聚焦數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美 挖掘文化育人價(jià)值

龍明旺 王莉 閆華 王曉琴

目前高中各門學(xué)科中，數(shù)學(xué)已經(jīng)成為高中最難學(xué)的學(xué)科之一，尤其對(duì)于思維偏文的學(xué)生.筆者從事高中數(shù)學(xué)教學(xué)已有十余年，發(fā)現(xiàn)眾多的數(shù)學(xué)課堂，總有部分學(xué)生提不起對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，或者感覺(jué)數(shù)學(xué)枯燥乏味.于是，筆者提出，數(shù)學(xué)課堂能否也有歡聲笑語(yǔ)？能否讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)變得輕松簡(jiǎn)單，更具有可操作性？這需要改變我們的思維方式和教學(xué)方式，讓難的數(shù)學(xué)問(wèn)題通過(guò)分解，變成簡(jiǎn)單的問(wèn)題，做到復(fù)雜問(wèn)題簡(jiǎn)單化；而簡(jiǎn)單的問(wèn)題需要講得接地氣、貼近生活，讓理解數(shù)學(xué)有困難的學(xué)生也能輕松掌握，做到簡(jiǎn)單問(wèn)題通俗化.

數(shù)學(xué)不是枯燥乏味的，數(shù)學(xué)有代數(shù)結(jié)構(gòu)之美，也有幾何背景之美.在課堂教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)美，寓美育德育于教學(xué)之中，學(xué)生在享受數(shù)學(xué)美味的同時(shí)，也很可能愛(ài)上數(shù)學(xué).課堂教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生適時(shí)發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，這樣，教師越教越樂(lè)教，學(xué)生越學(xué)越樂(lè)學(xué).寓教于樂(lè)，寓學(xué)于樂(lè)，其樂(lè)無(wú)窮.

基于此，本文中將引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)、欣賞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之美，挖掘數(shù)學(xué)文化價(jià)值，發(fā)揮數(shù)學(xué)的育人價(jià)值，以饗讀者.

1 基本不等式的結(jié)構(gòu)“協(xié)調(diào)之美”

由a2+b2≥2ab，可得變式“當(dāng)a>0時(shí)，有?b2?a?≥2b－a”，這是一個(gè)有用的不等式.該不等式中，左邊的分式不小于右邊的整式，這樣可將分式運(yùn)算化簡(jiǎn)為整式的運(yùn)算.那么，如何記住這個(gè)結(jié)論呢？學(xué)生發(fā)現(xiàn)了它的結(jié)構(gòu)之美：左邊代數(shù)式從上到下依次為“2，b，分?jǐn)?shù)線—，a”，而右邊的代數(shù)式從左往右寫(xiě)，依次為“2，b，減號(hào)—，a”，結(jié)構(gòu)居然完全協(xié)調(diào)一致，非常漂亮.數(shù)學(xué)之美在此得到了很好的體現(xiàn).

理解了基本不等式的結(jié)構(gòu)之美，下面來(lái)看一道題：

題1?若實(shí)數(shù)x，y滿足x2+y2+xy=1，則x+y的最大值是＿＿＿＿.

分析：欲求x+y的最大值，說(shuō)明x+y這個(gè)整體需要保留下來(lái)，不妨設(shè)x+y=t，且要建立關(guān)于t的不等式.中華文化講究取其精華，棄其糟粕.借用可得，x+y=t是精華，需要保留，并且要把精華“萃取”出來(lái)，于是構(gòu)造x+y的代數(shù)式也就變得直接.所以就有這樣的外在形式，即代數(shù)變形，得1=（x+y）2－xy.接下來(lái)，部分學(xué)生利用均值不等式，可能不等式方向會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.為了讓思維更直接，可將精華和常數(shù)移到等式一邊，糟粕xy移到等式另一邊，實(shí)現(xiàn)精華與糟粕分離，即變形為t2－1=（x+y）2－1=xy.后面如何處理糟粕，能否變“廢”為“寶”，實(shí)現(xiàn)廢品回收利用？學(xué)生就容易想到，利用均值不等式的變式xy≤?（x+y）2?4?，化糟粕為精華，實(shí)現(xiàn)解題的目標(biāo).回顧整個(gè)教學(xué)過(guò)程，借助“取其精華，棄其糟粕”這條思想主線，關(guān)于均值不等式習(xí)題的解題思路變得更加直接，學(xué)生的理解和掌握也變得更加容易.

2 圓錐曲線切線的結(jié)構(gòu)“統(tǒng)一之美”

先看下面兩個(gè)結(jié)論：

結(jié)論1?設(shè)P（x0，y0）是曲線C：x2+y2=r2或?x2?a2?+?y2?b2?=1或?x2?a2?－?y2?b2?=1或y2=2px上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線方程為x0x+y0y=r2或?x0x?a2?+?y0y?b2?=1或?x0x?a2?－?y0y?b2?=1或y2=p（x0+x）.

結(jié)論2?設(shè)P（x0，y0）是曲線C：x2+y2=r2或?x2?a2?+?y2?b2?=1或?x2?a2?－?y2?b2?=1或y2=2px外任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直AB的線方程為x0x+y0y=r2或?x0x?a2?+?y0y?b2?=1或?x0x?a2?－?y0y?b2?=1或y2=p（x0+x）.

注意到結(jié)論中兩個(gè)x只有兩種關(guān)系：x2=x·x，2x=x+x，即積與和的關(guān)系.若兩個(gè)x是乘積關(guān)系，可視為兩個(gè)x相距非常近，非常親近，是一對(duì)戀人關(guān)系；若兩個(gè)x是和的關(guān)系，兩個(gè)x之間有加號(hào)，有一定的距離，是普通的同學(xué)關(guān)系；其中一個(gè)x參加某項(xiàng)大型賽事（如運(yùn)動(dòng)會(huì)、學(xué)科競(jìng)賽等）獲得金牌（x右下角圓圈），回到學(xué)校與另一個(gè)x繼續(xù)原來(lái)的關(guān)系，戀人繼續(xù)戀人關(guān)系，同學(xué)關(guān)系繼續(xù)同學(xué)關(guān)系，這也說(shuō)明愛(ài)情和友情不會(huì)隨著時(shí)間的流逝而改變，所以同學(xué)間的純真感情值得好好珍惜.這兩個(gè)結(jié)論從數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上表達(dá)了同學(xué)間相處的真善美，傳遞了正能量，也凸顯了數(shù)學(xué)的德育價(jià)值.

筆者在課堂實(shí)踐中，教授學(xué)生利用上述方式記憶這兩個(gè)結(jié)論，獲得學(xué)生雷鳴般的掌聲，同時(shí)，學(xué)生課堂上就記住了這兩個(gè)有用的結(jié)論.高中數(shù)學(xué)表述方式形式化、符號(hào)化，很多結(jié)構(gòu)都非常漂亮，有待大家去發(fā)現(xiàn).

3 指數(shù)比較大小的“求同存異之美”

題2?已知a=??3?5??－?1?3?，b=??3?5??－?1?4?，c=??2?3??－?1?4?，則a，b，c的大小關(guān)系是（??）.

A.c

B.a

C.b

D.c

中國(guó)人民愛(ài)好和平，外交上求同存異，愿同各國(guó)發(fā)展友好合作關(guān)系.其實(shí)在數(shù)學(xué)中，比較大小也是一種“求同存異”思維.先比較有共性的兩個(gè)數(shù)，如a，b底數(shù)相同，實(shí)現(xiàn)求同，相同則為常數(shù)；指數(shù)不同，即存異，為變量x.這樣，利用指數(shù)函數(shù)y=??3?5??x來(lái)比較大小就顯得非常自然.而b，c的指數(shù)同，底數(shù)異，因此研究y=x－?1?4?也變得順理成章.又比如在代數(shù)式變形當(dāng)中，哪幾項(xiàng)放在一起，也是“求同存異”，有共性的幾項(xiàng)或結(jié)構(gòu)相似的幾項(xiàng)放在一起，或提公因式或合并等，便于化簡(jiǎn)，利于問(wèn)題的解決.再通俗一點(diǎn)的理解：“酒逢知己千杯少，話不投機(jī)半句多.”有共同語(yǔ)言的代數(shù)式走在一起，產(chǎn)生數(shù)學(xué)反應(yīng)，問(wèn)題也就能得到解決.

在數(shù)學(xué)解題中，很多人認(rèn)為解題要玩不少技巧，對(duì)于技巧，學(xué)生就會(huì)想，老師你怎么這么聰明，我怎么就想不到.結(jié)果就是除了對(duì)老師的崇拜外，對(duì)自己的能力有所懷疑，甚至可能還有幾分失落.如果只是教技巧，學(xué)生簡(jiǎn)單模仿，那么面對(duì)新的陌生問(wèn)題時(shí)，學(xué)生可能就會(huì)束手無(wú)策，找不到解題的方向.其實(shí)，技巧只是解題教學(xué)的外在形式，更重要的是內(nèi)涵，是思想，是如何想到的.

4 單調(diào)性、奇偶性的結(jié)構(gòu)“同構(gòu)之美”

題3?（2022年廈門調(diào)考）函數(shù)f（x）對(duì)任意的a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b）－1，且當(dāng)x>0時(shí)，f（x）>1.求證：f（x）是R上的增函數(shù).

分析：欲證抽象函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，只能用定義來(lái)證明.聯(lián)想單調(diào)遞增函數(shù)的定義表述方式，先設(shè)x1>x2，然后比較f（x1）和f（x2）的大小.可作差或作商比較.本題條件中沒(méi)有乘積或商的結(jié)構(gòu)，所以考慮作差比較.接下來(lái)就是難點(diǎn)，很多學(xué)生不知道如何應(yīng)用條件.注意到數(shù)學(xué)是一門符號(hào)語(yǔ)言，要處理f（x1）－f（x2），就要構(gòu)造出類似的作差結(jié)構(gòu)，但條件中是和式的結(jié)構(gòu)，因?yàn)楹团c差是對(duì)偶運(yùn)算，所以可引導(dǎo)學(xué)生將和式轉(zhuǎn)化為差式，只需移項(xiàng)，變?yōu)閒（a+b）－f（a）=f（b）－1，然后兩式對(duì)照處理，令a+b=x1，a=x2，則b=x1－x2>0，f（x1－x2）>1.當(dāng)然，有學(xué)生設(shè)x10時(shí)，f（x）>1”，則需構(gòu)造出大于零的代數(shù)式，只需改為作差f（x2）－f（x1），再賦值a+b=x2，a=x1，則b=x2－x1>0，f（x2－x1）>1.本題最難的地方是移項(xiàng)同構(gòu)，再賦值.這是從代數(shù)結(jié)構(gòu)上的教學(xué)，是數(shù)學(xué)維度上的理解.但是，思維偏文的學(xué)生還是覺(jué)得太抽象，不好理解.筆者考慮，能否再通俗一點(diǎn)？要處理代數(shù)式f（x1）－f（x2），就要讓已知條件與該代數(shù)式長(zhǎng)得一模一樣，就好比看兩個(gè)學(xué)生是不是雙胞胎，如何確認(rèn)？站在一起，先看身高，再看容貌是否大致相同.這就如同已知條件與代數(shù)式f（x1）－f（x2）“高度差不多”，所以想到將已知條件移項(xiàng)，變?yōu)椴钍降慕Y(jié)構(gòu)；“容貌相似”，就只需賦值a+b=x1，b=x2，這樣思維過(guò)程就變得非常自然，行云流水，也通俗易懂.

題4?（2019年浙江名校聯(lián)考）已知函數(shù)f（x），x∈R，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，都有f（a+b）=f（a）+f（b）.求證：f（x）為奇函數(shù).

分析：欲證f（x）為奇函數(shù)，只需證f（－x）=－f（x），即證f（－x）+f（x）=0，和式的結(jié)構(gòu)剛好與已知條件吻合.類似題3比較兩個(gè)學(xué)生是否為雙胞胎的方法，賦值也顯得很自然.即令a=－x，b=x，得到f（0）=f（－x）+f（x）.與目標(biāo)式對(duì)照，長(zhǎng)得非常像，但又不同，所以只需證f（0）=0，后面再令a=b=0，可得f（0）=0，即完成證明.

高中數(shù)學(xué)的表述符號(hào)化，這就要求學(xué)生會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)來(lái)表達(dá).面對(duì)一系列的符號(hào)，有些學(xué)生非常茫然.那么，如何教學(xué)更能貼近學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)？比如，抽象函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性對(duì)不少學(xué)生來(lái)說(shuō)是一個(gè)難點(diǎn)，那么，如何教，如何切入，能否讓所有的學(xué)生覺(jué)得簡(jiǎn)單且通俗易懂？

答案是肯定的，那就是欣賞數(shù)學(xué)的同構(gòu)之美.

綜上所述，我們?cè)诟咧袛?shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)中，可引導(dǎo)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)之美，提升學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，挖掘數(shù)學(xué)的美育和德育價(jià)值；課堂教學(xué)實(shí)踐中，適時(shí)滲透中華優(yōu)秀的傳統(tǒng)文化，讓學(xué)生數(shù)學(xué)思維變得更為直接；具體解題教學(xué)中，注重對(duì)代數(shù)結(jié)構(gòu)的觀察，教授貼近生活的理解，適時(shí)關(guān)注題目背后體現(xiàn)的自然法則，讓數(shù)學(xué)教學(xué)變得生動(dòng)有趣，讓學(xué)生的學(xué)習(xí)更具有可操作性，讓數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)在學(xué)生身上落地生根.