結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法研究進(jìn)展

收稿日期：20231212

通信作者：周克民（1962）男，教授，博士，博士生導(dǎo)師，主要從事計(jì)算力學(xué)、結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的研究。Email：zhoukm@hqu.edu.cn。

基金項(xiàng)目：國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（11572131）； 福建省科技計(jì)劃引導(dǎo)性項(xiàng)目（2019H0012）http：∥www.hdxb.hqu.edu.cn

摘要：綜述結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法，分析其主要發(fā)展趨勢(shì)。根據(jù)不同近似參數(shù)比較兩類主要優(yōu)化方法，基于材料的方法借助離散形式的參數(shù)描述材料分布場(chǎng)，具有自由度高、描述能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)，基于幾何的方法通過(guò)描述材料邊界形成最優(yōu)結(jié)構(gòu)，邊界清晰且無(wú)需后處理。結(jié)果表明：放松工程制造約束和提高求解效率是拓?fù)鋬?yōu)化值得深入探索的研究方向，具有廣闊的應(yīng)用前景。

關(guān)鍵詞：結(jié)構(gòu)優(yōu)化； 拓?fù)鋬?yōu)化； 數(shù)值方法； 研究進(jìn)展

中圖分類號(hào)：TU 4文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A文章編號(hào)：10005013（2024）02015008

結(jié)構(gòu)優(yōu)化是在給定的強(qiáng)度、剛度等約束條件下，借助數(shù)學(xué)方法和計(jì)算機(jī)輔助工程（CAE）等技術(shù)手段，自動(dòng)生成滿足工程需求的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。相較于基于工程師經(jīng)驗(yàn)的傳統(tǒng)的試錯(cuò)法，結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)能夠高效率、低成本地生成更加精確可靠的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。

結(jié)構(gòu)優(yōu)化主要分為尺寸優(yōu)化、形狀優(yōu)化和拓?fù)鋬?yōu)化3個(gè)層次［1］。其中，尺寸優(yōu)化以單個(gè)零件或組件中的尺寸參數(shù)為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，通常在細(xì)節(jié)設(shè)計(jì)階段使用，可以提高產(chǎn)品的可制造性；形狀優(yōu)化通過(guò)改變結(jié)構(gòu)的內(nèi)外邊界形狀優(yōu)化其性能和功能，實(shí)現(xiàn)一些更復(fù)雜的設(shè)計(jì)優(yōu)化，如桁架的外形或板的開(kāi)孔尺寸等；拓?fù)鋬?yōu)化通過(guò)改變桁架中桿的數(shù)量、連接關(guān)系或孔的數(shù)量等實(shí)現(xiàn)最佳的結(jié)構(gòu)形式。

在結(jié)構(gòu)尺寸和形狀優(yōu)化中，首先，建立明確、具體的參數(shù)化初始結(jié)構(gòu)。然后，將初始結(jié)構(gòu)中的桿件橫截面尺寸、板厚、孔或連續(xù)體外形尺寸等參數(shù)作為優(yōu)化設(shè)計(jì)變量，采用數(shù)學(xué)優(yōu)化方法求解。然而，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化很難建立這樣明確的參數(shù)化初始結(jié)構(gòu)，甚至一般也很難參數(shù)化，這是結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化的核心難點(diǎn)所在。解析方法雖然提出得更早，但是發(fā)展緩慢，通用性很差。因此，目前拓?fù)鋬?yōu)化主要研究工作集中于數(shù)值優(yōu)化方法。

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化適用于各類結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)問(wèn)題，已被成功應(yīng)用于航空航天［2］、建筑結(jié)構(gòu)［3］、增材制造［4］等領(lǐng)域，展現(xiàn)出極高的應(yīng)用潛力和實(shí)用價(jià)值。在過(guò)去幾十年中，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法得到了廣泛的研究和發(fā)展，本文主要介紹結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法研究進(jìn)展。

1結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法概述

結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法通常包含3個(gè)主要部分。

1） 建模。在設(shè)計(jì)域內(nèi)構(gòu)建近似描述結(jié)構(gòu)拓?fù)涞膮?shù)化數(shù)學(xué)優(yōu)化模型，這些參數(shù)選擇方法很大程度上影響了優(yōu)化效率和結(jié)果。拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法分類也是基于此進(jìn)行區(qū)分的。

2） 分析。采用有限元等結(jié)構(gòu)分析數(shù)值方法進(jìn)行結(jié)構(gòu)分析，求得當(dāng)前結(jié)構(gòu)的響應(yīng)。

3） 優(yōu)化。通過(guò)數(shù)學(xué)尋優(yōu)算法，對(duì)數(shù)學(xué)優(yōu)化模型中的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，使目標(biāo)函數(shù)值收斂至最小值，從而得到滿足設(shè)計(jì)需求的優(yōu)化結(jié)構(gòu)拓?fù)洹?/p>

根據(jù)結(jié)構(gòu)拓?fù)浣茀?shù)化表達(dá)方式不同，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法主要可以分為基于材料和基于幾何兩類?；诓牧系姆椒ㄍ裱坝刹糠值秸w”的思路，它主要選取與材料相關(guān)的屬性作為優(yōu)化變量，如材料密度、彈性模量和彈性矩陣中的元素等，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)域內(nèi)材料屬性分布確定優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。基于材料的方法通用性好、設(shè)計(jì)自由度高，能夠適應(yīng)各種復(fù)雜設(shè)計(jì)區(qū)域。

與基于材料的方法不同，基于幾何的方法采用“由外到內(nèi)”的思想，它從描述結(jié)構(gòu)的邊界入手，通過(guò)優(yōu)化設(shè)計(jì)域中結(jié)構(gòu)的幾何邊界，實(shí)現(xiàn)從結(jié)構(gòu)邊界定義整個(gè)結(jié)構(gòu)?；趲缀蔚姆椒ㄔO(shè)計(jì)變量規(guī)模小、邊界清晰、可制造性好。

2拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法對(duì)比分析

2.1基于材料的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法

在連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法中，以材料屬性為參數(shù)描述結(jié)構(gòu)拓?fù)涫禽^為經(jīng)典和有效的研究思路。由于描述形式簡(jiǎn)單、設(shè)計(jì)自由度高、通用性好，基于材料的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法發(fā)展最早并得到普遍應(yīng)用?；诓牧系姆椒ㄖ饕芯鶆蚧椒ā⒐腆w各向同性懲罰方法、漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法、獨(dú)立連續(xù)映射方法、自由材料方法和基于類桁架材料模型的優(yōu)化方法等。

2.1.1均勻化方法1981年，程耿東［5］研究變厚度板的最大剛度問(wèn)題，發(fā)現(xiàn)最優(yōu)解的非光滑性及網(wǎng)格依賴問(wèn)題，這是近代拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題的奠基性工作。1988年，Bendse等［6］提出具有里程碑意義的均勻化拓?fù)鋬?yōu)化方法，為連續(xù)體結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化提供了計(jì)算框架。在極限情況下，結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化可以理解為設(shè)計(jì)域內(nèi)每一點(diǎn)的材料有無(wú)問(wèn)題。然而，由于這種離散化問(wèn)題難以求解，均勻化方法將該問(wèn)題轉(zhuǎn)化為連續(xù)體材料分布問(wèn)題［7］進(jìn)行求解。該方法引入材料密度函數(shù)，考慮了一種復(fù)合材料，該復(fù)合材料由一個(gè)無(wú)限數(shù)量的無(wú)限小孔洞的周期性復(fù)合材料組成，將結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)化為尺寸優(yōu)化問(wèn)題。引入上述多孔材料的方式并不唯一，目前可以分為層壓板復(fù)合方法和具有內(nèi)部空隙的微細(xì)胞結(jié)構(gòu)兩類，利用均質(zhì)化理論可以確定這些材料的宏觀力學(xué)性能。

Díaz等［8］提出一種基于權(quán)重因子的均勻化方法，解決彈性結(jié)構(gòu)的多工況和最大頻率優(yōu)化問(wèn)題。Olhoff等［9］發(fā)展了基于交互式計(jì)算機(jī)輔助設(shè)計(jì)（CAD）的工程設(shè)計(jì)優(yōu)化系統(tǒng)基本概念，提出優(yōu)化機(jī)械部件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)、形狀和尺寸的方法。Sigmund［10］借助均勻化方法，提出一種構(gòu)造任意半正定本構(gòu)張量材料的有效方法。構(gòu)造問(wèn)題被表述為在給定本構(gòu)參數(shù)下尋找最輕微觀結(jié)構(gòu)的反問(wèn)題。均勻化方法中對(duì)復(fù)合材料的優(yōu)化結(jié)果進(jìn)行后處理［11］也非常重要。Groen等［1213］提出一種從粗糙的均勻化拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果中獲得高分辨率、可制造結(jié)構(gòu)的投影方法，并被拓展到三維問(wèn)題［14］、多工況［15］和流線場(chǎng)［16］等方面。均勻化方法采用一種參數(shù)化的具有各向異性材料特性的多孔周期性微觀結(jié)構(gòu)材料模型，能最大限度地逼近理論最優(yōu)解，成為連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化的開(kāi)創(chuàng)性理論。復(fù)雜的材料均勻化理論增加了優(yōu)化問(wèn)題求解難度。

2.1.2固體各向同性懲罰方法

在均勻化方法引入拓?fù)鋬?yōu)化后不久，Bendse［7］和其他學(xué)者［17］提出了帶懲罰的固體各向同性微結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法（SIMP）［18］。該方法最初作為一種簡(jiǎn)單的方式用以降低均勻化方法的復(fù)雜性，并提高01解的收斂性。后來(lái)Bendse等［18］給出SIMP的物理證明。在SIMP方法中，密度設(shè)計(jì)變量與材料性能之間的關(guān)系由冪函數(shù)形式給出，即

式（1）中：p為懲罰參數(shù)；E0為固體材料的楊氏模量；ρi為第i個(gè)單元密度。

對(duì)于p=1，優(yōu)化問(wèn)題對(duì)應(yīng)于“變厚度板”問(wèn)題。實(shí)際上，最小柔度問(wèn)題是一個(gè)具有唯一解的凸問(wèn)題［1］。對(duì)于pgt;1，不利于中等厚度或密度，但有利于01解。當(dāng)p過(guò)低時(shí)，會(huì)導(dǎo)致灰色尺度過(guò)大；當(dāng)p過(guò)高時(shí)，則會(huì)導(dǎo)致收斂到局部極小值的速度過(guò)快；當(dāng)p=3時(shí)，能夠確保良好收斂到幾乎01解。

為了緩解原始SIMP插值方案的非凸性，Stolpe等［19］引入材料屬性的合理近似模型（RAMP）方法，從而確保收斂到01解。罰函數(shù)的引入常常會(huì)導(dǎo)致網(wǎng)格依賴、棋盤格等數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。在最小柔度問(wèn)題中，Guest等［20］討論了一種簡(jiǎn)單的線性投影格式和一種使用正則化Heaviside階躍函數(shù)，以實(shí)現(xiàn)近01解的非線性格式，通過(guò)對(duì)尺度的直接控制，提高數(shù)值計(jì)算的穩(wěn)定性。Sigmund［21］提出基于形態(tài)的密度濾波拓?fù)鋬?yōu)化方案，給出一種網(wǎng)格無(wú)關(guān)、離散和可制造的解決方案。程耿東［22］最早指出應(yīng)力約束奇異最優(yōu)解和其余可行區(qū)通過(guò)可行的線段相連通。在桁架拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題中，Guo等［23］利用二階光滑擴(kuò)展技術(shù)使不相交的可行域連通，再利用松弛法消除最優(yōu)解的奇異性。SIMP方法的優(yōu)勢(shì)在于模型和計(jì)算機(jī)編程實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)單、通用性強(qiáng)，能夠?qū)崿F(xiàn)清晰的01結(jié)構(gòu)，已在幾何非線性［24］、柔性結(jié)構(gòu)［25］和帶隙材料［26］等方面得到了應(yīng)用。由于有限單元格的離散特性，優(yōu)化結(jié)構(gòu)邊界呈現(xiàn)鋸齒狀，數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題的處理手段比較繁瑣。

2.1.3漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法

隨著時(shí)間的推移，物種通常朝著更加適應(yīng)環(huán)境的最優(yōu)狀態(tài)演化。這個(gè)想法最早由Xie等［27］在1993年用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化，并被稱為漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化（ESO）方法［27］。ESO方法最初應(yīng)用于自然結(jié)構(gòu)（如骨骼），這種結(jié)構(gòu)的最佳拓?fù)浜托螤铍S著時(shí)間的推移，遵循進(jìn)化路徑得以實(shí)現(xiàn)。早期的ESO方法僅限于從結(jié)構(gòu)中去除材料，初始模型必須明顯過(guò)度設(shè)計(jì)，如果過(guò)早地去除結(jié)構(gòu)，則無(wú)法恢復(fù)。為了克服這一問(wèn)題，Querin等［28］開(kāi)發(fā)了一種早期ESO方法的改進(jìn)模型，稱為雙向ESO（BESO），這種技術(shù)允許單元重新添加到結(jié)構(gòu)中。Young等［29］將該方法進(jìn)一步擴(kuò)展到三維結(jié)構(gòu)。Zhou等［30］在2001年研究了ESO/BESO技術(shù)，認(rèn)為這兩種方法不能總是保證最優(yōu)設(shè)計(jì)。Sigmund等［31］指出，ESO/BESO的程序不容易擴(kuò)展到其他約束條件（如位移約束）。在Rozvany和Zhou的早期批評(píng)之后，Zhu等［32］開(kāi)發(fā)了一種改進(jìn)的BESO方法，用一種單元可替換方法來(lái)更好地表示單元狀態(tài)。Huang等［33］也提出一種新的BESO技術(shù)，該技術(shù)已被證明可以產(chǎn)生收斂解，這種改進(jìn)包括利用單元的歷史信息來(lái)提高單元靈敏度的準(zhǔn)確性。ESO方法的許多發(fā)展都來(lái)自于對(duì)算法能夠高效地找到最優(yōu)解的批評(píng)，這促進(jìn)了“Soft Killing”ESO/BESO技術(shù)的發(fā)展［34］。漸進(jìn)結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法材料模型簡(jiǎn)單，在國(guó)內(nèi)外得到了充分的關(guān)注和發(fā)展，但該方法獨(dú)有的一些特點(diǎn)使其對(duì)于復(fù)雜約束問(wèn)題的適用性較為有限。

2.1.4獨(dú)立連續(xù)映射方法

為了統(tǒng)一描述拓?fù)渥兞浚?998年，Sui等［35］將拓?fù)渥兞繌囊栏接诮孛娣e、厚度等尺寸優(yōu)化低層次變量上分離出來(lái)，成為獨(dú)立的層次，提出獨(dú)立連續(xù)映射法（ICM）［35］。ICM通過(guò)定義獨(dú)立拓?fù)渥兞坎⑦\(yùn)用函數(shù)逼近理論，對(duì)階躍函數(shù)及其逆函數(shù)實(shí)現(xiàn)連續(xù)可導(dǎo)化的逼近。這使其能夠使用基于連續(xù)變量的優(yōu)化模型來(lái)解決原本離散的大規(guī)模優(yōu)化問(wèn)題。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，構(gòu)建了位移和屈曲約束［36］、頻率約束［37］等問(wèn)題求解模型，拓展了三維連續(xù)體拓?fù)鋬?yōu)化設(shè)計(jì)［38］。

2.1.5自由材料方法

在20世紀(jì)90年代早期，Bendse等［39］提出自由材料優(yōu)化（FMO）方法。該方法選取彈性張量中的所有分量作為設(shè)計(jì)變量，它們是位置的函數(shù)。這些分量除了滿足材料在物理上可行，其他方面不受限制。該方法能夠給出物理上可能獲得的最佳材料，被認(rèn)為是結(jié)構(gòu)優(yōu)化問(wèn)題的“終極”一般化?；谧杂刹牧蟽?yōu)化方法，Kocˇvara等［40］及Haslinger等［41］研究了局部應(yīng)力約束和位移約束問(wèn)題。Stingl等［42］提出并解決了具有基本特征頻率約束的問(wèn)題。Weldeyesus等［43］通過(guò)擴(kuò)展文獻(xiàn)［44］中的公式，提出新的層合板和殼結(jié)構(gòu)的FMO模型。此外，該方法也被用于多尺度結(jié)構(gòu)優(yōu)化中［45］。盡管FMO方法能夠得到較為精確的最優(yōu)結(jié)構(gòu)，但該模型的設(shè)計(jì)變量個(gè)數(shù)會(huì)隨著有限元精度的增加而變得規(guī)模巨大，這將大幅增加優(yōu)化問(wèn)題的求解難度，且優(yōu)化結(jié)構(gòu)的材料可能并不對(duì)應(yīng)真實(shí)工程材料。

2.1.6基于類桁架材料模型的優(yōu)化方法

基于類桁架材料模型的優(yōu)化方法［46］根據(jù)拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)理論解建立一種不均勻各向異性“類桁架”材料模型，保持了基于密度的優(yōu)化方法的高效性。該方法首先優(yōu)化類桁架材料分布場(chǎng)，對(duì)密度不作等厚度限制，也不罰中間密度，能夠形成非常接近解析解的變剛度類桁架結(jié)構(gòu)，同時(shí)避免許多拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法普遍存在的“棋盤格”現(xiàn)象、網(wǎng)格依賴和局部極值等一系列數(shù)值不穩(wěn)定問(wèn)題。在此基礎(chǔ)上，對(duì)優(yōu)化類桁架材料分布場(chǎng)進(jìn)行處理，可以形成滿足工程需求的離散優(yōu)化結(jié)構(gòu)或帶孔連續(xù)體。經(jīng)過(guò)多年的發(fā)展，該方法可以解決柔度問(wèn)題［47］、頻率問(wèn)題［48］、應(yīng)力約束問(wèn)題［49］、質(zhì)量最小格柵結(jié)構(gòu)［46］和不確定荷載［50］等拓?fù)鋬?yōu)化問(wèn)題及一些具體的工程應(yīng)用［51］。

2.2基于幾何特征的拓?fù)鋬?yōu)化數(shù)值方法

2.2.1水平集法

Osher等［52］最早引入水平集法（LSM）［53］，該方法利用函數(shù)的零水平集來(lái)定義結(jié)構(gòu)邊界，通過(guò)進(jìn)化隱式水平集方程形成優(yōu)化拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，將水平集概念用于模擬移動(dòng)邊界。當(dāng)時(shí)水平集法主要用于模擬多相流體中界面的演化［54］和圖像分割［55］。1998年，Haber等［56］在拓?fù)鋬?yōu)化中使用水平集的概念描述幾何。Ruiter等［57］幾乎同時(shí)開(kāi)始研究基于水平集的結(jié)構(gòu)拓?fù)鋬?yōu)化方法。水平集法構(gòu)建了一個(gè)高維度的水平集函數(shù)，用該水平集函數(shù)與零平面的交線來(lái)描述材料的邊界。通常情況下，水平集函數(shù)通過(guò)HamiltonJacobi方程的解進(jìn)行更新，即

式（2）中：t為偽時(shí)間，表示優(yōu)化過(guò)程中設(shè)計(jì)的演變；V為所謂的速度函數(shù)，或速度場(chǎng)；φ為水平集函數(shù)。

傳統(tǒng)的水平集法只能從現(xiàn)有的邊界演變而來(lái)，無(wú)法在固體材料包圍的二維空間中生成新孔。雖然基于啟發(fā)式和拓?fù)潇`敏度信息的孔洞生成技術(shù)可以緩解這些缺陷，但在優(yōu)化過(guò)程引入新孔洞通常需要附加步驟，這影響了優(yōu)化過(guò)程的收斂性。收斂性進(jìn)一步受到邊界附近水平集函數(shù)空間梯度的強(qiáng)烈影響。通常情況下，水平集法的結(jié)果強(qiáng)烈依賴于初始假設(shè)。為了解決以上問(wèn)題，Wei等［58］提出分段常數(shù)水平集法，用不連續(xù)的分段常數(shù)水平集函數(shù)來(lái)描述邊界。Otomori等［59］基于目標(biāo)函數(shù)的拓?fù)鋵?dǎo)數(shù)，通過(guò)求解反應(yīng)擴(kuò)散方程來(lái)更新水平集函數(shù)。Wei等［60］采用徑向基函數(shù)的參數(shù)化水平集法，在優(yōu)化過(guò)程中以近似的重新初始化方案保持相對(duì)平滑的水平集函數(shù)，它能夠在材料域內(nèi)形成新孔，對(duì)初始設(shè)計(jì)的依賴性也較小。上述方法一定程度地克服了傳統(tǒng)水平集法的一些不足，但大量公式和重新初始化的需要表明存在尚未解決的問(wèn)題，如正則化、水平集函數(shù)的空間梯度控制等。

2.2.2移動(dòng)部件類方法

在水平集法邊界清晰光滑的基礎(chǔ)上，為進(jìn)一步簡(jiǎn)化拓?fù)溥吔绲拿枋鲂问剑珿uo等［61］提出移動(dòng)變形組件/孔洞（MMC/MMV）法［62］，將結(jié)構(gòu)拓?fù)淇醋魇怯邢迶?shù)量的移動(dòng)變形組件的組合，并通過(guò)控制移動(dòng)部件或孔洞間接實(shí)現(xiàn)材料分布場(chǎng)的拓?fù)渥兓Ｔ摲椒ǔ霭l(fā)點(diǎn)是任何類型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)都可以分解為有限數(shù)量的組件，因此，它將“結(jié)構(gòu)構(gòu)件”作為拓?fù)鋬?yōu)化的基本構(gòu)件，通過(guò)最優(yōu)性條件確定構(gòu)件的形狀、長(zhǎng)度、厚度、朝向等幾何特征參數(shù)及布局（連通性），從而得到最優(yōu)結(jié)構(gòu)拓?fù)?。Zhang等［63］引入一組可變形的三維構(gòu)件描述三維拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并通過(guò)顯式優(yōu)化構(gòu)件的布局尋找最優(yōu)結(jié)構(gòu)。通過(guò)幾何設(shè)計(jì)變量設(shè)置下界［64］，移動(dòng)組件法解決了最小長(zhǎng)度尺度控制問(wèn)題。Zhang等［65］采用B樣條曲線描述結(jié)構(gòu)中移動(dòng)變形構(gòu)件的邊界，這可以保持結(jié)構(gòu)邊界的平滑，通過(guò)顯式的邊界描述和演化可以同時(shí)獲得結(jié)構(gòu)的形狀和拓?fù)?。從相反的角度，Zhang等［66］提出一種與MMC法互為對(duì)偶的MMV法，引入一組幾何參數(shù)顯式地描述孔洞的邊界，減少與優(yōu)化問(wèn)題相關(guān)的設(shè)計(jì)變量的總數(shù)，還提供了通過(guò)有效的單元移除技術(shù)大幅減少有限元自由度數(shù)量的可能性。MMC/MMV法借助部件形式的材料模型減小了設(shè)計(jì)變量的數(shù)量，提高了優(yōu)化效率，而且顯式的邊界描述也有助于進(jìn)一步與CAD技術(shù)的結(jié)合。然而，模塊化的部件數(shù)量和初始位置的設(shè)置會(huì)對(duì)最終優(yōu)化結(jié)果產(chǎn)生影響，面對(duì)復(fù)雜的拓?fù)錁?gòu)型，該方法容易出現(xiàn)部件描述能力不足的問(wèn)題。

與MMC/MMV方法類似，Wei等［67］提出的剛度擴(kuò)散法是一種桁架的結(jié)構(gòu)布局優(yōu)化方法，該方法將桁架結(jié)構(gòu)桿單元的剛度矩陣用一組嵌入弱背景網(wǎng)格的等效剛度矩陣表示。桁架結(jié)構(gòu)中的桿件在優(yōu)化過(guò)程中不需要相互連接，每個(gè)桿件都可以在設(shè)計(jì)域中獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，通過(guò)優(yōu)化可以形成最優(yōu)桁架設(shè)計(jì)。

Norato等［68］提出幾何投影方法，優(yōu)化固定寬度和半圓形末端的桿件組成的線性彈性平面結(jié)構(gòu)。該方法通過(guò)使用可微分幾何投影，將設(shè)計(jì)投影到固定的分析網(wǎng)格上，避免設(shè)計(jì)更改時(shí)的網(wǎng)格重新劃分，該投影產(chǎn)生密度場(chǎng)指示設(shè)計(jì)空間中任意位置的固體材料的分?jǐn)?shù)。類似的方法還有泡泡法［69］等。

3結(jié)論

以上兩類優(yōu)化方法特點(diǎn)不同，求解優(yōu)化問(wèn)題時(shí)各有優(yōu)劣。面向工程需求，兩類方法都能夠生成基本可用的優(yōu)化結(jié)構(gòu)。值得一提的是，Michell桁架解析解［70］一直以來(lái)就是數(shù)值優(yōu)化方法比較的基準(zhǔn)。從解析解來(lái)看，Michell桁架是一種基于梁?jiǎn)卧ɑ蚍Q為類桁架桿單元）的精細(xì)網(wǎng)［71］，即所謂的連續(xù)體結(jié)構(gòu)。將Michell桁架解析解作為離散框架結(jié)構(gòu)并不準(zhǔn)確。拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)構(gòu)限制為剛架或帶孔連續(xù)體結(jié)構(gòu)是為了適應(yīng)工程應(yīng)用需要，這導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果并非最優(yōu)。在低體積分?jǐn)?shù)約束下存在優(yōu)化的桁架結(jié)構(gòu)、基于n階層合板均勻化的拓?fù)鋬?yōu)化［7］、帶孔板等3種優(yōu)化問(wèn)題的結(jié)果，它們的廣義形狀都會(huì)變得像Michell桁架解析解［72］。因此，真正的最優(yōu)結(jié)構(gòu)是變厚度，或者非均勻各向異性連續(xù)體。

為滿足制造需求，上述優(yōu)化方法大多以直接得到邊界清晰的宏觀等厚度帶孔結(jié)構(gòu)為目標(biāo)，往往采用各向同性材料限制。這種等厚度各向同性材料設(shè)定可以理解為對(duì)優(yōu)化結(jié)果的一種約束，它會(huì)導(dǎo)致優(yōu)化結(jié)果與理論上的最優(yōu)解相差較大。對(duì)比不同優(yōu)化方法的結(jié)果［71］可知，通過(guò)允許變厚度而不強(qiáng)制等厚度帶孔板，在實(shí)際情況下，結(jié)構(gòu)性能改進(jìn)超過(guò)30%。顯然，與解析解相比，非最優(yōu)結(jié)構(gòu)在性能上的損失很難忽視。隨著工業(yè)制造水平的快速發(fā)展，一些變剛度復(fù)合材料使一些人造材料的實(shí)現(xiàn)成為可能。因此，以更高精度的拓?fù)鋬?yōu)化結(jié)果為目標(biāo)，發(fā)展更加高效的數(shù)值拓?fù)鋬?yōu)化方法是當(dāng)前一個(gè)重要的研究方向。

基于幾何特征的幾種數(shù)值優(yōu)化方法中，主要通過(guò)描述宏觀尺度下材料的邊界構(gòu)建拓?fù)渥顑?yōu)結(jié)構(gòu)。這種方式的優(yōu)點(diǎn)是結(jié)構(gòu)邊界清晰，無(wú)需后處理，設(shè)計(jì)變量相對(duì)較少，便于工程應(yīng)用。然而，面對(duì)復(fù)雜的優(yōu)化問(wèn)題，設(shè)計(jì)變量與目標(biāo)函數(shù)之間較強(qiáng)的非線性關(guān)系增加了優(yōu)化求解的難度，基于部件的材料場(chǎng)描述方式比離散形式的材料類方法更難描述復(fù)雜拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

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（責(zé)任編輯： "錢筠英文審校： 方德平）