平面向量數(shù)量積的最值問題求解策略

林芬

［摘 要］文章從一道求解平面向量數(shù)量積的最值的填空題入手，探究平面向量數(shù)量積的最值問題的多種解法，通過反思提煉，以提高學(xué)生的解題能力。

［關(guān)鍵詞］平面向量；數(shù)量積；最值問題

［中圖分類號(hào)］? ? G633.6? ? ? ? ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］? ? A? ? ? ? ［文章編號(hào)］? ? 1674-6058（2024）08-0024-03

平面向量數(shù)量積的最值問題，是各級(jí)各類考試的熱點(diǎn)。本文擬從一道填空題入手，探究平面向量數(shù)量積的最值問題的多種解法，并通過反思提煉以及解法活用，促進(jìn)學(xué)生實(shí)現(xiàn)對(duì)知識(shí)的融會(huì)貫通和方法的靈活運(yùn)用，提高學(xué)生的解題能力。

［題目］已知圓[O]的半徑為[1，PA、PB]為該圓的兩條切線， [A、B]為兩切點(diǎn)，那么[PA·PB]的最小值為? ? ? ? ? ? ? ? ?。

一、多解探究

平面向量具有代數(shù)和幾何的雙重屬性，求解平面向量數(shù)量積的最值問題可以從代數(shù)角度和幾何角度去尋找解題思路，代數(shù)化、坐標(biāo)化和幾何化都是最常見的解題策略。

思路1：利用定義代數(shù)化，直接利用平面向量數(shù)量積的定義，借助基本不等式求解。

解法1：如圖1所示，設(shè)[OP=x]，[∠APO=θ]，則[PA=x2-1]，[cos2θ=1-2sin2θ=1-2x2]，所以[PA·PB=PAPBcos2θ=PA2cos2θ=（x2-1）1-2x2=x2+2x2-3≥22-3]，當(dāng)且僅當(dāng)[x2=2]時(shí)等號(hào)成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路2：利用平面向量的基底轉(zhuǎn)化運(yùn)算。

解法2：如圖2所示， 設(shè)[AB]的中點(diǎn)為[M]，設(shè)[OM=x]，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理得[OA2=OM×OP]，[MA2=OMPM]，所以[OP=1x]，[PM=1x-x]，所以[PA·PB=（PM+MA）·（PM+MB）=（PM+MA）（PM-MA）=PM2-MA2=PM2-OMPM=1x-x2-x1x-x=2x2+1x2-3≥22-3]，當(dāng)且僅當(dāng)[x2=22]時(shí)等號(hào)成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路3：利用平面向量的極化恒等式加以轉(zhuǎn)化。

解法3：如圖2所示，在[Rt△PAO]中，由直角三角形射影定理有[OA2=OMOP]，所以[OP=1OM]，[PA·PB=14（PA+PB）2-（PA-PB）2][ =14（2PM）2-AB2=14（2PM）2-（2AM）2=PM2-AM2=][（OP-OM）2-OA2-OM2][ =1OM-OM2-OA2-OM2][ =2OM2+1OM2-3≥22-3]，當(dāng)且僅當(dāng)[OM=124]時(shí)等號(hào)成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路4：建立平面直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)運(yùn)算求解。

解法4：如圖3所示，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)[A（x，y）]，[P（x0，0）]，則[B（x，-y）]，[x2+y2=1]，所以[PA=（x-x0 ，y）]，[PB = （x-x0 ，-y）]，所以[PA·PB=x2-2xx0+x20-y2=2x2+x20-2xx0-1]，又[OA·PA=0]，所以[PA·PB=2x2+x20-2xx0-1=2x2+x20-3≥22x2x20-3=22-3]，當(dāng)且僅當(dāng)[2x2=x20]，即[x=124]時(shí)等號(hào)成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

思路5：利用平面向量數(shù)量積定義，換元轉(zhuǎn)化為分式型最值問題。

解法5：如圖1所示，設(shè)[∠APO=θ]，則[PA·PB=PA2cos2θ]，在[Rt△PAO]中，[tanθ=1PA，]因?yàn)閇cos2θ=1-tan2θ1+tan2θ=PA2-1PA2+1]，所以[PA·PB=PA2PA2-1PA2+1]，令[PA2=t]，則[PA·PB=t2-tt+1=t+1+2t+1-3≥22-3]，當(dāng)且僅當(dāng)[t+1=2]，即[t=2-1]時(shí)等號(hào)成立，所以[（PA·PB）min=22-3]。

二、反思提煉

求解平面向量數(shù)量積的最值問題，最基本的思路就是結(jié)合數(shù)量積定義與向量運(yùn)算公式，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒▽⑵矫嫦蛄繑?shù)量積的最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題。這類問題一般有以下幾種轉(zhuǎn)化方向：利用數(shù)量積的定義，借助平面幾何知識(shí)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，如思路1；利用向量運(yùn)算（三角形法則）和平面圖形的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)為關(guān)于某個(gè)變量的函數(shù)，如思路2；利用向量極化恒等式：[a·b=14（a+b）2-（a-b）2]進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如思路3； 建立平面直角坐標(biāo)系，把問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算，如思路4；設(shè)角度，把問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)問題后，換元化為分式型的最值問題，如思路5。建立目標(biāo)函數(shù)后求最值，需具體問題具體分析。求最值問題一般有兩種方法：一是利用幾何意義和平面幾何的有關(guān)結(jié)論來解決，非常巧妙；二是將最值問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，然后根據(jù)函數(shù)的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法、三角函數(shù)有界法、函數(shù)單調(diào)性法以及均值不等式法求解。

三、解法活用

［例1］已知圓[O]的半徑是1，直線[PA]與圓[O]相切于點(diǎn)[A]，過點(diǎn)[P]的直線[PB]與圓[O]交于[B]、[C]兩點(diǎn)，且點(diǎn)[A]與點(diǎn)[O]在直線[PB]的兩側(cè)，點(diǎn)[D]為[BC]的中點(diǎn)，若[PA=3]，則[PA·PD]的最大值為? ? ? ? ? ? ?。

分析：依題意求出[PO=2]，[∠APO=π6]，設(shè)[∠CPO=α]，將[PA·PD]轉(zhuǎn)化為[α]的函數(shù)，由三角函數(shù)的最值求解。

解：依題意，如圖4所示，在[Rt△AOP]中，[AO=1]，[AP=3]，所以[PO=2]，[∠APO=π6]，設(shè)[∠CPO=α]，[α∈0，π6]，在[Rt△DOP]中，[PD=POcosα=2cosα]，[PA·PD=]

[PAPDcosπ6-α=3×2cosαcosπ6-α=][23cosα32cosα+12sinα=32cos2α+32sin2α+] [32 =3sin2α+π3+32]，由于[α∈0，π6]，則[2α+π3∈π3，2π3]，當(dāng)[2α+π3=π2]時(shí)，[sin2α+π3=1]，此時(shí)[PA?PD]取得最大值[32+3]。

點(diǎn)評(píng)：本題結(jié)合平面向量數(shù)量積定義和幾何圖形特征，將原問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題。

［例2］已知向量[a，b，e]滿足[e=1]，[a·e=1]，[b·e=2]，[a-b=2]，則[a·b]的最小值是? ? ? ? ? ? 。

分析：由題意知，若[e=（1，0）]，設(shè)[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，求出[a+b]、[a-b]的坐標(biāo)。

思路1：根據(jù)[a·b=a+b22-a-b22]求最小值。

思路2：由已知[a-b=1+（m-n）2=2]，結(jié)合基本不等式求[mn]的取值范圍，再由平面向量數(shù)量積坐標(biāo)表示求[a·b]的最小值；注意取值條件。

解法1：由題意，若[e=（1，0）]，設(shè)[a=（1，m）]，[b=（2，n）]，則[a+b=（3，m+n）]，[a-b=（-1，m-n）]，[a·b=a+b22-a-b22=149+（m+n）2-4=145+（m+n）2≥54]，當(dāng)且僅當(dāng)[m+n=0]時(shí)等號(hào)成立，故[a·b]的最小值為[54]。

解法2：[a-b=1+（m-n）2=2]，即[（m-n）2=3]，由基本不等式得[mn≥-34]，當(dāng)且僅當(dāng)[m=-n]時(shí)等號(hào)成立，故[a·b=2+mn≥2-34=54]，所以[a·b]的最小值為[54]。

點(diǎn)評(píng)：解法1采用了向量極化恒等式，通過配方法求最值；解法2采用了坐標(biāo)法，利用基本不等式求最值。

［例3］已知[OA=OB=OC=1]，[OA·OB=0]，[OP≤1]，則[AP·BP+BP·CP+CP·AP]的最大值為? ? ? ? ? 。

分析：利用向量的減法法則，把[AP]，[BP]，[CP]轉(zhuǎn)化為[OA]，[OB]，[OC]，[OP]進(jìn)行求解。

解：設(shè)[M=AP·BP+BP·CP+CP·AP]，則[M=（OP-OA）（OP-OB）+（OP-OB）（OP-OC）+（OP-][OC）（OP-OA）] [=3OP2-（OA+OB）?OP+（OB+OC）?OP+（OC+OA）?OP+（OA·OB+OB·OC+][OC·OA） ][=3OP2-2（OA+OB+OC）·OP+（OA?OB+OB·OC+OC?OA） ][=3OP-OA+OB+OC32-（OA+OB+OC）23+（OA?OB+OB?OC+OC?OA）=][3OP-OA+OB+OC32+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1]。設(shè)[OP=（x，y）]，[OA=（1，0）]，[OB=（0，1）]，[OC=]（[cosθ]，[sinθ]），[θ∈0，2π ]，[OG=OA+OB+OC3]，即[G]為[△ABC]的重心，則[OP-OA+OB+OC32=PG2]，∵[OA=OB=OC=1]，[OP≤1]，∴[A]、[B]、[C]三點(diǎn)共圓，點(diǎn)[P]位于圓上或圓內(nèi)，故當(dāng)[P]為射線[GO]與圓周交點(diǎn)時(shí)，[PG2]最大，即[OG+12]最大。∴[M≤3OG+12+OA·OB+OB·OC+OC·OA3-1][=3（1+cosθ）2+（1+sinθ）2+12+sinθ+cosθ3-1=][3133+2（cosθ+sinθ）+12+sinθ+cosθ3-1]。由[-2≤sinθ+cosθ≤2]得，[M≤3133+22+12+23-1=5+32]。當(dāng)且僅當(dāng)[θ=π4]時(shí)，[M]取到最大值[5+32]。

點(diǎn)評(píng)：本題應(yīng)用平面向量基本定理，將所求向量向基底轉(zhuǎn)化，同時(shí)為了構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)將向量坐標(biāo)化，求最值時(shí)，既應(yīng)用了幾何圖形的性質(zhì)，又運(yùn)用了三角函數(shù)的有界性。用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運(yùn)算來解決。

［例4］已知向量[a]，[b]滿足[a=3]，且[b-λa]的最小值為1（[λ]為實(shí)數(shù)），記[a，b=α]，[a，a-b=β]，則[b·（b-a）cos（α+β）]最大值為? ? ? ? ? ? 。

分析：如圖5所示，由題意建立位于坐標(biāo)系內(nèi)的[△OAB]，先數(shù)形結(jié)合得出[B]到[OA]的距離為1，再利用三角形內(nèi)角和關(guān)系轉(zhuǎn)化為求[-b·b-a]的最大值，利用坐標(biāo)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，利用求導(dǎo)找出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性可得函數(shù)的最值，進(jìn)一步得到答案。

解：設(shè)[a=OA]，[OA=3]，[b=OB]，由[b-λa]的最小值為1（[λ]為實(shí)數(shù)），[∴B]到[OA]的距離為1，如圖5所示建立平面直角坐標(biāo)系，[A（3，0）]，[B（x，1）]，∵[a，b=α]，[a，a-b=β]，∴在[△ABO]中，[∠BOA=α]，[∠BAO=β]，∴[cos（α+β）=-cos∠OBA=-cosb，b-a]， ∴[b·（b-a）cos（α+β）=b·（b-a）-cosb，b-a=-b·b-a=-x2+1·（x-3）2+1][ =-x4-6x3+11x2-6x+10]，

令[f（x）=x4-6x3+11x2-6x+10 ]，[ f（x）=4x3-18x2+22x-6=2（2x-3）（x2-3x+1）]，

令[f ′（x）=0]，得[x=32]或[3+52]或[3-52]或[x<3-52]時(shí)， [f（x）<0]， [f（x）]單調(diào)遞減；

[x∈3-52，32]， [f（x）>0]， [f（x）]單調(diào)遞增；

[x∈32，3+52]， [f（x）<0]， [f（x）]單調(diào)遞減；

[x∈3+52，+∞]， [f（x）>0]， [f（x）]單調(diào)遞增；

∵[f3+52=f3-52=9]，∴[f（x）min=9]，∴[-b·b-amax=-3]，即[b·（b-a）cos（α+β）]的最大值為[-3]。

點(diǎn)評(píng)：建立平面直角坐標(biāo)系，在圖形中找到角度的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為求[-b·b-a]的最大值，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，利用導(dǎo)數(shù)找出函數(shù)的單調(diào)性，即可分析函數(shù)的最值。

由此可見，求解平面向量數(shù)量積的最值問題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，建立目標(biāo)函數(shù)，利用向量數(shù)量積定義和向量運(yùn)算公式進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化。

（責(zé)任編輯 黃桂堅(jiān)）