從分數(shù)啟航，貫通萬物之理

【摘 要】在數(shù)學教學中，引導學生貫通不同單元、不同年級、不同領域的知識，探尋一般的通用策略、方法和思想觀念，能使他們看見更多的一致性，發(fā)掘、感悟和打通數(shù)學深層次的本質，構建豐富而立體的數(shù)學知識結構，形成具有遷移力的核心素養(yǎng)。全景式數(shù)學教育團隊創(chuàng)生了全景式數(shù)學貫通課，并試圖在達成貫通和立起“歸宗”的基礎上引導學生破“宗”，使他們看見數(shù)學更多的可能、更豐富的世界，從而成為更有想法的人?！读眍惖姆謹?shù)比較》就是其中一個范例，演繹了如何打通、破宗以及更好、更多地打開。

【關鍵詞】小學數(shù)學；全景式數(shù)學；貫通課；分數(shù)的大小比較

【中圖分類號】G623.5" 【文獻標志碼】A" 【文章編號】1005-6009（2024）13-0076-05

【作者簡介】張宏偉，南京赫賢學校（南京，211100）學術總監(jiān)，高級教師，北京市數(shù)學特級教師。

聯(lián)系觀是唯物辯證法的一個總特征和最基本的認識方法論。聯(lián)系具有普遍性、客觀性、多樣性、條件性和可變性。我們全景式數(shù)學教育團隊主張用聯(lián)系觀看待每一項教學內容、每一次數(shù)學學習活動，努力讓學生日常習得的都是“渾身長滿鉤子的知識”，即向前勾連貫通以往所學，向后勾連貫通未來要學，向周圍勾連貫通其他領域、其他學科、社會生活和大千世界……我們還創(chuàng)生了很多貫通不同單元、不同年級、不同領域的知識，引導學生探尋一般的通用策略、方法和思想觀念，看見更多的一致性，發(fā)掘、感悟和打通數(shù)學深層次的本質，構建豐富而立體的數(shù)學知識結構，形成具有遷移力的核心素養(yǎng)的專項研究課，即全景式數(shù)學貫通課，如《口訣暢想》《看透運算的真相》《另類的分數(shù)比較》等。下面，筆者對《另類的分數(shù)比較》這節(jié)課的教學實錄和各個教學環(huán)節(jié)的設計意圖，及其要發(fā)展的學生核心素養(yǎng)作詳細闡釋。

一、課前自修的分享和交流

課前，讓學生思考： 比較兩個分數(shù)的大小，可以分為幾大類情形？每一類如何比較？并讓學生每一類舉出一個例子進行說明。

課始，學生組內交流各自的想法，匯總提煉出自己小組認同的分類方案，并分享分類、舉例與比較方法，教師相應板書。

課前，讓學生對前期學過的分數(shù)大小比較的類型、方法進行自主回顧、梳理，建立知識結構。課上，點明并強調分類、舉例的策略和方法，增強學生的思想方法意識。

二、追溯本質，嘗試“打通”，感悟“通法”

（一）回到學生的舉例1（[13]＜[23]），追溯同分母分數(shù)比較的本質

師：這兩個分數(shù)的分母相同，其實就是這兩個分數(shù)的什么相同？

生：單位相同。

師：分數(shù)單位相同，比分子，其實就是比什么？

生：比單位的個數(shù)。

師：單位個數(shù)多的分數(shù)就——

生：大！

師：“分母相同，比分子”本質上是——

生：單位相同，比個數(shù)。

（二）回到學生的舉例2（[4/5]＞[4/6]），追溯同分子分數(shù)比較的本質

師：“分母相同，比分子”本質上是“單位相同，比個數(shù)”，那“分子相同，比分母”本質上是——

生：個數(shù)相同，比單位。

師：單位越大，分數(shù)就——

生（齊）：越??！

師：個數(shù)相同，比——（單位），單位越大，分數(shù)就——

生（齊）：越大！

師：個數(shù)相同，比——（單位），單位越大，分數(shù)就越——

這時，學生有的說大，有的說小，有的公開聲明自己已經凌亂了。

（三）打通一到六年級的比較，覺悟比較大小的數(shù)學通法

1.一到六年級的數(shù)學比較，含各類數(shù)的打通、數(shù)與量的打通

師：同學們之所以凌亂了，有一個重要的原因，就是在學習知識時沒有注意隨時和前面學過的內容打通，前后打通是學習數(shù)學、研究數(shù)學最重要的學法之一。下面，我們就來嘗試把一到六年級的比較打通。一年級比較1元和1角，這是什么相同，比什么？（個數(shù)相同，比單位）單位大的就——（大）二年級比較2分米和2米，這是什么相同，比什么？（個數(shù)相同，比單位）單位大的就——（大）三年級比較3千克和3噸呢？

生：這也是“個數(shù)相同，比單位”，單位大的就大。

師：四年級比較0.4和0.04呢？

生：也是“個數(shù)相同，比單位”，因為0.4是4個0.1，0.04是4個0.01，個數(shù)同樣是4，但0.4的單位0.1大，所以0.4大。

師：五年級（回到學生的舉例2），你會從單位及其個數(shù)的角度來理解和解釋嗎？

生：也是“個數(shù)相同，比單位”，因為[4/5]是4個[1/5]，[4/6]是4個[1/6]，個數(shù)同樣是4，但[4/5]的單位大，所以[4/5]大。

師：我們六年級還要學習百分數(shù)和千分數(shù)，10%和10‰怎樣來比較呢？（生反饋略）

2.一題雙通到多通——再度整體通聯(lián)、對比“通法一”和“通法二”

師：再回到一年級，現(xiàn)在你能用這兩種比較方法來解釋一下為什么40比4大嗎？

生1：個數(shù)相同，比單位，“4個十”比 “4個一”大。

生2：單位相同，比個數(shù)，“40個一”比“4個一”大。

師：還有不同想法嗎？（全體學生一致表示沒有了）難道單位只能是“一”和“十”嗎？

不一會兒，學生有了突破性的想法：40是10個四，而4只是1個四，它們的單位相同，都是四，但10個比1個多得多，所以40大。接著，學生又類推想到：40是20個二，而4是2個二；40是40個一，而4是40個0.1……

打破了教材上只把“一、十、百……0.1、0.01……”看作單位的局限，在數(shù)的單位上撕開了一道口子，打開了一扇窗，讓學生對“單位”的思考更多元、想法更多、視野更開闊。

3.從分數(shù)到數(shù)學的提煉與躍升

師：同學們，我們來回顧和反思一下剛才的研究，能發(fā)現(xiàn)一到六年級的比較其實是——

生：可以打通的；方法是一樣的，都是……

師：不僅各年級打通了、一致了，而且當單位是正數(shù)的時候，比較大小的最后一步也一致了——個數(shù)大的就大，單位大的就大。（這里強調正數(shù)，在保證目前生活中的通常比較和小學中的數(shù)學比較正確的同時，還為未來數(shù)學比較的正確性和課后的延伸探究埋下了伏筆，如單位是負數(shù)等）

師：同學們，個數(shù)相同比單位，單位相同比個數(shù)，只是比較分數(shù)大小的本質方法嗎？

生：不是，它也是小數(shù)、整數(shù)和百分數(shù)的比較方法；它不僅是數(shù)的比較方法，還是量的比較方法……

師：那我們的課題是不是要改一下？

生：應該改成“數(shù)學的大小比較”。（師把課題改成“數(shù)學的比較”）

4.從數(shù)學到萬物的遷移、應用與躍升

師：只有數(shù)學是這樣比大小（多少）的嗎？我們隨便找?guī)讉€生活實例，你來看看它們分別屬于這兩種基本比較策略的哪一種。（1）A、B用同樣的碗吃飯，A吃了兩碗，B吃了三碗，誰吃得多？（2）寫同樣的5個字，語文老師A讓一個字寫5遍，語文老師B讓一個字寫7遍，哪位老師讓寫的字數(shù)多？（3）A月薪5千，B月薪5萬，誰月薪高？（生反饋略）這還僅僅是數(shù)學的比較嗎？

生：還是生活的比較，萬物的比較……

師：是?。∫簿褪钦f“個數(shù)相同，比單位；單位相同，比個數(shù)”是——

生：比較萬物多少的通用方法。

（四）回到學生的舉例3（[5/6]＜[6/7]），追溯通分比較異分母分數(shù)大小的本質，感悟轉化思想及其與打通思想的聯(lián)系

師：“分子、分母都不同”屬于哪種情況的比較呢？

生：單位不同，個數(shù)也不同。

師：通分的本質是——

生：把單位不同變成單位相同。

師：你們說的變，就是數(shù)學的轉化。這樣就把“單位不同、個數(shù)也不同”與“單位相同，比個數(shù)”怎么樣了？

生：打通了。

師：轉化就實現(xiàn)了——（打通）打通就可以實現(xiàn)——（轉化）還有別的打通方法嗎？

很多學生一片茫然，教師適時板書這樣一組特別的分數(shù)啟發(fā)學生思考：[1/350]○[2/711]，通分很麻煩耶！

學生恍然大悟：還可以“通分子”→[2/700]○[2/711]。很快便比較出了它們的大小，繼而感悟到：這是把“單位不同，個數(shù)也不同”轉化成了“個數(shù)相同，比單位”。

師：通分子可以實現(xiàn)誰和誰的打通？（生反饋略）通分母呢？（生反饋略）通常說的通分指的是通分母。

（五）追本質、悟通法的活動總結

師：以前三種分數(shù)比較的本質分別是什么？比較萬物的通法其實只有哪三種基本情況、哪兩種基本方法？

三種基本情況：（1）單位相同，比個數(shù)；（2）個數(shù)相同，比單位；（3）個數(shù)、單位都不同。

兩種基本方法：（1）（2），因為（3）要轉化成（1）或（2）去比。

引導學生透過表面的“同分母比分子、同分子比分母、子母都不同通分”，看見數(shù)學比較的本質，感悟聯(lián)系、轉化、打通等思想和方法，學會把各年級的相關學習內容打通、把不同類型的知識打通，探尋數(shù)學中比較大小的通法，乃至比較萬物大?。ǘ嗌伲┑幕就ǚā?/p>

三、再開窗——研究分數(shù)大小比較的另類N種方法

師：除了以上比較方法，分數(shù)還有不一樣的比法嗎？[4/5]和[3/5]還可以轉化成什么來比較？

生：可以轉化成小數(shù)來比較，[4/5]=0.8，[3/5]=0.6，因為0.8＞0.6，所以[4/5]＞[3/5]。

師：這其實是聯(lián)系學過的哪種知識，和誰進行打通？

生：聯(lián)系除法與分數(shù)的關系，和小數(shù)打通。

師：非常棒！還能想出不一樣的比法嗎？

于是，在教師的引導下，學生陸續(xù)產生了下列比法：

1.比它們的倒數(shù)，倒數(shù)大的反而小

師：還有不一樣的比法嗎？

這時，有的學生說沒有了，有的學生在靜默沉思，最終還是沒有人提出新的比法。于是，教師開始啟發(fā)：分數(shù)既然可以和小數(shù)的比較打通，那么以此類推，分數(shù)是不是還可以——

個別學生猶疑地自言自語：和整數(shù)打通？

師：給這些同學鼓掌！大膽暢想一下，分數(shù)的比較如何轉化成整數(shù)的比較？

2.與整數(shù)打通，轉化成整數(shù)和整數(shù)比

有學生提出這樣的猜想：[4/5]○[3/5]，兩個分數(shù)都乘5，變成4○3，因為4＞3，所以[4/5]＞[3/5]。

驗證性練習：學生用這種方法比較[5/6]和[6/7]，很快想到“乘分母的最小公倍數(shù)”，轉化成了35比36。

3.與整數(shù)打通，交叉相乘比

針對[5/6]○[6/7]，有學生提出這樣的猜想：用第一個分數(shù)的分子去乘第二個分數(shù)的分母，積是35；再用第一個分數(shù)的分母去乘第二個分數(shù)的分子，得36，因為第一個積小于第二個積，所以第一個分數(shù)比第二個分數(shù)小。

師：這個方法是不是適用于所有的分數(shù)比較呢？我們可以用剛才已經比過、知道結果的題目來驗證，這種方法叫“執(zhí)果索因”或“執(zhí)果索法”，就是利用已經證實的結果，去探索得到這種結果的其他原因和方法。你們能給這種比法取個名字嗎？

生：交叉相乘法。

教師適時補充一個相等分數(shù)的例子，完善歸納類型。

4.與整數(shù)打通，轉化成分數(shù)和整數(shù)比

師：一定要兩個分數(shù)都變成整數(shù)嗎？比如，[5/6]○[6/7]還可以——

生：只要乘6或7就可以了。（1）都乘6，[5/6]○[6/7]→ 5○[36/7]，[36/7]大于5，所以[5/6]＜[6/7]；（2）都乘7，[5/6]○[6/7]→[35/6]○6，[35/6]小于6，所以[5/6]＜[6/7]。

5.與整數(shù)打通，將其一變成1

師：其中的一個分數(shù)能否變成一個更簡單、特殊的整數(shù)呢？

生：1。

于是就有了：（1）都乘[6/5]，[5/6]○[6/7]→ 1○[36/35]，[36/35]大于1，所以[5/6]＜[6/7]；（2）都乘[7/6]，[5/6]○[6/7]→[35/36]○1，[35/36]小于1，所以[5/6]＜[6/7]。

6.直除看商

師：以上都是通過運算實現(xiàn)了分數(shù)、整數(shù)、小數(shù)的打通。那它能不能和運算直接打通呢？

學生通過計算很快發(fā)現(xiàn)：用前面的分數(shù)直接除以后面的分數(shù)，如果商大于1，前面的數(shù)就比后面的數(shù)大；如果商小于1，前面的數(shù)就比后面的數(shù)小。如[5/6]÷[6/7]=[5/6][7/6]=[35/36]，[35/36]＜1，所以[5/6]＜[6/7]。

師：算上前面的方法，我們已經研究出了十多種比較分數(shù)大小的不同方法。你覺得還有其他不一樣的比較方法嗎？

生：有！很多種！

師：這些方法，課本上有嗎？

生：沒有！

師：也就是說，數(shù)學要遠比你在課本看見的——（多得多）課本上沒有，你們怎么研究？

生：上網(wǎng)查資料……

師：對！還可以看看數(shù)學百科全書、數(shù)學讀物，這是學習數(shù)學、看見很多不一樣的數(shù)學、不一樣的方法的重要路徑。

全景式數(shù)學教育的核心理念之一，是“開更多的窗，播更多的種，留更多的芽，點更多的燈，永遠不要輕易給孩子設限，讓他們擁有更多的可能……”。上述教學活動就是在貫徹和落實這個教育主張，是在引導學生跳出課本，嘗試猜想和創(chuàng)生更多不一樣的比法（想法），讓學生體驗到數(shù)學猜想、不斷追問、深度思考的力量，感受到數(shù)學的神奇，親歷學習和創(chuàng)造數(shù)學的快樂，看見比課本上更多的比較方法，看見不一樣的數(shù)學，豐富智力背景，培育核心素養(yǎng)。

四、本節(jié)課的學習回顧總結和作業(yè)設計

師：該下課了，誰愿意來和大家聊聊你的收獲，或者談談與上課前相比，你對比較乃至對數(shù)學的看法發(fā)生了哪些改變。

教師鼓勵學生把今天學習的另類數(shù)學比較的三種基本情況和兩大基本方法分享給家人、伙伴，并激勵他們課后繼續(xù)思考和探究：今天學習的兩種基本方法中，如果單位是0或負數(shù)，要怎么來比較？為什么？

從學生的感受和總結來看，這節(jié)課他們收獲的不僅有數(shù)學知識、技能，還有不一樣的比較觀、課堂觀、學習觀、數(shù)學觀等，更有超越數(shù)學的一般的思想、更核心的素養(yǎng)。讓學生帶著問題走出課堂，在課后續(xù)用的同時，繼續(xù)進行新的思考，促進他們看見未來（中學乃至大學）的數(shù)學學習，看見更多、更完整的數(shù)學。

綜上所述，平時教學中的隨時打通和這樣的專項打通課，不僅可以讓學生發(fā)掘、探究到各年級同類知識背后共通的、一致的、更深刻的數(shù)學本質，以及共通的、一致的思想方法，更重要的是，能使學生對知識的整體性、系統(tǒng)性、結構性理解得更通透、掌握得更扎實、提取得更快捷，增強其遷移和解決問題的能力。同時，也能更好地毓養(yǎng)學生梳理、打通的意識、能力和習慣，有利于培養(yǎng)學生數(shù)學的乃至超越數(shù)學的、一般的通用核心素養(yǎng)。