數(shù)學(xué)建模:理論與實(shí)踐

王嬌 張燦

基金項(xiàng)目：2022年度安徽省蕪湖市教學(xué)研究重點(diǎn)課題“雙減背景下促進(jìn)核心素養(yǎng)發(fā)展的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)實(shí)踐與研究”（項(xiàng)目編號(hào)：2022JK062）.

摘? 要：在初中數(shù)學(xué)中，綜合與實(shí)踐課常以數(shù)學(xué)廣角、數(shù)學(xué)活動(dòng)或數(shù)學(xué)習(xí)題的方式編寫(xiě)，本節(jié)課以全等三角形的證明方法為理論，通過(guò)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的方式，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)操作與實(shí)踐，從“坐中學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤白鲋袑W(xué)”，從“聽(tīng)數(shù)學(xué)”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸鲃?dòng)探究”.文章以“手拉手模型之全等三角形”的教學(xué)設(shè)計(jì)為例，闡述了如何動(dòng)手“做”數(shù)學(xué).

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)；動(dòng)手操作；“做”數(shù)學(xué)；數(shù)學(xué)建模

史寧中教授在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀》中提出，義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程改革面臨的問(wèn)題是“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域的教學(xué)沒(méi)有得到有效落實(shí).針對(duì)此問(wèn)題，筆者嘗試從書(shū)本習(xí)題出發(fā)，將三角形全等的理論知識(shí)與學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐相結(jié)合，培養(yǎng)學(xué)生理論與實(shí)踐相結(jié)合，建立數(shù)學(xué)模型思想.

在實(shí)踐活動(dòng)中，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是目前在教學(xué)中比較行之有效的教學(xué)形式，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生動(dòng)手動(dòng)腦“做”數(shù)學(xué)來(lái)達(dá)到教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).課堂上用模型、測(cè)量、計(jì)算機(jī)軟件，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，幫助學(xué)生從以往的教學(xué)中的“聽(tīng)數(shù)學(xué)”“當(dāng)觀眾”轉(zhuǎn)變?yōu)椤爸鲃?dòng)探究”“當(dāng)演員”，變“機(jī)械學(xué)習(xí)”為“自己研究”.學(xué)生在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，發(fā)揮內(nèi)驅(qū)力，形成了良好的數(shù)學(xué)思維，尤其是在這一過(guò)程中，教師與學(xué)生之間的互動(dòng)，使學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)體系的建構(gòu)過(guò)程，對(duì)所學(xué)的知識(shí)產(chǎn)生興趣，打破初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)刻板的印象.

1? 復(fù)習(xí)舊知，引入新課

教師幫助學(xué)生構(gòu)建全等三角形知識(shí)框圖，探討從哪些角度證明兩個(gè)三角形全等.并給出課本習(xí)題，學(xué)生練習(xí)，引出本節(jié)課實(shí)踐內(nèi)容.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)，全等三角形是學(xué)生剛剛學(xué)過(guò)的知識(shí)，并不陌生，通過(guò)回顧舊知的方式幫助學(xué)生為全等三角形知識(shí)的應(yīng)用鋪設(shè)臺(tái)階.

2? 實(shí)驗(yàn)探究，驗(yàn)證結(jié)論

2.1? 等邊三角形中的手拉手問(wèn)題

實(shí)驗(yàn)1：

（1）請(qǐng)拿起手邊的兩個(gè)等邊三角形，分清三角形的左底角與右底角和頂點(diǎn)，將兩個(gè)三角形的頂點(diǎn)重合；

（2）將一個(gè)三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個(gè)三角形的左底角連接，右底角連接，并標(biāo)注字母；

（4）用量角器測(cè)量由頂點(diǎn)和兩左底角（或兩右底角）構(gòu)成三角形的內(nèi)角.

（電腦演示：三角形旋轉(zhuǎn)后，測(cè)得頂點(diǎn)和兩左底角（或兩右底角）構(gòu)成三角形的內(nèi)角以及邊長(zhǎng)）

問(wèn)題1

（1）根據(jù)測(cè)量結(jié)果，你發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)三角形有什么關(guān)系？

（2）當(dāng)一個(gè)三角形旋轉(zhuǎn)到任意位置，兩個(gè)三角形全等是否仍然成立？你能應(yīng)用全等三角形的知識(shí)證明它嗎？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】讓學(xué)生實(shí)際操作，感受三角形的旋轉(zhuǎn)過(guò)程，記錄相對(duì)應(yīng)的位置.通過(guò)學(xué)生測(cè)量、教師利用幾何畫(huà)板演示測(cè)量角度和線段長(zhǎng)度，引導(dǎo)學(xué)生猜想兩個(gè)三角形的關(guān)系，并從理論上對(duì)兩個(gè)三角形的全等加以證明，從中體會(huì)變化中存在的不變關(guān)系.

小結(jié)：當(dāng)兩個(gè)等邊三角形的頂點(diǎn)重合時(shí)，運(yùn)動(dòng)其中一個(gè)三角形，連接線段，所得的△ABE和△CBD形狀發(fā)生變化，但兩個(gè)三角形的全等關(guān)系不變，說(shuō)明運(yùn)動(dòng)圖形中存在不變性.

實(shí)驗(yàn)2

（1）請(qǐng)拿起兩個(gè)任意形狀的三角形，確定好兩三角形的頂角和底角，將兩個(gè)三角形的頂角重合；

（2）將一個(gè)三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個(gè)三角形的左底角連接，右底角連接，并標(biāo)注字母；

（4）用量角器測(cè)量由頂點(diǎn)和兩左底角（或兩右底角）構(gòu)成三角形的內(nèi)角.

（電腦演示：三角形旋轉(zhuǎn)后，兩三角形形狀）

問(wèn)題2

（1）從記錄的數(shù)據(jù)看，實(shí)驗(yàn)1得出的兩個(gè)三角形還全等嗎？為什么？

（2）這說(shuō)明兩圖形運(yùn)動(dòng)的不變性是有條件的，要想實(shí)現(xiàn)兩個(gè)三角形的全等，對(duì)這兩個(gè)三角形的性狀有什么要求？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】學(xué)生動(dòng)手操作，連線、度量、猜想，得出要想保證兩個(gè)三角形全等這條性質(zhì)，兩個(gè)三角形的形狀是有要求的，體會(huì)變化中存在的不變關(guān)系需要滿足的條件.

2.2? 等腰三角形中的手拉手問(wèn)題

實(shí)驗(yàn)3

（1）請(qǐng)拿起手邊的兩個(gè)等腰三角形，確定好兩三角形的頂角和底角，將兩個(gè)三角形的頂角重合；

（2）將一個(gè)三角形繞頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)不同的角度，觀察并記錄拼接后的圖形；

（3）用筆將兩個(gè)三角形的左底角連接，右底角連接，并標(biāo)注字母；

（4）用量角器測(cè)量由頂點(diǎn)和兩左底角（或兩右底角）構(gòu)成三角形的內(nèi)角.

（電腦演示：三角形旋轉(zhuǎn)后，兩三角形形狀）

問(wèn)題3? 實(shí)驗(yàn)3得出的兩個(gè)三角形全等嗎？如何證明？若將等腰三角形換成等腰直角三角形還成立嗎？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】將兩個(gè)等邊三角形換成等腰三角形，學(xué)生通過(guò)操作、猜想、證明，感受到通過(guò)旋轉(zhuǎn)兩個(gè)等邊三角形得出的結(jié)論，可推廣到旋轉(zhuǎn)一般的等腰三角形.

3? 抽象概念，生成知識(shí)

3.1? 形成概念

問(wèn)題4? 這種運(yùn)動(dòng)圖形中存在的不變性，針對(duì)的兩個(gè)三角形需要滿足什么特征？得出的是什么結(jié)論？

特征：等腰三角形（或等邊三角形、等腰直角三角形、正方形）共頂點(diǎn)，等頂角.

結(jié)論：存在兩三角形全等.

如果我們形象地把一個(gè)等腰三角形的頂點(diǎn)看作“頭”，左底角看成“左手”，右底角看成“右手”，那么可描述成“頭對(duì)頭，左手拉左手，右手拉右手”，那么這種能得到全等的圖形的模型就叫做“手拉手模型”.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】讓學(xué)生經(jīng)歷觀察、動(dòng)手操作等一系列活動(dòng)，提高學(xué)生合情推理和演繹推理的能力，讓學(xué)生用自己的語(yǔ)言概括出“手拉手模型”的概念.

3.2? 概念辨析

練習(xí)1? 如圖1，已知AC=AD，AB⊥BC，∠BAE=12∠CAD，利用“手拉手模型”構(gòu)造全等三角形.

圖1

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)讓學(xué)生構(gòu)建左手拉左手，右手拉右手，更好地理解全等三角形的作法.

練習(xí)2? 如圖2，將兩等邊三角形旋轉(zhuǎn)至A，B，D在一條直線的位置關(guān)系，你能得出哪幾組三角形全等？

圖2

追問(wèn)? 若連接FG，你還能得出什么結(jié)論？連接HB呢？

FG∥BD，∠CHF=60°，HB平分∠FHG.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)實(shí)驗(yàn)操作，讓學(xué)生明白當(dāng)關(guān)注更多的點(diǎn)，就可以得出除上述實(shí)驗(yàn)得到的全等三角形外其他兩組全等三角形，為接下來(lái)“手拉手模型”知識(shí)的拓展做好鋪墊工作.

3.3? 知識(shí)延伸

^^（2023·安師大附外城東校區(qū)初二月考第10題）&&如圖3，在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作∠AEB=∠AED，連接AD，使∠ADE=∠ACB，連接CD，則下列結(jié)論中不正確的是（? ）.

圖3

A. AD=AC

B. DE=CE+2BE

C. ∠DAC=∠BAE

D. ∠CDE=∠CAE

解析：如圖4，延長(zhǎng)EB至點(diǎn)M，使得BM=BE，連接AM.

在△AMB和△AEB中，

圖4

BM=BE，

∠ABM=∠ABC=90°，

AB=AB，

∴△AMB≌△AEB（SAS），

∴AM=AE，

∠AMB=∠AEB.

∵∠AEB=∠AED，

∴∠AMB=∠AED，

在△AMC和△AED中，

∠ACB=∠ADE，

∠AMB=∠AED，

AM=AE，

∴△AMC≌△AED（AAS），

∴AD=AC，DE=MC=EC+2BE，∠MAC=∠EAD，

∴∠MAC-∠CAE=∠EAD-∠CAE，即∠MAE=∠CAD，∴∠AED=∠AEB=∠ACD，

∴∠CDE=∠CAE.

∴選項(xiàng)A，B，D均正確.故選C.

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)這個(gè)問(wèn)題，讓學(xué)生明白在遇到問(wèn)題時(shí)，可以嘗試從尋找兩個(gè)等腰三角形的角度來(lái)構(gòu)建“手拉手模型”，進(jìn)一步體會(huì)“變”與“不變”的數(shù)學(xué)思想.

4? 歸納總結(jié)，深度思考

問(wèn)題5

（1）如何判別圖形是“手拉手模型”？

（2）由“手拉手模型”可以得出哪兩個(gè)三角形全等？

（3）圖形在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中得出的三角形全等用到了什么數(shù)學(xué)思想？

（4）通過(guò)今天的學(xué)習(xí)，你積累了哪些學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)？

（5）你還有哪些疑惑？

【設(shè)計(jì)說(shuō)明】通過(guò)提出一系列問(wèn)題，進(jìn)行有針對(duì)性的小結(jié)，幫助學(xué)生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，構(gòu)建本節(jié)課的知識(shí)框架，提煉本節(jié)課的重難點(diǎn)，從而更好地內(nèi)化本節(jié)課內(nèi)容.

5? 教學(xué)反思

本節(jié)課是義務(wù)教育教科書(shū)人教版八年級(jí)上冊(cè)“全等三角形”應(yīng)用的內(nèi)容，之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形全等的判定以及角平分線的性質(zhì)，因此，本節(jié)課作為全等三角形的應(yīng)用，有鞏固相關(guān)知識(shí)的目的.筆者根據(jù)學(xué)生喜歡動(dòng)手的特征，選擇不同的三角形紙片，讓學(xué)生在課堂中動(dòng)手操作，得出圖形，再對(duì)自己畫(huà)的圖形觀察、度量、猜想、證明，體會(huì)“手拉手模型”得出的兩個(gè)三角形的由來(lái).在數(shù)學(xué)課堂中，教師尊重學(xué)生的主體地位，從學(xué)生已有的認(rèn)知發(fā)展水平、數(shù)學(xué)知識(shí)及數(shù)學(xué)思維能力出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)圖形作創(chuàng)造性的構(gòu)建，體會(huì)圖形中存在的不變性.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“教學(xué)活動(dòng)應(yīng)注重啟發(fā)式，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引發(fā)學(xué)生積極思考，鼓勵(lì)學(xué)生質(zhì)疑問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在真實(shí)情境中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，利用觀察、猜測(cè)、實(shí)驗(yàn)、計(jì)算、推理、驗(yàn)證、數(shù)據(jù)分析、直觀想象等方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題.”學(xué)生在學(xué)習(xí)新知的過(guò)程中，經(jīng)歷了動(dòng)手操作、觀察歸納，從兩個(gè)具體的三角形中找出全等三角形，歸納兩個(gè)三角形全等時(shí)滿足的條件，建立數(shù)學(xué)模型思想.

參考文獻(xiàn)

［1］ 陳超.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的運(yùn)用研究［J］.理科愛(ài)好者，2022（3）：44-46

［2］ 董林偉.數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)：促進(jìn)初中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種有效方式［J］.中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2012（5）：2-5

［3］ 林群.義務(wù)教育教科書(shū)（人教版）數(shù)學(xué)八年級(jí)上冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社.

［4］ 史寧中，曹一鳴.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）解讀［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.