基于真實情境的抽象能力培養(yǎng)

張紹武 崔佳佳 高媛

【摘 要】抽象是數(shù)學的基本特征，也是數(shù)學的基本思想。初中階段的抽象能力主要表現(xiàn)在數(shù)學概念、關系與方法的抽象上。教學中，要關注數(shù)學概念的發(fā)生、發(fā)展過程，引領學生從真實情境所蘊含的豐富信息中提煉出與數(shù)學相關的信息，借助問題情境抽象出概念，經歷數(shù)學抽象的過程，深化對數(shù)學知識和意義的理解。本文以“數(shù)軸”概念的教學為例，就如何基于真實情境培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象能力進行了探索和實踐。

【關鍵詞】抽象能力；真實情境；數(shù)軸

一、引言

數(shù)學源于對現(xiàn)實世界數(shù)量關系與空間圖形的抽象，因此抽象能力主要與“會用數(shù)學的眼光觀察現(xiàn)實世界”對應，同時又與“會用數(shù)學的思維思考現(xiàn)實世界”和“會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界”密切相關。對初中學生數(shù)學抽象能力的培養(yǎng)，重在引領學生從數(shù)學的角度觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題，經歷從真實問題中提煉數(shù)學對象，并通過數(shù)學洞悉真實世界的過程。因此，真實情境是數(shù)學抽象的出發(fā)點和基礎。目前，大部分初中學生的抽象能力較弱，主要原因有：一是教師在教學中往往重結果輕過程，學生能記住某些抽象的數(shù)學形式，但沒有經歷完整、自主的思考過程；二是教師對抽象能力認識不足，缺乏對抽象能力框架的全面掌握，對基于真實情境發(fā)展核心素養(yǎng)的課堂設計理念缺乏深入的思考?；诖?，本文在分析抽象能力內涵的基礎上，以“數(shù)軸”概念教學為例，探討通過創(chuàng)設真實情境來設計教學，培養(yǎng)學生數(shù)學抽象能力的方法和步驟。

二、對數(shù)學抽象能力的認識

數(shù)學本質上研究的是抽象的對象，數(shù)學的發(fā)展所依賴的最重要的基本思想也是抽象［1］。所謂數(shù)學抽象，就是個體通過觀察并分析發(fā)展規(guī)律，透過表象探索問題本質，立足空間和數(shù)量關系來揭示內在特征，并對發(fā)展規(guī)律進行總結的一種方法。數(shù)學抽象是數(shù)學得以產生和發(fā)展的思維基礎，與數(shù)學的發(fā)展同步。數(shù)學抽象要經歷兩個階段：（1）第一階段的抽象是基于現(xiàn)實的，人們通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量與數(shù)量關系、圖形與圖形關系的抽象，得到數(shù)學的基本概念。這種基于現(xiàn)實的抽象，是從感性具體上升到理性認識的思維過程。（2）第二階段的抽象是基于邏輯的，人們通過這一階段的抽象，合理解釋通過第一階段抽象得到的數(shù)學概念以及概念之間的關系。第二階段的抽象的特點是符號化、形式化和公理化，這是從理性具體上升到理性一般的思維過程。通過抽象，人們把現(xiàn)實世界中與數(shù)學有關的東西抽象到數(shù)學內部，形成數(shù)學的研究對象［2］。如《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《標準（2022年版）》）指出，抽象能力主要是指通過對現(xiàn)實世界中數(shù)量關系與空間形式的抽象，得到數(shù)學的研究對象，形成數(shù)學概念、性質、法則和方法的能力。對于抽象能力的培養(yǎng)，《標準（2022年版）》要求學生能夠從實際情境或跨學科的問題中抽象出核心變量、變量的規(guī)律及變量之間的關系，并能夠用數(shù)學符號予以表達；能夠從具體的問題解決過程中概括出一般結論，形成數(shù)學的方法與策略。

皮亞杰將認知發(fā)展分為了四個階段，分別是感知運算階段、前運算階段、具體運算階段和形式運算階段。其中，形式運算階段兒童的年齡為11—15歲，或更大一些，即處于初中學段的學生。形式運算階段的兒童可以從具體問題中解放出來，能夠進行內省，思考自己的思想和情感，用整合的方式應用理論去解決許多問題，并逐漸掌握了作為思維工具的邏輯，從邏輯地解決具體問題向著邏輯地解決各類問題發(fā)展。這為抽象能力發(fā)展奠定了基礎。

初中階段的抽象能力，一方面是小學階段數(shù)感、量感、符號意識的進一步發(fā)展，另一方面要逐漸進階為高中階段更為嚴謹、形式化的數(shù)學抽象。因此，初中階段抽象能力的培養(yǎng)不僅是數(shù)學學習的需要，還有助于學生在日常生活和實踐中養(yǎng)成一般性思考問題的習慣，把握事物的本質，發(fā)展理性精神。

史寧中教授根據(jù)抽象程度的不同，將數(shù)學概念的抽象過程分為簡約階段、符號階段和普適階段［3］。在初中數(shù)學教材中，抽象能力主要體現(xiàn)在“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”兩大領域，具體分析框架見表1。

三、對真實情境的認識

建構主義認為，學生學習的過程，始終與知識賴以產生意義的背景及環(huán)境相關聯(lián)。從數(shù)學學習的認知本質看，學生學習知識的過程本身是一個建構的過程，無論是知識的理解還是運用，都離不開知識產生的環(huán)境和適用的范圍，即數(shù)學學習具有情境性。恰當?shù)卦O計情境問題，將有助學生學會“何時”“何地”“為什么”使用學過的知識。

凱恩（Caine）提出了“分類記憶”和“位置記憶”［4］的兩個系統(tǒng)。傳統(tǒng)教學習慣于“分類記憶”，即脫離情境把知識分門別類地存儲在記憶中，而真實情境倡導“位置記憶”，即把知識放在具體情境中。凱恩用“導航儀”和“地圖”比喻兩者。借助導航儀到達城市的一個地方，雖然不走彎路，效率高，但不會留下對城市長久深刻的記憶，下一次仍然不知怎么到達。借助地圖就不同，為了到達目的地，會摸索、嘗試各種路線，這種嘗試和摸索的過程會留下長效記憶，從此，使用者熟悉了這個城市，可以靈活地變換各種路線到達目的地?？梢?，真實情境是實施探究性學習的堅實土壤。

《標準（2022年版）》強調通過創(chuàng)設真實情境和合理設計探究問題來促進數(shù)學教學活動的開展，提倡開展素養(yǎng)導向的數(shù)學教學活動，體現(xiàn)數(shù)學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言。真實情境在數(shù)學教學中的作用主要有以下五個方面：激發(fā)興趣，促進學生參與數(shù)學學習；揭示知識的產生背景，促進學生對數(shù)學的理解；引導學生探尋問題解決的策略；提供運用數(shù)學的機會，培養(yǎng)學生解決問題的能力；讓學生感受數(shù)學學習的意義。

四、基于真實情境的抽象能力培養(yǎng)路徑探析

《標準（2022年版）》要求教師注重發(fā)揮情境設計與問題提出對學生主動參與教學活動的促進作用。在基于真實情境的教學的實施過程中，教師要關注以下幾個要素：（1）情境。情境是指真實問題的背景，是以問題或任務為中心構成的活動場域。教師要多留心生活，關注時事，常態(tài)化收集問題情境的素材和資料。在創(chuàng)設真實情境時，選取貼近學生生活經驗的情境素材，深入挖掘其中的人文價值與育人價值，注重選取中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的數(shù)學文化素材，以增強學生的文化自信和民族自豪感，發(fā)揮真實情境素材的育人功能。（2）問題。即學生需要完成的任務，包括完成什么樣的任務以及完成任務的要求。教師要反復打磨情境與問題，增強情境與任務的關聯(lián)度，讓情境與問題融合為相互依存的有機整體。此外，還要處理好情境與問題的復雜程度，控制好知識在情境中的潛隱程度，不能過于淺顯或直接能找到答案，要設計好學生自主探究的思維空間。（3）事件。即具體事件情境，包括時間、地點和任務等。（4）意圖。即問題情境設計要具有鮮明的針對性和目的性?；谡鎸嵡榫车膶W習是讓學生面對文字、表格、圖片等非連續(xù)性文本，通過閱讀、解釋、推斷、預測、設計等學習行為，發(fā)展高階思維，實現(xiàn)深度學習。教師要明確真實情境教學的目的，并在教學過程中有針對性地加以實踐，喚起學生的積極情感體驗，激發(fā)學生的學習動機。

數(shù)學中的抽象是一種逐級抽象過程，可以在不同層面上進行抽象［5］，因此教學中教師應重視抽象能力發(fā)展的階段性，幫助學生經歷“分離屬性與建構模型—概括與一般化—定義與符號化—系統(tǒng)化”等步驟，循序漸進地培養(yǎng)抽象能力。

基于此，本文以七年級數(shù)學“數(shù)軸”概念的教學研究課為例，主要教學階段如圖1所示。

五、基于真實情境的抽象能力培養(yǎng)的實踐

（一）學情分析與情境選取

七年級學生的思維正處于從以具體形象思維成分為主向以抽象邏輯思維成分為主進階的轉折期，因此，教學中學習內容的呈現(xiàn)要注意具體性、形象性，同時還要有適當?shù)某橄?、概括要求，從而既適應學生的能力發(fā)展水平，又能促進學生的思維向更高階段發(fā)展?！皵?shù)軸”是有理數(shù)內容中的一個重要概念，是七年級學生第一次學習數(shù)形結合思想的內容。教材借助馬路上的物體與汽車站牌的相對位置關系的生活情境，讓學生畫圖描述位置，逐步過渡到“用數(shù)表示直線上的點”和“用數(shù)軸上的點表示數(shù)”。在理解教材的基礎上，筆者將教材中數(shù)軸的引入情境結合學生熟悉的生活情境，進行了教學資源的再開發(fā)。

北京是著名的歷史文化名城，明清時期，北京城的中軸線南起永定門，北至鐘樓，直線距離約7.8千米。2022年國家文物局確定推薦“北京中軸線”作為我國2024年世界文化遺產申報項目（以下簡稱“申遺”）。中軸線的申遺喚起了大家對傳統(tǒng)文化的重視和對文物保護的自覺，這一真實情境具有深厚的人文價值與育人價值。同時，中軸線對于數(shù)軸的抽象和建立是一個較為合適的真實情境，因此筆者選取了貼近學生生活的北京中軸線申遺情境，引導學生以中軸線上的一些核心遺產點為背景逐步抽象、建立數(shù)軸。

（二）教學實踐

環(huán)節(jié)一? 創(chuàng)設情境，激活抽象思維

活動1 學生先觀看北京中軸線申遺的宣傳短片，接著根據(jù)教師提供的文本材料，學生分小組合作嘗試畫出文中中軸線上6處核心遺產點位置的示意圖。

【設計意圖】創(chuàng)設學生熟悉的實際問題情境——北京中軸線，在學生的最近發(fā)展區(qū)提出開放式的探究問題——畫示意圖描述核心遺產點的位置，完成對問題情境的第一次抽象，為后續(xù)的再次抽象打下基礎。此活動能發(fā)展學生的信息加工、抽象能力等素養(yǎng)，發(fā)揮情境素材的育人功能。

活動2 小組展示所畫的示意圖，相互交流評價。

【師生活動】教師引導學生分析各小組示意圖的相同點和不同點。比如：都用線段表示了中軸線，用線段上的點表示了6處核心遺產點；都用箭頭標注了“北”的方向，不同的是有的小組標注的是向上為北，畫出的是豎直的線段，有的小組標注的是向右為北，畫出的是水平的線段；等等。

【設計意圖】交流欣賞小組作品，分析作品中蘊含的數(shù)學知識，歸納概括共性，初步體會數(shù)軸的要素及抽象的過程和意義。

在本環(huán)節(jié)中，以數(shù)軸的“三要素”為定向，學生用直線、點、方向、距離、比例尺等幾何符號表示實際問題。學生通過抽象刻畫事物相對位置的要素——方向和距離，完成了對實際問題的第一次抽象，即抽象能力的簡約階段，感受到數(shù)學是認識、理解、表達真實世界的工具、方法和語言，體會到數(shù)學抽象的作用和意義。此外，當看到宣傳片中倡導“為北京中軸線申遺助力”時，學生們很激動，喚起了他們的民族自豪感和文化自信。

環(huán)節(jié)二 問題驅動，引領抽象思維升級

問題1 大家在圖中標注了核心遺產點之間的距離，可否用一個統(tǒng)一的參照距離，使得這些核心遺產點之間的相對位置關系更明確、清晰？

問題2 “南”與“北”具有相反意義，結合前面學習的正數(shù)與負數(shù)可以表示兩種具有相反意義的量的知識，你認為怎樣用數(shù)簡明地表示這些核心遺產點的相對位置關系？

【學生活動】學生們嘗試作圖。其中，一名學生所作如圖2所示。

追問1 0代表什么？

追問2 數(shù)的符號的實際意義是什么？

追問3 -2.7表示位于景山向南2.7千米的正陽門，你還能說出圖中其他數(shù)所表示的相對位置關系嗎？

【師生活動】教師展示生活中常見的溫度計，引導學生觀察溫度計的示數(shù)結構，感受溫度計呈現(xiàn)的數(shù)軸要素。

問題3 你能概括這兩個例子的共同點嗎？

【設計意圖】在第一次抽象的基礎上，聚焦圖形，繼續(xù)以數(shù)軸的“三要素”為定向，基于對具有相反意義的量的理解，抽象出用數(shù)（符號和絕對值）刻畫事物的位置，引導學生用數(shù)來表示點，實現(xiàn)第二次抽象。將學生所畫示意圖的例子與溫度計進行比較，概括它們的共同點，進一步明確數(shù)軸“三要素”，為第三次抽象得出數(shù)軸的概念打下基礎。

在本環(huán)節(jié)中，學生首先在二次抽象的過程中，較自然地接受引入數(shù)軸作為工具表示位置問題的合理性，感受用數(shù)刻畫位置的必要性，從而進一步體會數(shù)軸“三要素”的必要性和合理性，并經歷“用數(shù)表示直線上的點”和“用數(shù)軸上的點表示數(shù)”的過程。接著，學生對簡約階段識別出的要素進行分析，通過觀察、比較，發(fā)現(xiàn)用數(shù)軸描述位置的關鍵要素——基準點、方向、單位長度、距離。最后，結合用正數(shù)和負數(shù)表示相反意義的量的經驗，概括出數(shù)軸的“三要素”——原點、正方向和單位長度，確定構成數(shù)軸概念的關鍵要素，建立要素之間的邏輯關系，初步體會數(shù)形結合的思想，完成抽象能力的符號階段。

環(huán)節(jié)三 明晰概念，加深理解，提升抽象能力

教師引導學生歸納、抽象出數(shù)軸的概念，明確數(shù)軸的“三要素”，并講解數(shù)軸的畫法和用數(shù)軸上的點表示數(shù)的方法，然后提出以下問題：

問題1 如果將圖2中的太和殿作為原點，正方向和單位長度不變，那么圖2中什么不變？什么會改變？如果以鐘樓為原點呢？

問題2 如果圖2中的原點和正方向不變，單位長度發(fā)生變化，圖2會變成什么樣呢？

問題3 如果圖2中的原點和單位長度不變，將正方向變?yōu)榕c原來相反，圖2會變成什么樣呢？

【設計意圖】結合實際情境，以問題串的形式，幫助學生加深對數(shù)軸“三要素”在刻畫事物相對位置中的作用的理解，以及對數(shù)軸概念中“規(guī)定”和“適當”等的理解。再次讓學生經歷用數(shù)表示數(shù)軸上的點，深入體會數(shù)形結合的思想。

在本環(huán)節(jié)，學生對數(shù)軸的“三要素”進行多角度的深入理解，教師通過問題串加深學生對數(shù)軸“三要素”的理解和對數(shù)軸的運用，幫助學生將概念精致化。此外，還需要通過認識數(shù)軸概念的作用和意義的教學，逐步引導學生將新概念納入已有知識體系中，完成抽象能力的普適階段。

六、結語

綜上所述，基于真實情境的數(shù)學教學，需要教師貼近學生生活經驗和年齡特點選取情境素材，讓學生接觸社會、經濟、文化等多領域的真實情境，感受數(shù)學在現(xiàn)實世界中的廣泛應用，體會數(shù)學的價值；要深入挖掘數(shù)學的人文價值與育人價值，增強文化自信和民族自豪感；要在真實情境中提出能引發(fā)學生思考的數(shù)學問題，引導學生將實際問題轉化為數(shù)學問題，得到數(shù)學概念并合理解釋概念與概念之間關系，不斷經歷符號化、形式化和公理化，完成從理性具體上升到理性一般的思維過程。教師要緊扣抽象能力培養(yǎng)的三個階段，循序漸進地推進從真實到抽象的過程，才能在教學中有的放矢。

參考文獻：

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［4］劉徽. 大概念教學：素養(yǎng)導向的單元整體設計［M］.北京：教育科學出版社，2022：24-25.

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（責任編輯：潘安）