“多邊形的面積”單元教材分析和教學(xué)建議

張幫敏 王儷嘉

摘要：“多邊形的面積”單元以面積單位的度量為起點，以轉(zhuǎn)化和推理為基本方法，以圖形內(nèi)在聯(lián)系為線索，以動手操作探究為基礎(chǔ)，讓學(xué)生經(jīng)歷推導(dǎo)圖形的面積計算公式的過程。教學(xué)中需以度量為本質(zhì)，借助標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)學(xué)生生成“單位”思想；以轉(zhuǎn)化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展空間推理能力；以“經(jīng)驗”為紐帶，聯(lián)系實際，提升綜合應(yīng)用意識。

關(guān)鍵詞：度量；轉(zhuǎn)化；整體建構(gòu)；多邊形面積

“多邊形的面積”是人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第六單元的教學(xué)內(nèi)容，屬于小學(xué)數(shù)學(xué)“圖形與幾何”中“圖形的認(rèn)識與測量”板塊。此前，學(xué)生已經(jīng)認(rèn)識了長方形、正方形、平行四邊形、三角形等平面圖形，并學(xué)習(xí)了長方形、正方形面積的計算方法，也具備了度量面積的經(jīng)驗。本單元以面積單位的度量為起點，以轉(zhuǎn)化和推理為基本方法，讓學(xué)生通過觀察、拼擺、剪拼等活動，推導(dǎo)各種圖形的面積計算公式，積累活動經(jīng)驗，形成空間觀念和推理意識，為后續(xù)探究圓的面積、立體圖形的表面積和體積積累活動經(jīng)驗，奠定思想和方法基礎(chǔ)[1]。本文主要結(jié)合教學(xué)實踐，對多邊形的面積單元進(jìn)行教材簡析并提出教學(xué)建議。

一、教材簡析

多邊形的面積以一幅“校園主題圖”引入，開啟平面圖形面積的計算學(xué)習(xí)，主題圖中包含平行四邊形、三角形等，既能喚起學(xué)生對圖形特征的認(rèn)識，又能為多邊形面積的計算做鋪墊。單元主要內(nèi)容包括平行四邊形的面積、三角形的面積、梯形的面積、組合圖形的面積以及解決問題，各板塊內(nèi)容的編排既有一致性和統(tǒng)整性，同時又各有側(cè)重，體現(xiàn)出清晰的層次性和關(guān)聯(lián)性。下面基于圖形的認(rèn)識與測量一致性的角度，結(jié)合教材編寫特點對本單元做簡要分析。

（一）以面積單位的度量為起點，促進(jìn)學(xué)生整體建構(gòu)知識

長度是對一維空間的度量，面積是對二維空間的度量，體積是對三維空間的度量，其本質(zhì)具有一致性，即計算所要度量的圖形包含多少個度量單位[2]?！抖噙呅蔚拿娣e》這一單元以度量作為起點，在平行四邊形的面積探究中，通過數(shù)格子、填表格，尋找平行四邊形與長方形的關(guān)系，感受計算平行四邊形的面積就是看它包含了多少個面積單位，從而進(jìn)一步深刻領(lǐng)會計算面積的度量本質(zhì)。教材在解決問題中編排了借助方格紙估計不規(guī)則圖形面積的內(nèi)容，并引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)估計的事物找到合適的標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行估測，這也是對面積單位度量本質(zhì)的鞏固和運用。教材從“認(rèn)識面積和面積單位”到“長方形、正方形的面積”再到“多邊形的面積”，以面積單位貫穿始終，讓學(xué)生經(jīng)歷了“量的認(rèn)識———量的比較———用公式求量”的過程。這樣的邏輯體系還將貫穿于后續(xù)體積的學(xué)習(xí)過程，充分體現(xiàn)出數(shù)學(xué)知識內(nèi)在的邏輯性和系統(tǒng)性，有助于學(xué)生理解知識的本質(zhì)，更有利于學(xué)生構(gòu)建整體知識圖譜。

（二）以圖形內(nèi)在聯(lián)系為主線，促進(jìn)學(xué)生自主遷移

本單元的內(nèi)容編排體現(xiàn)出各圖形間緊密的內(nèi)在聯(lián)系。首先，平行四邊形的面積公式推導(dǎo)是將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形，三角形的面積公式推導(dǎo)是將三角形轉(zhuǎn)化為平行四邊形，梯形的面積公式推導(dǎo)是將梯形轉(zhuǎn)化為平行四邊形或者三角形，組合圖形的面積是將組合圖形轉(zhuǎn)化為幾個學(xué)過的圖形。將未知轉(zhuǎn)化為已知的前提是清晰地認(rèn)識各個圖形的特征和關(guān)系。其次，轉(zhuǎn)化完成后，需要更進(jìn)一步分析轉(zhuǎn)化前后圖形的內(nèi)在聯(lián)系，從而成功推導(dǎo)出新圖形的面積計算公式。這種“轉(zhuǎn)化———找聯(lián)系———推導(dǎo)公式”的活動經(jīng)驗和思維方式，在后續(xù)學(xué)習(xí)圓的面積、圓柱體的體積等活動中，能提高學(xué)生自主遷移和學(xué)習(xí)能力。

教材在編排的過程中，還通過練習(xí)題引導(dǎo)學(xué)生感悟和發(fā)現(xiàn)各種圖形間的內(nèi)在聯(lián)系。如人教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材五年級上冊第88頁第8題，溝通長方形與平行四邊形的聯(lián)系；第10題安排在平行四邊形面積的后面，為三角形面積的探究做鋪墊；第102頁第5題，通過深度對比可以發(fā)現(xiàn)，其實長方形的面積也可以看成是底×高，當(dāng)梯形的上底和下底相等時，就變成了平行四邊形，當(dāng)梯形的上底為0時，其實就是三角形，從而使學(xué)生進(jìn)一步了解幾種圖形面積與底和高的關(guān)系。

（三）以動手實踐為主要學(xué)習(xí)方式，鼓勵學(xué)生自主探索

本單元各部分內(nèi)容編排遵循“生活情境———抽象圖形———活動探究———公式推導(dǎo)———公式運用”的基本流程，且教材都沒有呈現(xiàn)公式推導(dǎo)的過程，留給學(xué)生觀察、猜想、操作、推理、驗證的空間，讓學(xué)生在剪、拼、擺等動手實踐、推理驗證的過程中，逐步發(fā)展空間觀念、推理意識并提高解決問題的能力。

平行四邊形的面積是讓學(xué)生在數(shù)格子的活動中逐步引發(fā)猜想，從而通過剪、拼把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形；三角形的面積是讓學(xué)生把三角形轉(zhuǎn)換為已經(jīng)學(xué)過的圖形；梯形的面積留給學(xué)生更大的探索空間，讓學(xué)生用學(xué)過的知識自主探索梯形的面積計算公式。同時，教材內(nèi)容的編排促使學(xué)生將動手實踐與推理結(jié)合起來，在面積公式的推導(dǎo)過程中，需要學(xué)生的思維從操作層面上升到推理層面，以等積變換或者倍積變換的方式，將新圖形轉(zhuǎn)化為已知圖形，然后經(jīng)歷對比觀察、尋找聯(lián)系、整合信息、重建表達(dá)等思維活動，找到轉(zhuǎn)化前后圖形的關(guān)系，推導(dǎo)出圖形的面積計算公式，這個推理的過程既是學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)重建的過程，也是積累經(jīng)驗，提升素養(yǎng)的過程。

二、教學(xué)建議

基于上述教學(xué)內(nèi)容分析，結(jié)合自身的教學(xué)實踐，教學(xué)這部分內(nèi)容時有以下幾點建議。

（一）以度量為本質(zhì)，借助標(biāo)準(zhǔn)，引導(dǎo)生成“單位”思想

度量的本質(zhì)在于用標(biāo)準(zhǔn)單位刻畫描述物體某一方面的屬性。面積度量的本質(zhì)是相同面積單位個數(shù)的累加。研究長方形、平行四邊形、三角形和梯形的面積就是在計數(shù)這些圖形里面包含多少個面積單位。

長方形、正方形的面積是用每行的面積單位個數(shù)乘行數(shù)，即長乘寬。求平行四邊形、三角形和梯形的面積，也可以將這些圖形看作是一行有幾個面積單位，通過觀察有這樣的幾行，進(jìn)而推導(dǎo)出這些圖形的面積。本單元可以借助每個面積為1cm的方格紙作為度量標(biāo)準(zhǔn)，幫助學(xué)生自主轉(zhuǎn)化圖形，推導(dǎo)面積公式，生成“單位”思想。

例如，教學(xué)“平行四邊形的面積”時，學(xué)生借助方格紙，數(shù)平行四邊形的面積，可以通過多次拼湊把每一行移成整格，數(shù)出有這樣的幾行，也可以直接一次移拼把平行四邊形轉(zhuǎn)化為一個長方形，再用每行個數(shù)乘行數(shù)。不同計數(shù)面積的方式都得到了平行四邊形包含了幾個1平方厘米，即面積就是幾平方厘米。通過比較，發(fā)現(xiàn)先轉(zhuǎn)化為長方形再計算的方法會更快。脫離方格的情況下，再讓學(xué)生通過操作、觀察、比較、交流發(fā)現(xiàn)平行四邊形和轉(zhuǎn)化后的長方形之間的聯(lián)系，領(lǐng)會平行四邊形的底和高的長度與面積單位計數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，深化面積公式的理解，深入理解度量本質(zhì)。在研究三角形、梯形等其他平面圖形和的面積時，也可以通過“單位”思想的方法“數(shù)”出來。

（二）以轉(zhuǎn)化為主線，溝通聯(lián)系，發(fā)展推理意識

“轉(zhuǎn)化”是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和研究的一種重要思想方法，在本單元的學(xué)習(xí)中，不論是推導(dǎo)基本圖形的面積公式，還是計算組合圖形的面積，每出現(xiàn)一種新的圖形，都要突出“將未知轉(zhuǎn)化為已知”這一基本轉(zhuǎn)化思想。

例如，教學(xué)“三角形的面積”時，可適當(dāng)放手讓學(xué)生自主探究，通過計數(shù)、剪拼、觀察、歸納推理活動中，借助“單位”思想和已有知識經(jīng)驗，在面積單位湊整的過程中學(xué)生生成自主轉(zhuǎn)化意識。通過“割補法”的等積變換和“倍拼法”的倍積變換兩種不同方法把三角形轉(zhuǎn)化為已學(xué)的長方形和平行四邊形，再推導(dǎo)出它的面積。探索過程中，讓學(xué)生體會圖形的特征、關(guān)系和轉(zhuǎn)化，體驗圖形的平移、旋轉(zhuǎn)以及轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展學(xué)生的推理意識。

在教學(xué)“梯形的面積”“組合圖形的面積”時，可完全放手讓學(xué)生自主探索。在單元整理復(fù)習(xí)課中，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)研究這些平面圖形的面積都是應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想推導(dǎo)出面積計算公式。同時，轉(zhuǎn)化思想也是后期學(xué)習(xí)其他知識的基礎(chǔ)。

（三）以“經(jīng)驗”為紐帶，聯(lián)系實際，提升應(yīng)用意識

五年級學(xué)生已有面積、面積單位、長方形的面積等知識經(jīng)驗，教師在教學(xué)中要著重關(guān)注新舊知識之間的聯(lián)系。例如，學(xué)習(xí)“平行四邊形的面積”時，要進(jìn)行面積、平行四邊形相關(guān)概念以及長方形面積計算的復(fù)習(xí)回顧，把握學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)，找準(zhǔn)教學(xué)起點，有效開展教學(xué)。

本單元在引入新課環(huán)節(jié)創(chuàng)設(shè)了真實的生活情境，學(xué)生可以運用已有的生活經(jīng)驗把實物的形狀抽象為平面圖形，進(jìn)而探索其大小，能較好地激發(fā)學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實世界。在實際生活中，有一些不規(guī)則圖形，無法直接算出面積，教師可以引導(dǎo)學(xué)生確定一個適合的測量標(biāo)準(zhǔn)去估計，也可以將不規(guī)則圖形近似看作規(guī)則圖形來估計面積，靈活采用不同的估計策略培養(yǎng)學(xué)生的估測意識。在教學(xué)“組合圖形的面積”時要尊重學(xué)生的想法，鼓勵學(xué)生靈活運用各種策略與方法，培養(yǎng)學(xué)生多角度思考的能力，提升學(xué)生應(yīng)用意識。

總之，多邊形的面積是培養(yǎng)學(xué)生空間觀念、模型意識、推理意識等核心素養(yǎng)的重要內(nèi)容，教師在教學(xué)中，需要抓住度量的本質(zhì)，落地數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，突出轉(zhuǎn)化的思想，溝通多個圖形的內(nèi)在聯(lián)系，引導(dǎo)學(xué)生多角度思考問題、解決問題。

參考文獻(xiàn)：

[1] 王海華，王彥偉.立足度量本質(zhì)，親歷探究過程，發(fā)展創(chuàng)新思維：五年級上冊第六單元《多邊形的面積》[J].中國多媒體與網(wǎng)絡(luò)教學(xué)學(xué)報，2021（6）.

[2] 石迎春，于偉.有過程的歸納教學(xué)：以《多邊形的面積》單元教學(xué)為例[J].基礎(chǔ)教育課程，2023（12）.

編輯/趙卓然