一道新高考解析幾何題的多解探究

于悅

摘要：解析幾何是高中數(shù)學(xué)最重要的部分之一，長期以來都是高考的重點和難點.在全國廣泛推行新課標(biāo)與新教材的背景下，新高考越來越重視對學(xué)科核心素養(yǎng)的考查.而解析幾何部分涉及多種學(xué)科核心素養(yǎng)的特點也使其在高考中的地位愈發(fā)重要.解析幾何的難點在于運算，而新高考的解析幾何題目似乎已不再單純是聯(lián)立方程和韋達(dá)定理的固定模式那樣簡單，而是從根本上要求考生提高數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).新課標(biāo)將數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)總結(jié)為四大主要特征，即理解運算對象、掌握運算法則、探究運算思路、求得運算結(jié)果.那么將這些落實到解析幾何的具體運算中就成為了關(guān)鍵所在.文章通過對2022年新高考Ⅰ卷第21題的簡要分析，為學(xué)生提供解析幾何的運算方法和思路，同時提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；解析幾何；一題多解；核心素養(yǎng)

1題目呈現(xiàn)

已知點A（2，1）在雙曲線x2a2－y2a2－1=1（a>1）上，直線l交C于P，Q兩點，直線AP，AQ的斜率之和為0．求l的斜率.

這是2022年新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)第21題的第一問，本文中只就該問中直線的斜率進行一題多解，以此來探究數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)在解析幾何相關(guān)運算中的具體落實.

2題目解析

2.1設(shè)線解點法

本題的核心目標(biāo)是計算直線的斜率，這就是運算對象，那么在理解運算對象上，又通常表現(xiàn)為以下三種形式，它們帶來了不同的運算結(jié)果.

理解之一：根據(jù)斜率的坐標(biāo)形式，只需解出兩點的坐標(biāo)，即可求出斜率.這是解析幾何中最樸素也最直接的理解.所以接下來就開始進入到運算規(guī)則，解出相關(guān)坐標(biāo).而在求解坐標(biāo)時，由題型的特點又可以產(chǎn)生不同的運算思路.

運算思路一：利用直線與曲線方程聯(lián)立求解點的坐標(biāo).題干通常都會出現(xiàn)“一定兩動”的斜率關(guān)系，分別通過一定點和兩個動點連線所構(gòu)成的兩條直線聯(lián)立曲線方程解出動點坐標(biāo).對于本題，如果能夠理解運算對象，發(fā)現(xiàn)直線地位的同等關(guān)系，就可在解出一個動點的坐標(biāo)后同理得出另一個動點的坐標(biāo)，這樣可相對減少運算量.如若不能，則需要解兩次方程組，進而解出各點的坐標(biāo).可以看到，對運算對象的理解不同，運算的代價自然也不同.根據(jù)以上分析可以給出解法1.

解法1：設(shè)直線AP的方程為y=k（x－2）+1，與雙曲線的方程x22－y2=1聯(lián)立，消去y，得

（1－2k2）x2+4k（2k－1）x－8k2+8k－4=0.

由韋達(dá)定理，可得xAxP=－8k2+8k－41－2k2.

所以xP=4k2－4k+22k2－1，從而可得

yP=k（xP－2）+1=2k2－4k+11－2k2.

因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以直線AQ的方程為y=－k（x－2）+1，

同理可得

xQ=4k2+4k+22k2－1，yQ=2k2+4k+11－2k2.

所以，直線l的斜率為

yQ－yPxQ－xP=2k2+4k+11－2k2－2k2－4k+11－2k24k2+4k+22k2－1－4k2－4k+22k2－1=－1.

2.2設(shè)點法

運算思路二：在求解兩點的坐標(biāo)時，既然最后是坐標(biāo)的比值關(guān)系，那就意味著只需找到兩點坐標(biāo)之間的關(guān)系即可.能想到這一步，就需要利用設(shè)點法了.當(dāng)然，這一步技巧性較強，沒有系統(tǒng)的訓(xùn)練和觀察力，很難在考場上有限的時間內(nèi)完成，這也是數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)較高水平的體現(xiàn).

解法2：設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），由點P，Q，A都在雙曲線C上，得

x212－y21=1，x222－y22=1，222－12=1.

結(jié)合斜率公式，將上面的式子變形，可得

kPA=y1－1x1－2=x1+22（y1+1），kQA=y2－1x2－2=x2+22（y2+1）.

又直線AP，AQ的斜率之和為0，所以kPA=－kQA.

所以，由y1－1x1－2=－x2+22（y2+1），可得

2（y1y2+y1－y2－1）=－（x1x2+2x1－2x2－4）.①

由y2－1x2－2=－x1+22（y1+1），可得

2（y1y2+y2－y1－1）=－（x1x2+2x2－2x1－4）.②

①-②，得y1－y2=x2－x1.

所以kPQ=y1－y2x1－x2=－1，即l的斜率為－1.

上面兩種方法是對運算對象的理解之一，理解之二就是把握住AP，AQ，PQ三條直線之間的關(guān)系.既然AP，AQ兩直線的斜率和為0，我們就用PQ的斜率來表示AP，AQ，最后用斜率和為0解出直線PQ的斜率.這種理解直接體現(xiàn)在直線的關(guān)系上，直接操作就是設(shè)而不求，類似于常用的“點差法”.當(dāng)然，此處亦可探究出其他不同的運算思路.

2.3經(jīng)典韋達(dá)定理法

運算思路三：設(shè)而不求.斜率型題目中的一大類就是斜率的和或積的構(gòu)造，其主要特征就是“一定點加兩動點”.聯(lián)立方程后，根據(jù)題意寫出斜率和或積的表達(dá)式，化簡后若發(fā)現(xiàn)已經(jīng)湊出韋達(dá)定理的形式，此時無需再解出點的具體坐標(biāo)，可直接代入韋達(dá)定理求解[1].

解法3：易得雙曲線方程為x22－y2=1.

由題意可知直線l的斜率存在，設(shè)l的方程為y=kx+m，聯(lián)立雙曲線方程可得（2k2－1）x2+4kmx+2m2+2=0，則Δ=16m2k2-4（2m2+2）（2k2-1）＞0，即m2+1-2k2＞0.

設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則

x1+x2=4km1－2k2，x1x2=2m2+22k2－1.

于是kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=kx1+m－1x1－2+kx2+m－1x2－2=0.

化簡，得

2kx1x2+（m－1－2k）（x1+x2）－4（m－1）=0.

所以2k2m2+22k2－1+（m－1－2k）4km1－2k2－4（m－1）=0，

即（k+1）（m+2k－1）=0.

當(dāng)m+2k－1=0時，直線l：為y=k（x－2）+1過點A，不合題意，舍去.

故k=－1.

2.4割線同構(gòu)法

運算思路四：圓錐曲線中，同構(gòu)特征的出現(xiàn)一定是圖形中兩要素的地位等價，比如同一定點引出的兩條直線分別與圓錐曲線相交，那么這兩條割線的地位就是等價的，自然，它們與圓錐曲線的方程聯(lián)立后，就會呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)，即“同構(gòu)”特征，這樣的同構(gòu)方程可能是關(guān)于直線的某個關(guān)鍵參數(shù)的同解方程.而這往往是我們簡化運算，同時也是解決一些問題的抓手.當(dāng)然，需要注意的是，這兩個點的地位一致性，會導(dǎo)致同構(gòu)算法的出現(xiàn)以及我們常用的術(shù)語“同理可得”.

具體到該題目，直線方程與曲線方程聯(lián)立之后的結(jié)果是一個一元二次方程，既然如此，為何不能讓AP，AQ的斜率分別作為這兩個方程的根，然后再利用韋達(dá)定理求PQ的斜率呢？這樣的思考進一步體現(xiàn)了對運算對象深層次的了解，體現(xiàn)了較好的運算思維.

解法4：設(shè)過點A的直線方程為y=k（x－2）+1，直線l的方程為y=k0x+m，

聯(lián)立解得

xP=m+2k－1k－k0，yP=2kk0－k0+mkk－k0，

代入雙曲線方程x22－y2=1中，得

k2+4k+=0.

這是關(guān)于k的一元二次方程，方程的兩根k1，k2分別為直線AP，AQ的斜率.

因為直線AP，AQ的斜率之和為0，即k1+k2=0，所以由韋達(dá)定理得（m－1）+k0（2k0+m）+k0=0，整理可得（k0+1）（m+2k0－1）=0.因為直線l不過點A，所以m+2k0≠1，從而k0=－1，即l的斜率為－1.

點評：直線AP，AQ的等價地位就意味著點P，Q等價，則點P，Q的坐標(biāo)一定是曲線方程的同構(gòu)解，此時用PQ的參數(shù)來表示點P，Q的坐標(biāo)，再利用同構(gòu)解來求得PQ的斜率，這就是求解整個問題的基本思路.

2.5齊次化法

理解之三：斜率問題最簡單的形式當(dāng)然是直線過原點，所以可采用齊次化的方法，平移坐標(biāo)系來構(gòu)造斜率，降低運算難度.

基本原理：Ayx2+B5yx+C=0中，y的幾何意義是直線與曲線的交點（x，y）與原點連線的斜率，即OP，OQ的斜率，設(shè)為k1，k2，由韋達(dá)定理知k1+k2=－BA，k1k2=CA，從而能通過最初的二次曲線和直線相交，得出OP，OQ的性質(zhì).反之，也可以通過OP，OQ的性質(zhì)與二次曲線得出AB的性質(zhì)．

若定點在不在坐標(biāo)原點，則需要先平移，設(shè)平移后的直線為mx+ny=1（這樣齊次化更加方便，相當(dāng)于“1”的妙用），與平移后的圓錐曲線方程聯(lián)立，構(gòu)造Ayx2+Byx+C=0，然后可以直接利用韋達(dá)定理得出斜率之和或者斜率之積，由k1+k2=－BA，k1k2=CA即可得出答案.

具體操作步驟如下：

第一步，將過點（m，n）的

圓錐曲線方程（以雙曲線x2a2-y2b2=1為例）變形為

2a2－2b2=1（a>0，b>0）.

第二步，設(shè)出過點（m，n）的直線方程p（x-m）+q（y-n）=1.

第三步，聯(lián)立方程組

2a2－2b2=1，

p（x-m）+q（y-n）=1.

湊出滿足題干的斜率形式即可.據(jù)此給出解法5.

解法5：雙曲線方程為x22－y2=1.設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2）.因為直線AP，AQ的斜率之和為0，所以kAP+kAQ=y1－1x1－2+y2－1x2－2=0，于是將雙曲線方程x22－y2=1變形為

（x－2+2）22－（y－1+1）2=1，[JY]③

且設(shè)直線l為m（x－2）+n（y－1）=1.

由③式，有

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］=0.

將上式齊次化，可得

（x－2）2－2（y－1）2+4［（x－2）－（y－1）］5［m（x－2）+n（y－1）］=0.

上式展開并在等式兩邊同除以（x－2）2，整理可得

（4n+2）y-1x-22

+（4m－4n）y-1x-2－（4m+1）=0，

即（4n+2）k2+（4m－4n）k－（4m+1）=0，其中k1，k2為該方程的兩根.

所以k1+k2=4n－4m4n+2=0，可得m=n.

故直線l斜率為－1.

2.6二次曲線系法

理解之四：高等觀點與二次曲線系.這當(dāng)然是具有較高知識水平的體現(xiàn)，站在更高的視角來解題會更加簡便，但這對理解能力的要求甚高.

二次曲線系法是優(yōu)化解析幾何運算的一種重要方法，它本質(zhì)上是對圓錐曲線的一種更深層的認(rèn)識.在一些問題中，通過曲線系方法直擊本質(zhì)，往往會使問題變得簡單明了.

基本原理：給定五個點，其中任何三個點都不共線，則過這五個點有且僅有一條圓錐曲線.由此進一步可得，由l1，l2組成的曲線為（a1x+b1y+c1）5（a2x+b2y+c2）=0.據(jù)此給出解法6.

解法6：雙曲線在點A處的切線方程為x－y－1=0，設(shè)直線AP的方程為y－1=k1（x－2），AQ的方程為y－1=k2（x－2），PQ的方程為y=kx+m，則過這四條直線交點的曲線方程為（kx－y－m）（x－y－1）+λ［k1（x－2）－y+1］［k2（x－2）－y+1］=0.

又因為雙曲線過這些交點，比較xy的系數(shù)，得－k－1+λ（－k1－k2）=0.

又k1+k2=0，所以k=－1.

3解題反思

上文中展示了該題目的6種解法，并且都體現(xiàn)了對運算對象和運算規(guī)則較為精準(zhǔn)的把握.但在考試時間如此緊張的情況下，又快又準(zhǔn)的解題卻是關(guān)鍵.在教學(xué)中，要以學(xué)生發(fā)展為本，立德樹人，提升素質(zhì)，實現(xiàn)人人都能獲得良好的數(shù)學(xué)教育，不同的學(xué)生在數(shù)學(xué)上得到不同的發(fā)展.不同學(xué)生可以選擇不同的解題方法，解法1和解法3為通法，是多數(shù)學(xué)生的選擇，這樣的解法套路感強，平時練習(xí)得最多也最熟悉，但是過多地沉迷于這些方法會讓我們對解析幾何的理解就定位在“簡單粗暴的運算”[2].筆者認(rèn)為，如果時間允許，探尋思考解法2和解法4也是不錯的選擇.至于解法5和解法6就是所謂的“高端技巧”，但是筆者認(rèn)為這兩種解法還是有風(fēng)險的，因為它們的技巧性很強，可能對很多學(xué)生而言都很難想清楚其實質(zhì).

因此，在教學(xué)中，教師要做到理解學(xué)生，了解他們的需求，從而能夠根據(jù)不同基礎(chǔ)的學(xué)生提供不同的指導(dǎo)方案.當(dāng)然，對于一道優(yōu)質(zhì)題目，教師可以把它作為一個資源進行再開發(fā)，由易到難設(shè)計啟發(fā)性問題，引導(dǎo)學(xué)生主動探究，分析出合理的轉(zhuǎn)化方向，進而找出多種解決問題的途徑.這樣既可以鞏固知識，又可以促使學(xué)生思維向更深層次發(fā)展、向更多方向發(fā)散，同時還能切實提高學(xué)科核心素養(yǎng)，而這些往往比題海戰(zhàn)術(shù)更有效.只有這樣，才能構(gòu)建真正意義上的以學(xué)生為主體的研究型與創(chuàng)新型教學(xué)[3].

參考文獻：

[1]周日橋.芻議“設(shè)而不求”在求解圓錐曲線問題中的應(yīng)用[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（19）：52-54.

[2]錢麗談.提升數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)的解析幾何運算教學(xué)[J].理科考試研究，2023，30（9）：2-5.

[3]章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：11-12.