指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計

張貝婷 姜晶 邵秀芹 徐秀英

*基金項目：

山東省專業(yè)學(xué)位研究生教學(xué)案例庫建設(shè)項目“《教學(xué)課程與教材分析》教學(xué)案例庫”（項目編號：SDYAL21195）;聊城大學(xué)研究生課程思政示范課程“數(shù)學(xué)課程與教材分析”（項目編號：LCUKCSZ2308）.

摘? 要：史寧中教授把數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的發(fā)展劃分為三個不同的階段：一是在簡約階段把復(fù)雜的問題簡明地表述出來；二是在符號階段使用符號來表達(dá)已經(jīng)簡單化的問題；三是在普適階段通過假定和推論，構(gòu)造出一種可以在廣義上描述具體事物的特性或規(guī)律的模式.以高中數(shù)學(xué)中《集合的概念》為例，進(jìn)行指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教學(xué)設(shè)計，包括八個具體步驟：“辨別”“分化”“類化”“抽象”這四個步驟是“簡約”階段，“概括”“形式”這兩個步驟是符號階段，最終實現(xiàn)從“系統(tǒng)”到“運(yùn)用”的普適階段.

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；教學(xué)設(shè)計；抽象素養(yǎng)；集合的概念

數(shù)學(xué)抽象是從數(shù)量關(guān)系上和空間形態(tài)上，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)教育對象的實質(zhì)和規(guī)律性的研究方式［1］，是人腦對客觀事物的數(shù)量關(guān)系和空間形式的間接、概括的反映.［2］數(shù)學(xué)教學(xué)設(shè)計實際上是一個不斷改進(jìn)和完善的動態(tài)發(fā)展過程.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱《課標(biāo)（2017）》）中指出，數(shù)學(xué)抽象表現(xiàn)在獲得數(shù)學(xué)概念和規(guī)則，提出數(shù)學(xué)命題和模型，形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系.［3］

1? 《集合的概念》教學(xué)分析

1.1? 設(shè)計理念

充分利用各種探究活動，讓學(xué)生體驗和感受到數(shù)學(xué)抽象的過程，進(jìn)而培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).具體包括：從實際和數(shù)學(xué)的情境中體驗集合的含義和表示的抽象過程，通過具體的、直觀的實例分析來確定集合元素的特征，并試圖從文字語言到運(yùn)用符號的形式化描述的轉(zhuǎn)化，從而構(gòu)造出一個概念的體系和具體的運(yùn)用.

1.2? 課標(biāo)要求

通過本節(jié)課教學(xué)，要求學(xué)生明確集合中元素的性質(zhì)，掌握常用數(shù)集及專用符號，并能靈活運(yùn)用；能夠用集合中元素的性質(zhì)，掌握常用數(shù)集及專用符號，并能靈活運(yùn)用.最終學(xué)生能夠用集合語言來表達(dá)相關(guān)的數(shù)學(xué)對象.

1.3? 教材分析

這節(jié)課內(nèi)容為人教A版《普通高中教科書數(shù)學(xué)必修第一冊》第一章第1節(jié)的《集合的概念》.它既是初高中的“過渡課”，也是一節(jié)學(xué)習(xí)集合語言的概念課，是學(xué)習(xí)函數(shù)、方程、不等式、立體幾何、解析幾何、概率統(tǒng)計的基本工具.從教科書知識的安排來看，小學(xué)和初中階段已學(xué)習(xí)了一些集合，對集合的概念有了初步的感性認(rèn)識.高中階段要求學(xué)生用自然語言、圖形語言、集合語言表述特定問題，并引導(dǎo)學(xué)生自主歸納，從而強(qiáng)化過程性，加強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，發(fā)展他們的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.4? 學(xué)情分析

（1）高一的學(xué)生具有較強(qiáng)的觀察、分析、推理能力.他們勤于思考、樂于探究.部分學(xué)生具有較高的解題能力，可以對所學(xué)到的知識進(jìn)行正確的歸納，在學(xué)習(xí)小組的討論和交流中，能形成對問題的解決思路.

（2）高一學(xué)生的歸納、運(yùn)用數(shù)學(xué)的意識比較薄弱，抽象思維能力不足.該小節(jié)的概念比較抽象，符號性的詞匯比較多，需要更高的邏輯思維能力.

1.5? 教學(xué)目標(biāo)

（1）理解集合的含義以及元素與集合的“屬于”關(guān)系；掌握常用數(shù)集的記法；學(xué)會使用多種表達(dá)方式來表示集合的內(nèi)容，包括自然語言、圖形語言和集合語言（列舉法或描述法），以便更好地解決實際問題.

（2）體會和學(xué)會運(yùn)用分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法；加強(qiáng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

（3）通過自主閱讀學(xué)習(xí)、進(jìn)行合作討論，在數(shù)學(xué)活動中感受探索與創(chuàng)造，體驗學(xué)習(xí)的快樂.

1.6? 教學(xué)重點、難點

教學(xué)重點：集合的基本概念與表示方法.

教學(xué)難點：運(yùn)用列舉法與描述法正確表示一些基本的集合；在集合概念的形成探究過程中滲透數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

1.7? 教學(xué)過程設(shè)計

本節(jié)課以“情境導(dǎo)入，引出課題—抽象概括，符號表達(dá)—形成理論，拓展應(yīng)用—?dú)w納小結(jié)，形成體系—布置作業(yè)，課后提升”為主線讓學(xué)生體驗命題的完整抽象化過程，獲取基本活動經(jīng)驗.

1.7.1? 情境導(dǎo)入，引出課題

探究一：集合、元素的定義

利用多媒體展示圖片，如圖1所示.

圖1? 情境引入圖片

教師：上面這些圖畫都給我們什么印象？

學(xué)生：許多人或物聚在一起，給我們以集體的印象.

教師：日常生活中，很多的事物給我們產(chǎn)生集體的印象，例如：為人民服務(wù)的消防隊員；班級；戰(zhàn)機(jī)空中疊羅漢；猴群；魚群……這些都是集合.

【設(shè)計意圖】以生活中的常見事例為課堂教學(xué)情境，讓同學(xué)們對集合、元素的概念有一定的感性認(rèn)識.指引他們用數(shù)學(xué)的眼睛去發(fā)現(xiàn)并認(rèn)識這個世界，進(jìn)而能夠在現(xiàn)實生活中更好地發(fā)現(xiàn)所學(xué)的數(shù)學(xué)問題.通過這樣的數(shù)學(xué)教學(xué)，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

問題1? 小學(xué)和初中階段，我們有接觸過與“集合”有關(guān)的內(nèi)容嗎？與同伴進(jìn)行交流.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的初始階段，實現(xiàn)第一個步驟：辨別.從學(xué)生的認(rèn)知基本功開始，在初中階段，已經(jīng)學(xué)到了幾個常用的集合，然后用實例來引出問題.

教師：那么，集合的概念具體是什么呢？讓我們看看以下幾個例子：

（1）1～10之間的所有偶數(shù)；

（2）立德中學(xué)今年入學(xué)的全體高一學(xué)生；

（3）所有的正方形；

（4）到直線l的距離等于定長d的所有點；

（5）方程x2-3x+2=0的所有實數(shù)根；

（6）地球上的四大洋.

師生互動：教師要給每一位同學(xué)充分的時間去思考，用他們自己的方式描述對“集合”的認(rèn)識，然后根據(jù)學(xué)生們的發(fā)言，歸納出他們對集合的描述性定義.據(jù)此基礎(chǔ)，教師再讓學(xué)生閱讀并理解教材中集合的定義：一般地，我們把研究的對象統(tǒng)稱為元素，一些元素組成的總體叫做集合.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的初始階段，實現(xiàn)第二個步驟：分化.根據(jù)特定的實例，感受到集合和元素的特征，使學(xué)生對抽象的概念有更形象、更具體的理解.同時，在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生相互交流分析，對比各個實例的共性特征，讓學(xué)生感受到集合概念生成的過程，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

探究二：集合元素的性質(zhì)——確定性、互異性和無序性

問題2? 下列說法中能夠組成集合的是：

（1）比較瘦的人；

（2）我們班里所有的學(xué)生.

分析：比較瘦的人這一定義不明確，很難判斷某個人是否滿足瘦這樣子的說法.例如，某個人體重70 kg，如果作為女性就比較胖了，但是作為個子比較高的男性就不算胖，這樣的說法表示的對象就無法組成一個集合.

教師：因此，在研究集合時，一個元素要么是集合的元素，要么不是.這個集合里面的元素必須是確定的，這就是集合中元素的第一個性質(zhì)：確定性.

分析：我們班里的學(xué)生可以組成一個集合.我們班每一個學(xué)生都有自己的特點，都是互不相同的.

教師：這就是集合中元素的第二個性質(zhì)：互異性.

教師：描述我們班的所有學(xué)生組成的集合時，先說哪一位同學(xué)，對我們最后的集合有影響嗎？

學(xué)生：沒有，即使順序不一樣，描述的也都是同一個集合.

教師：這就是集合中元素的第三個性質(zhì)：無序性.如果組成兩個集合的元素相同，則可說這兩個集合相等.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的初始階段，實現(xiàn)第三個步驟：類化.要求學(xué)生用自然語言來描述這些元素的概念和特點.

1.7.2? 抽象概括，符號表達(dá)

在高中數(shù)學(xué)里，我們要用定理、定義、公式來表達(dá)自己的思想，而數(shù)學(xué)的思維方式和相關(guān)的概念是不可或缺的.教師要通過對數(shù)學(xué)概念的原型、抽象過程和應(yīng)用過程的分析，使學(xué)生能夠更好地理解.最后，通過對符號階段的總結(jié)來確定概念體系并加以運(yùn)用.［4］

探究三：元素與集合的關(guān)系

教師：引出元素與集合的從屬關(guān)系：

我們通常用大寫拉丁字母A，B，C，…表示集合，用小寫拉丁字母表示集合中的元素.

如果a是集合A的元素，就說a屬于集合A，如果a不是集合A的元素，就說a不屬于（not belong to）集合A.

練習(xí)1? 用符號“∈”或“”填空：

0? N;-3? N;0.5? Z;2? Z.

師生互動：練習(xí)1部分，先讓學(xué)生獨(dú)立解答，再請其他學(xué)生評價，最后教師評析.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的初始階段，實現(xiàn)第四個步驟：抽象.在引導(dǎo)學(xué)生類化出集合與元素的概念后，可以自然地揭示出元素與集合的關(guān)系的表示方法，并出示常用數(shù)集及其記法.

問題3? 除了一些特殊集合外，其他集合應(yīng)該怎樣用符號表示比較方便呢？

師生互動：學(xué)生思考討論后，教師給出列舉法的定義.列舉法：把集合的元素一一列舉出來，然后用“{}”括起來.“地球上的四大洋”組成的集合表示為{太平洋，大西洋，印度洋，北冰洋}；“方程x2-3x＋2=0的所有實數(shù)根”組成的集合表示為{1，2}.

問題4? （1）你能用自然語言描述集合｛0，3，6，9｝嗎？

（2）你能用列舉法表示不等式x-7＜3的解集嗎？

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的符號階段，實現(xiàn)第五個步驟：概括.通過問題引導(dǎo)學(xué)生從符號語言過渡到自然語言.通過思考讓學(xué)生認(rèn)識到：一些集合用列舉的方式來表達(dá)是非常不簡便的，從而引發(fā)了認(rèn)知沖突，引出描述法.

教師：不等式x-7<3的解集是x<10，因為滿足x<10的實數(shù)有無數(shù)個，所有的解無法用列舉法表示.但我們能利用解集中元素的共同特征，即x是實數(shù)，且x<10，把解集表示為｛x∈R|x<10｝.

上述的表示方法我們可以歸納為集合的第二種表示方法：描述法.把集合A中所有具有共同特征P（x）的元素x組成的集合表示為｛x∈A|P（x）｝.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的符號階段，實現(xiàn)第六個步驟：形式（符號表達(dá)）.讓學(xué)生更好地理解自然語言和符號語言的轉(zhuǎn)換，并且體驗到如何用描述法來表達(dá).描述法表達(dá)集合的關(guān)鍵在于能夠精確地反映數(shù)學(xué)對象的共性.

1.7.3? 形成理論，拓展應(yīng)用

嚴(yán)謹(jǐn)?shù)姆治龊秃侠淼某橄罂梢允箯?fù)雜的問題簡單化，這是培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力的一個重要手段.在教科書中，給出了集合的概念和表示方法，就是要在數(shù)學(xué)抽象的普適階段實現(xiàn)第七個步驟：系統(tǒng)（形成理論）.經(jīng)由上述的簡約階段、符號階段的逐步抽象化，進(jìn)而加深對概念的認(rèn)識，形成一個完整的體系.

問題5? 對比自然語言、列舉法和描述法在表示集合時所具有的特征和適用的問題，并舉例說明.

教師：為了鞏固所學(xué)知識，現(xiàn)在我們小試牛刀一下.

練習(xí)2? 用適當(dāng)?shù)姆椒ū硎鞠铝屑希?/p>

（1）由方程x3-9=0的所有實數(shù)根組成的集合；

（2）一次函數(shù)y=x+3與y=-2x+6圖象的交點；

（3）不等式4x-5＜3的解集.

【設(shè)計意圖】在數(shù)學(xué)抽象的普適階段，在數(shù)學(xué)抽象中實現(xiàn)第八個步驟：運(yùn)用（理論實踐）.數(shù)學(xué)抽象能力的高低決定著能否順利建立數(shù)學(xué)模型.［5］引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出各種表示方法的特征，并指出它們各自在表達(dá)研究對象方面的優(yōu)勢，注意三種語言之間的相互轉(zhuǎn)化.讓學(xué)生會根據(jù)問題的特性，選取合適的表達(dá)方式來表達(dá)集合.

1.7.4? 歸納小結(jié)，形成體系

教師：學(xué)習(xí)到這里，本節(jié)課就接近尾聲了，哪位同學(xué)來分享一下你的收獲？

學(xué)生：明確了集合和元素的含義；學(xué)會了常用數(shù)集及記法；掌握了集合的表示方法.

教師：那老師補(bǔ)充一下，本節(jié)課我們還體會和運(yùn)用了分類與整合的數(shù)學(xué)思想方法；提高了數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).希望同學(xué)們在以后的學(xué)習(xí)中加以運(yùn)用.

【設(shè)計意圖】通過讓學(xué)生自主總結(jié)，幫助學(xué)生“形成數(shù)學(xué)方法與思想，認(rèn)識數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與體系”，從而提高數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).

2? 教學(xué)反思

通過一系列探究性的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計，由具體化到抽象化，由特殊到一般，突出重點，突破難點，在課堂練習(xí)中及時反饋，并對其進(jìn)行正確評價等都對培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和創(chuàng)新意識都起到了非常重要的作用.這節(jié)課的數(shù)學(xué)抽象活動體現(xiàn)了類比、分類討論、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法.通過對問題情境的觀察、歸納和類比，可以在一定程度上積累學(xué)生的思維活動經(jīng)驗，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象能力.通過對“屬于關(guān)系”的認(rèn)識，使學(xué)生能夠從類比和運(yùn)算中體會到形式的符號化表達(dá).他們在完成這節(jié)課程學(xué)習(xí)后，學(xué)會歸納數(shù)學(xué)對象的共性，并用集合語言加以表示，從而強(qiáng)化了數(shù)學(xué)的抽象過程.同時，集合列舉法和描述法等表示方法，也為以后的韋恩圖的學(xué)習(xí)奠定了基礎(chǔ)，使其在集合的表示方法層次上逐漸形成一個體系.

參考文獻(xiàn)

［1］ 張金良.解密數(shù)學(xué)抽象 探索教學(xué)策略［J］.數(shù)學(xué)通報，2019，58（8）：23-26+66.

［2］ 吳增生.數(shù)學(xué)抽象的認(rèn)知與腦機(jī)制［J］.數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2018，27（4）：68-75.

［3］ 中華人民共和國教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［4］ 鄧翰香，吳立寶，沈婕.指向數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)的教材分析框架與案例剖析——以人教A版“函數(shù)單調(diào)性”為例［J］.數(shù)學(xué)通報，2019，58（10）：33-38.

［5］ 劉乃志.加強(qiáng)三個“過程”培養(yǎng)學(xué)生抽象能力［J］.基礎(chǔ)教育課程，2021（2）：37-45.