，爬山類(lèi)型選手在誤判情況下的最大速度遠(yuǎn)高于其他情況下的速度，但誤判花費(fèi)的總時(shí)間比我們模型預(yù)測(cè)的最佳情況高19.12%。雖然爬山類(lèi)型選手可以在如此長(zhǎng)的距離內(nèi)恢復(fù)到合適的功率輸出情況，但由于對(duì)高功率輸出的錯(cuò)誤判斷，之后的速度會(huì)均勻下降，從而影響后續(xù)的比賽進(jìn)度，因此，正如我們?cè)谏衔挠?jì)算得到的結(jié)果那樣，更均勻地分配功率輸出和速度可以在比賽中獲得更好的表現(xiàn)。

3 結(jié)語(yǔ)

3.1 總結(jié)

為了幫助騎手在具體線路中制定一個(gè)功率分配方案，我們建立了三個(gè)模型，即騎手功率模型、自行車(chē)動(dòng)力學(xué)模型和個(gè)人計(jì)時(shí)賽的功率分配模型，并將這些模型應(yīng)用于一條包含不同路況的實(shí)際比賽線路，得到了最佳方案，驗(yàn)證了模型的有效性?；谝陨辖Y(jié)果，我們通過(guò)爬山類(lèi)型選手和計(jì)時(shí)賽專業(yè)選手在不同路段的表現(xiàn)來(lái)分析他們之間的差異。最后，還分析了模型對(duì)天氣的敏感性以及實(shí)際比賽中當(dāng)選手不按計(jì)算結(jié)果分配功率時(shí)導(dǎo)致的花費(fèi)的時(shí)間偏差。該模型可作為實(shí)際自行車(chē)計(jì)時(shí)賽選手功率分配的參考，并作為教練和運(yùn)動(dòng)員規(guī)劃初步的路線的依據(jù)。

3.2 展望

為了更好地模擬實(shí)際線路，獲得更具實(shí)際意義的結(jié)果，我們?cè)诤罄m(xù)工作中可以考慮開(kāi)發(fā)一個(gè)程序來(lái)識(shí)別路況，該程序?qū)⒆詣?dòng)讀取相關(guān)參數(shù)，再將其代入模型中進(jìn)行計(jì)算。另外，我們將查閱更多數(shù)據(jù)，通過(guò)添加輪胎材質(zhì)等可變參數(shù)對(duì)進(jìn)行功率優(yōu)化模型進(jìn)行進(jìn)一步的完善，從而實(shí)現(xiàn)更符合個(gè)人需求的模型定制。

參 考 文 獻(xiàn)

[1] LOUCKS A B， KIENS B， WRIGHT H H. Energy availabilityin athletes[J]. Journal of Sports Sciences， 2011，29（sup1）： S7-S15.

[2] BARRETO G H， OLIVEIRA L， SAITO T， et al. TheRoad to the UCI： Profiling a professional Brazilian femaleroad cycling team[J]. 2020. http：//dx.doi.org/10.31236/osf.io/wnpjk

[3] OLDS T. The optimal altitude for cycling performance： amathematical model[J]. Excel， 1992（8）： 155-155.

[4] POWERS SK， WILLIAMS J. Exercise-induced hypoxaemiain highly trained athletes[J]. Sports Med. 1987， 4： 46-53.

[5] KOLBE T， DENNIS S C， SELLEY E， et al. The relationshipbetween critical power and running performance[J].Journal of Sports Sciences， 1995， 13（3）： 265-269.

[6] PERONNET F， THIBAULT G. Mathematical analysis ofrunning performance and world running records[J]. Journalof Applied Physiology， 1989， 67（1）： 453-465.

[7] FOSTER D C， SCHRAGER M， SNYDER A C， et al. Pacingstrategy and Athletic performance[J]. Sports Medicine， 1994，17（2）： 77.

[8] van INGEN SCHENAU G J， De KONING J J， De GROOTG. The distribution of anaerobic energy in 1000 and 4000metre cycling bouts[J]. International Journal of SportsMedicine， 1992， 13（6）： 447-451.

[9] MARINO F E. Anticipatory regulation and avoidance of catastropheduring exercise-induced hyperthermia[J]. ComparativeBiochemistry and Physiology Part B Biochemistryand Molecular Biology， 2004， 139（4）： 561-569.

[10] FOSTER C， SNYDER A C， THOMPSON N N， et al.Effect of pacing strategy on cycle time trial performance[J]. Medicine and Science in Sports and Exercise， 1993，25（3）： 383-388.

[11] OLDS T. Modelling Human locomotion applications to cycling[J]. Sports Med. 2001， 31（7）： 497-509.

[12] ZIGNOLI A. Influence of corners and road conditions oncycling individual time trial performance and ‘optimal’ pacingstrategy： A simulation study[J]. Proceedings of theInstitution of Mechanical Engineers， Part P： Journal ofSports Engineering and Technology， 2021， 235（3）：227-236.

[13] MORTON R H. A three component model of humanbioenergetics[J]. Math Biology. 1986， 24（4）：451-466.

[14] LEO P， SPRAGG J， PODLOGAR T， et al.Power profilingand the power-duration relationship in cycling： a narrativereview[J]. European Journal of Applied Physiology，2022， 122（2）： 301-316.

[15] PETHICK J， WINTER S L， BURNLEY M. Physiologicalevidence that the critical torque is a phase transition， not athreshold[J]. Medicine amp; Science in Sports amp; Exercise，2020， 52.

[16] VOGT S， SCHUMACHER Y， ROECKER K， et al. PowerOutput during the Tour de France[J]. Sports Med. 2007，28（9）： 756-761.

[17] 蔡睿，陳亮，何申杰，等.公路自行車(chē)的動(dòng)力學(xué)分析及仿真研究[J].中國(guó)體育科技， 2014， 50（1）： 4.

CAI R， CHEN L， HE S J， et al. Analysis on the dynamicsand simulation of road cycling[J]. China Sport Science andTechnology， 2014， 50（1）： 125-128.

[18] KIM K U， SHIN B S. Modeling motion resistance of rigidwheels[J]. Journal of Terramechanics， 1985， 22（4）： 225-236.

[19] MUELLER A. Modern robotics： Mechanics， planning，and control[bookshelf][J]. IEEE Control Systems Magazine，2019， 39（6）： 100-102.

[20] XU Y， DAI Y， ZHANG H. Strategy arrangement of roadcycling individual time trial based on topology optimizationalgorithm[C]//Proceedings of the 6th International Conferenceon Medical and Health Informatics. 2022： 242-246.

[21] HAAKONSSEN E C， BARRAS M， BURKE L M， et al.Body composition in female road and track endurance cyclists：Normative values and typical changes in female roadand track endurance cyclists[J]. European Journal of SportScience， 2015：1-9.

[22] HOPKINS W G， ANDERSON M E， LEE H， et al. TheLmi： A new practical index of lean mass for monitoringathletes[J]. Medicine amp; Science in Sports amp; Exercise，2002， 34（5）： S237.

[23] ATKINSON G， PEACOCK O， PASSFIELD L. Variableversus constant power strategies during cycling time-trials：Prediction of time savings using an up-to-date mathematicalmodel[J]. Journal of Sports Sciences， 2007， 25（9）： 1001-1009.

[24] James C. Martin， et al. Validation of a mathematical modelfor road cycling power[J]. Journal of Applied Biomechanics，1998， 14（3）.。