數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題探析

李發(fā)州

【摘要】“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題”，是指點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)而形成的問題.數(shù)軸作為初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一個(gè)工具，通過數(shù)軸可以體現(xiàn)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想.本文利用數(shù)軸的性質(zhì)結(jié)合一元一次方程，探析解決復(fù)雜的“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題”的解題策略.

【關(guān)鍵詞】數(shù)軸；動(dòng)點(diǎn)；初中數(shù)學(xué)；數(shù)形結(jié)合

數(shù)軸安排在數(shù)學(xué)教材七年級上冊第一章中，是研究數(shù)的一個(gè)基礎(chǔ)工具.深度研究數(shù)軸我們可以發(fā)現(xiàn)隱含的一些重要規(guī)律：若數(shù)軸上點(diǎn)A、點(diǎn)B表示的數(shù)分別為a，b（b＞a），則線段AB的長（點(diǎn)A到點(diǎn)B的距離）可表示為b-a.將點(diǎn)A向左平移m（m＞0）個(gè)單位，則新點(diǎn)與數(shù)（a-m）對應(yīng)；將點(diǎn)A向右平移n（n＞0）個(gè)單位，則新點(diǎn)與數(shù)（a＋n）對應(yīng)；利用這些規(guī)律，結(jié)合方程，可以解決復(fù)雜的“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題”.

“數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題”，是指點(diǎn)在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)而形成的問題，在期末試卷中常常以壓軸題出現(xiàn)，綜合考查七年級學(xué)生對知識的掌握情況以及運(yùn)用知識的能力，讓許多學(xué)生望而生畏.分析其原因主要是學(xué)生對這類問題沒有整體的認(rèn)識，導(dǎo)致學(xué)生每次遇到這類問題找不到解題的思路.

例1 如圖1，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)分別是-24，-10，10.

（1）直接寫出AB＝______，BC＝______.

（2）若在數(shù)軸上點(diǎn)A以1個(gè)單位長度/s的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)B以3個(gè)單位長度/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)C以5個(gè)單位長度/s的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t.

①用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)變化后線段BC和線段AB的長；

②是否存在常數(shù)m，使式子BC-mAB的值不隨時(shí)間t的變化而變化，若存在，求出m的值，若不存在，說明理由.

分析 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，則

A運(yùn)動(dòng)后對應(yīng)的數(shù)為-24-t，點(diǎn)B和點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)后對應(yīng)的數(shù)分別為：-10+3t，10+5t，再分別求解BC，AB，再進(jìn)行整式的加減運(yùn)算；結(jié)合BC-mAB的值不隨時(shí)間t的變化而變化，即代數(shù)式的值與t無關(guān)，建立方程求解即可.

解 （1）因?yàn)辄c(diǎn)A、B、C表示的數(shù)分別是-24，-10，10，

所以AB＝-10-（-24）＝14，AC＝10-（-10）＝20，

（2）A運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是-24-t，

B運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是-10+3t，

C運(yùn)動(dòng)后表示的數(shù)是10+5t，

所以運(yùn)動(dòng)后，BC＝（10+5t）-（-10+3t）＝ 2t+20，

AB＝（-10+3t）-（-24-t）＝4t+14，

存在符合要求的m的值，使BC-mAB的值不隨時(shí)間t的變化而變化，理由如下：

BC-mAB＝2t+20-m（4t+14）＝（2-4m）t+20-14m，

當(dāng)2-4m＝0，即m＝12時(shí)，BC-mAB的值不隨時(shí)間t的變化而變化，

此時(shí)，BC-mAB＝20-14×12＝13.

點(diǎn)評 本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，整式的加減運(yùn)算的應(yīng)用，代數(shù)式的值與某字母無關(guān)的問題，解題的關(guān)鍵是用含t的代數(shù)式表示動(dòng)點(diǎn)的位置.

學(xué)習(xí)新知

已知在數(shù)軸上有三個(gè)點(diǎn)A、B、C，點(diǎn)C在A、B之間，C點(diǎn)與A點(diǎn)的距離是C點(diǎn)與B點(diǎn)的距離的4倍，則稱點(diǎn)C是{A，B}的奇點(diǎn).

例2 如圖2，A點(diǎn)表示-4這個(gè)數(shù)，B點(diǎn)表示1這個(gè)數(shù).原點(diǎn)C與A點(diǎn)的距離是4，與B點(diǎn)的距離是1，則C點(diǎn)是{A，B}的奇點(diǎn)；再如，-3這個(gè)數(shù)表示的D點(diǎn)到A點(diǎn)的距離是1，與B點(diǎn)的距離是4，則D點(diǎn)不是{A，B}的奇點(diǎn)，但點(diǎn)D是{B，A}的奇點(diǎn).

運(yùn)用新知

如圖3，數(shù)軸上M點(diǎn)表示數(shù)-4，N點(diǎn)表示數(shù)6.

（1）數(shù)______對應(yīng)的點(diǎn)為{M，N}的奇點(diǎn)；數(shù)______對應(yīng)的點(diǎn)為{N，M}的奇點(diǎn)；

（2）如圖4，數(shù)軸上的A點(diǎn)表示數(shù)-50，B點(diǎn)表示數(shù)30.若動(dòng)點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，P、A、B三點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)為另外兩點(diǎn)的奇點(diǎn)？

分析 （1）首先讀題，結(jié)合圖形理解奇點(diǎn)的含義，然后根據(jù)奇點(diǎn)的含義，設(shè)數(shù)x所表示的點(diǎn)是{M，N}的奇點(diǎn)，由題意列方程求出x；同樣設(shè)數(shù)y所表示的點(diǎn)是{N，M}的奇點(diǎn)，由題意得6-y＝4（y+4），求出y.（2）設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)是a，分六種情況討論.

解 （1）設(shè)數(shù)x所表示的點(diǎn)是{M，N}的奇點(diǎn)，

所以x+4＝4（6-x），解得x＝4，

所以數(shù)4所表示的點(diǎn)是{M，N}的奇點(diǎn)；

設(shè)數(shù)y所表示的點(diǎn)是{N，M}的奇點(diǎn)，

所以6-y＝4（y+4），解得y＝-2，

所以數(shù)-2所表示的點(diǎn)是{N，M}的奇點(diǎn).

（2）設(shè)P點(diǎn)表示的數(shù)是a，

當(dāng)P是{A，B}的奇點(diǎn)時(shí)，PA＝4PB，所以a+50＝4（30-a），解得a＝14；

當(dāng)P是{B，A}的奇點(diǎn)時(shí)，PB＝4PA，所以4（a+50）＝30-a，解得a＝-34；

當(dāng)A是{B，P}的奇點(diǎn)時(shí)，AB＝4AP，所以80＝4（-50-a），解得a＝-70；

當(dāng)A是{P，B}的奇點(diǎn)時(shí)，4AB＝AP，所以320＝-50-a，解得a＝-370；

當(dāng)B是{A，P}的奇點(diǎn)時(shí)，AB＝4BP，所以80＝4（a-30），解得a＝50（舍去）；

當(dāng)B是{P，A}的奇點(diǎn)時(shí)，BP＝4AB，所以a-30＝4×80，解得a＝350（舍去）；

綜上所述，P點(diǎn)表示的數(shù)為14或-34或-70或-370時(shí)，滿足題目的要求.

點(diǎn)評 試題涉及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，數(shù)軸上點(diǎn)的特征，數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離，用方程解決問題等核心知識.總結(jié)本題的解答思路：弄清新定義“奇點(diǎn)”的含義，是解題的關(guān)鍵所在.細(xì)讀“點(diǎn)C是{A，B}的奇點(diǎn)”的新定義可看出：“三個(gè)點(diǎn)A、B、C”在“點(diǎn)C是{A，B}的奇點(diǎn)”的新定義中是有序的，而題目問題“P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的奇點(diǎn)”與新定義明顯有區(qū)別，沒有指明順序，這提示我們采用分類討論的方法解決問題，避免出現(xiàn)遺漏.

結(jié)語

數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題不僅有數(shù)量關(guān)系，還有圖形關(guān)系，分析問題時(shí)要通過數(shù)形結(jié)合的方式，用含有字母的代數(shù)式表示數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)的位置，根據(jù)題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系，通過列方程進(jìn)行表達(dá)，最終解決數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題.