全反射棱鏡式諧振腔中高斯光束角度誤差對(duì)本征模式偏振損耗的影響

摘 要 本文引導(dǎo)學(xué)生將“激光原理與技術(shù)”課程中所學(xué)的高斯光束特性與布儒斯特定律相結(jié)合，以全反射棱鏡式（TRP： Total Reflection Prism）諧振腔為例，研究了高斯光束在TRP面?zhèn)鬏斶^程中入射角度誤差對(duì)腔內(nèi)本征模式偏振損耗的影響，并討論了腔內(nèi)本征模式入射角度誤差、束腰位置（即束腰到棱鏡面的距離）z0 和焦參數(shù)f 等對(duì)偏振損耗的影響。結(jié)果表明：在一定范圍內(nèi)，隨著角度誤差的增加，s、p分量偏振損耗增大，最后趨于穩(wěn)定。同時(shí)，對(duì)于同一角度誤差而言，隨著z0 和f 的增大，s、p分量的偏振損耗減少，且相同的z0 和f 的增量會(huì)引起更小的s、p分量偏振損耗。本文研究結(jié)果可對(duì)TRP腔內(nèi)本征模式偏振損耗的降低、腔體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及優(yōu)化提供一定的理論依據(jù)。

關(guān)鍵詞 全反射棱鏡;諧振腔;偏振損耗

當(dāng)入射角度較大時(shí)，從光密介質(zhì)入射到光疏介質(zhì)的光束會(huì)在分界面上發(fā)生全反射現(xiàn)象，這一現(xiàn)象在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用，如：用于通信的光纖和探測(cè)的光學(xué)儀器中[1]。將全反射與布儒斯特定律相結(jié)合[2]，可以構(gòu)成全反射棱鏡式（TRP： TotalReflection Prism）環(huán)形諧振腔[3-6]，其作為激光陀螺的核心器件用于遠(yuǎn)距離飛行器的慣性導(dǎo)航。

與鍍膜反射鏡環(huán)形諧振腔相比，TRP諧振腔既無高精度的鍍膜工藝要求，又具有極高的反射率來提高激光器的增益效率并有效避免背向散射對(duì)腔內(nèi)本征模式的干擾，因而受到了越來越多科研人員的關(guān)注。Kuryatov等分析了TRP諧振腔中的偏振損耗及偏振光束的非均勻性和反向傳輸光波的非互易性[7， 8]。Voronina等分別對(duì)三棱鏡和四棱鏡諧振腔中偏振損耗進(jìn)行對(duì)比分析，發(fā)現(xiàn)四棱鏡諧振腔中s分量的全反射損耗比三棱鏡諧振腔中s分量的全反射損耗大[9]。劉健寧等基于棱鏡材料的介電常數(shù)隨應(yīng)力的變化，研究了TRP受到應(yīng)力而產(chǎn)生的應(yīng)力雙折射對(duì)TRP諧振腔中激光束輸出質(zhì)量的影響[10]。TRP諧振腔的工作過程對(duì)棱鏡放置精度及腔內(nèi)本征模式光束質(zhì)量和入射角度要求甚高。這是因?yàn)楣馐谇粌?nèi)傳輸一周要經(jīng)過4個(gè)全反射棱鏡，在每一個(gè)TRP中的傳輸均包含兩次折射和一次全反射過程，在每個(gè)棱鏡中，光束以布儒斯特角入射和出射，亦即每個(gè)TRP有兩個(gè)布儒斯特窗。此外，TRP環(huán)形諧振腔內(nèi)運(yùn)行著s、p兩個(gè)偏振分量，且由布儒斯特定律可知，s分量相對(duì)于p分量有較大的反射損耗。因此，理想情況下，s分量被抑制不起振，諧振腔內(nèi)只運(yùn)行著p分量，即腔內(nèi)光束為線偏振光。然而，實(shí)際情況下，諧振腔內(nèi)的激光束為橢圓偏振光，一部分是由于加工精度不夠和調(diào)腔不準(zhǔn)，另一部分原因是棱鏡折射面和波前曲率不一致導(dǎo)致只有中心部分光束滿足布儒斯特條件，其他部分光束不滿足，這造成TRP折射面成為部分偏振器，各個(gè)點(diǎn)的偏振度不同，最終導(dǎo)致偏振不均勻[11，12]。本文將分析腔內(nèi)光束在折射過程中激光束偏離布儒斯特角對(duì)各分量偏振損耗的影響，分析不同高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角下的偏振損耗。

1 理論分析

圖1（a）中TRP環(huán)形諧振腔主要由四個(gè)棱鏡組成[3]，其中，棱鏡Pr1、Pr2 有一個(gè)通光面為球面，以保證諧振腔的穩(wěn)定性，稱為第一類棱鏡，棱鏡Pr3、Pr4 所有的通光面均為平面，稱為第二類棱鏡。環(huán)形諧振腔作為激光陀螺的核心器件，其測(cè)量角速度原理是基于Sagnac效應(yīng)的，對(duì)于理想的TRP而言，不存在由TRP加工誤差導(dǎo)致的應(yīng)力雙折射而產(chǎn)生的干涉。圖1（b）給出了光束在環(huán)形諧振腔中單個(gè)理想TRP內(nèi)的傳輸情況?？梢钥闯觯紫?，光線在TRP的小直角面上從空氣中折射到TRP內(nèi)，入射角和折射角分別為θ1、θ2;其次，折射光線到達(dá)TRP的斜面發(fā)生全反射，入射角為θ3;最后，全反射光線在TRP的大直角面上從TRP內(nèi)折射到空氣，入射角和折射角分別為θ4、θ5，α 為TRP內(nèi)全反射面與小直角面所成的棱角[13]?？梢钥闯?/p>

上述分析是在理想平行光以布儒斯特角入射的情況下，由于s偏振分量損耗大，不能起振，環(huán)形腔內(nèi)只運(yùn)行著p偏振分量，然而，實(shí)際TRP諧振腔中，光束為高斯光束，并非理論的平行光束（圖2），一束高斯光束（即一種曲率中心和曲率半徑都隨傳播過程而不斷改變的非均勻球面波）以布儒斯特角入射棱鏡面。其中，θ 為高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角，θB 為布儒斯特角，r 為高斯光束橫截面內(nèi)任一點(diǎn)到z 軸的距離，z0 為高斯光束束腰到棱鏡的距離。可以看出，高斯光束只有中心區(qū)域滿足布儒斯特角入射，而邊緣部分不滿足布儒斯特條件，此時(shí)，高斯光束的反射、折射光的s分量和p分量都發(fā)生變化，即諧振腔內(nèi)傳輸?shù)募す馄駪B(tài)發(fā)生改變，使光束無法以線偏光的形式在諧振腔中傳輸，從而影響全反射棱鏡的反射率。

綜上所述，角度誤差對(duì)偏振態(tài)和偏振損耗具有一定影響，本文通過理論分析和數(shù)值計(jì)算，得到不同z0 時(shí)，p分量和s分量的偏振損耗與角度誤差的關(guān)系。

基模高斯光束基模行波場(chǎng)為

其中，ω0 為束腰半徑，ω（z）=ω0（1+z2/f 2）1/2 為傳播至z 處光束半徑，R（z）為傳播至z 處波前曲率半徑，f=kω2 0/2為高斯光束的焦參數(shù)，k 為波數(shù)。略去附加相移的影響可得

由于高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角θ 很小，一般為毫弧度量級(jí)，則高斯光束區(qū)域光場(chǎng)即認(rèn)為z0 點(diǎn)光場(chǎng)，則

將式（7）（8）（10）和式（11）代入式（9）并進(jìn)行變量代換，即可得到兩個(gè)偏振分量的反射光強(qiáng)

2 角度誤差影響

不同于傳輸矩陣法只能研究某一個(gè)特定角度誤差對(duì)偏振分量損耗的影響，本文基于上述分析，將研究光束在一個(gè)TRP分界面上反射過程中角度誤差存在一定變化范圍情況下兩個(gè)偏振分量的損耗特性。同理，在整個(gè)諧振腔中多次折射和反射過程的分析思路也是一樣分析的，區(qū)別在于光束在不同TRP分界面上入射角度誤差范圍有所不同。本文所取的TRP諧振腔結(jié)構(gòu)參數(shù)為：腔內(nèi)真空折射率n1=1，構(gòu)成諧振腔的棱鏡折射率n2=1.45703，常數(shù)E0=1，焦參數(shù)f=0.15，本征模式束腰半徑ω0=（λf/π）1/2=1.7382×10-4。根據(jù)p分量偏振損耗的定義lossp=Irp/Ip（Irp：p分量反射光強(qiáng)，Ip：p分量入射光強(qiáng)），圖3給出了不同z0情況下，角度誤差θ 對(duì)p分量偏振損耗的影響。

可以看出，在一定范圍內(nèi)，隨著角度誤差的增大，p分量偏振損耗增加;超出此范圍時(shí)，隨著角度誤差增大，p分量偏振損耗趨于穩(wěn)定。這是由于高斯光束能量主要集中于光束中心區(qū)域，超出中心區(qū)域的光強(qiáng)占總光強(qiáng)的比例很小，從而導(dǎo)致入射和反射光的p分量強(qiáng)度在超出一定角度誤差范圍后趨于穩(wěn)定，其偏振損耗也不再變化。同時(shí)，隨著z0 的增大，相同角度誤差下p分量的偏振損耗減少，且對(duì)于同一角度誤差，隨著z0 的增大，相同的z0 增量會(huì)引起更小的p分量偏振損耗?？紤]到實(shí)際情況，由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大。因此，選擇合適的z0 至關(guān)重要。

同理，根據(jù)s分量偏振損耗的定義losss=Irs/Is（Irs：s分量反射光強(qiáng)，Is：s分量入射光強(qiáng)），圖4給出了不同z0 情況下，角度誤差θ 對(duì)s分量偏振損耗的影響，其趨勢(shì)與p分量情況下類似。造成該趨勢(shì)同樣是由于高斯光束光強(qiáng)主要集中于中心區(qū)域，導(dǎo)致入射和反射的s分量光強(qiáng)在超出一定角度誤差范圍后可趨于穩(wěn)定，s分量的偏振損耗也不再變化。在一定范圍內(nèi)，隨著z0 增加，相同角度誤差下s分量的偏振損耗減少，且對(duì)于同一角度誤差，隨著z0 增加，相同的z0 增量會(huì)引起更小的s分量偏振損耗。

對(duì)比s、p分量偏振損耗情況可知，兩者的趨勢(shì)基本相同，其中p分量偏振損耗從0開始，這是由于在理想情況下，光束以布儒斯特角入射，此時(shí)p分量的反射系數(shù)為0，反射光中不存在p分量，因此p分量偏振損耗為0;而s分量由于在角度誤差為0時(shí)，存在反射系數(shù)，反射光中s分量不為0，因此s分量偏振損耗始終存在。同樣，相同z0 條件下，隨著角度誤差增大，s、p分量偏振損耗增加，超出此范圍，s、p分量偏振損耗趨于穩(wěn)定。隨著z0 增加，相同角度誤差下，s、p分量的偏振損耗減少，且減少量也逐漸變小。而由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大。因此，取合適的z0 至關(guān)重要。

在上述分析基礎(chǔ)上，本文進(jìn)一步研究了腔內(nèi)本征模式焦參數(shù)對(duì)偏振損耗的影響。其中，本征模式束腰位置z0 =0.5m，其余參數(shù)均與上節(jié)相同。圖5給出了不同焦參數(shù)情況下，p分量偏振損耗隨角度誤差的變化趨勢(shì)?？梢钥闯?，同樣由于高斯光束主要集中于中心區(qū)域，p分量偏振損耗趨勢(shì)依然是先隨著角度誤差增大而增大，當(dāng)角度誤差達(dá)到一定程度時(shí)，趨于穩(wěn)定。對(duì)應(yīng)同一角度誤差而言，在一定范圍內(nèi)，隨著f 的增大，達(dá)到p分量偏振損耗飽和值時(shí)的角度誤差逐漸減小，且相同角度誤差下的p分量偏振損耗減小。

同理，圖6給出了不同焦參數(shù)情況下，s分量偏振損耗隨角度誤差的變化趨勢(shì)。可以看出，s分量偏振損耗趨勢(shì)同樣先隨著角度誤差增大而增大，當(dāng)角度誤差達(dá)到一定程度時(shí)，趨于穩(wěn)定。在一定范圍內(nèi)，隨著f 的增大，s分量偏振損耗達(dá)到飽和值時(shí)的角度誤差減小，且相同角度誤差下的s分量偏振損耗減小。

對(duì)比圖5和圖6的結(jié)果可知，當(dāng)f 不變時(shí)，在一定范圍內(nèi)，s、p分量偏振損耗都隨著角度誤差的增大而增加，且最終趨于穩(wěn)定。這對(duì)TRP諧振腔內(nèi)本征模式偏振損耗的降低具有一定意義。

3 結(jié)語

本文針對(duì)學(xué)生在“激光原理與技術(shù)”課程中所學(xué)的高斯光束遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散特性，結(jié)合布儒斯特定律，以全反射棱鏡式諧振腔為例，研究了高斯光束在TRP面?zhèn)鬏斶^程中入射角度誤差對(duì)腔內(nèi)本征模式偏振損耗的影響，并討論了改變諧振腔內(nèi)參數(shù)對(duì)偏振損耗進(jìn)行調(diào)控，進(jìn)而減小角度誤差對(duì)偏振損耗的影響的方法。本文推導(dǎo)得到了s、p分量折射后的光強(qiáng)分布，并分析了存在不同角度誤差情況下，腔內(nèi)本征模式入射角度、束腰位置z0 和焦參數(shù)f 誤差等對(duì)s、p分量偏振損耗的影響規(guī)律。結(jié)果表明在一定范圍內(nèi)，隨著角度誤差的增加，s、p分量偏振損耗增大，最后趨于穩(wěn)定。同時(shí)，對(duì)應(yīng)同一角度誤差而言，隨著z0 和f 的增大，s、p分量的偏振損耗減少，且相同的z0 和f 的增量會(huì)引起更小的s、p分量偏振損耗?？紤]到實(shí)際應(yīng)用，由于諧振腔尺寸的限制，z0 不能無限制增大，因此，取合適的z0 至關(guān)重要。本文關(guān)于偏振損耗的研究對(duì)全反射棱鏡式激光諧振腔內(nèi)本征模式偏振損耗的降低、腔體結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)及測(cè)量精度的提高提供一定的理論依據(jù)。

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基金項(xiàng)目： 2023年度陜西高等教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)項(xiàng)目（23BZ005）、2023 年度西北工業(yè)大學(xué)教育教學(xué)改革研究重點(diǎn)委托項(xiàng)目（2023JGWZ09）、國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目（61975165）資助。