挖掘“數(shù)學(xué)廣角”中的數(shù)學(xué)思想方法
——以“植樹問題”為例

文| 高惠珠

一、背景

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)容要能反映現(xiàn)實(shí)需要，凸顯數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)?！皵?shù)學(xué)廣角”中涉及的數(shù)學(xué)知識(shí)，與學(xué)生前幾個(gè)單元所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容緊密相關(guān)，而其中問題解決的方法又蘊(yùn)含多重?cái)?shù)學(xué)思想。所以用好數(shù)學(xué)廣角，重視思想方法挖掘，可促進(jìn)學(xué)生知識(shí)理解與思想方法應(yīng)用融會(huì)貫通，是提高數(shù)學(xué)育人效果的重要一環(huán)。

植樹問題作為數(shù)學(xué)教材中的經(jīng)典問題，可演化為多種問題形式，其中還蘊(yùn)含了數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)建模等多元思維方法。用好數(shù)學(xué)廣角，將數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法有機(jī)結(jié)合，是培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)創(chuàng)新意識(shí)，推動(dòng)學(xué)生實(shí)踐創(chuàng)新，加強(qiáng)學(xué)以致用的重要一環(huán)?，F(xiàn)以植樹問題為例，探索“數(shù)學(xué)廣角”中蘊(yùn)含的豐富思想方法，激發(fā)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的緊密關(guān)聯(lián)性。

二、目標(biāo)分析

“數(shù)學(xué)廣角”作為數(shù)學(xué)教材中的一個(gè)特色模塊，不以知識(shí)傳授為主要目標(biāo)，重在啟發(fā)學(xué)生感悟思想精髓，推進(jìn)實(shí)踐應(yīng)用?！皵?shù)學(xué)廣角”的內(nèi)容靈活度高，是需要讓學(xué)生自主探究、合作對(duì)話、實(shí)踐應(yīng)用有效掌握的特色模塊。植樹問題在生活中的應(yīng)用非常廣泛，與學(xué)生日常生活緊密相關(guān)，如花盆的擺放、廣場(chǎng)上插紅旗問題以及路燈問題都屬于植樹問題的一些生活化演變。結(jié)合植樹問題，讓學(xué)生有效探究，要對(duì)棵樹和間隔數(shù)建立模型意識(shí)。對(duì)應(yīng)每一個(gè)問題，都要構(gòu)建直觀化的數(shù)學(xué)模型，并應(yīng)用類比、轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合、模型等思想方法，實(shí)現(xiàn)問題的針對(duì)性解答。學(xué)習(xí)植樹問題，重在讓學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，在準(zhǔn)確理解植樹規(guī)律的前提下解決一些實(shí)際性問題。

三、教法研究

植樹問題是數(shù)學(xué)中的經(jīng)典問題，其中蘊(yùn)含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，教師要以問題提出為明線，以數(shù)學(xué)思想方法探究為暗線，讓學(xué)生獲得豐富的學(xué)習(xí)體驗(yàn)，把握數(shù)學(xué)思想方法的精髓。教師可以先帶領(lǐng)學(xué)生從簡單的問題入手，通過模型轉(zhuǎn)化，由易到難實(shí)現(xiàn)一些復(fù)雜問題的針對(duì)性引導(dǎo)，提高教學(xué)效率。在問題呈現(xiàn)的同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，突破知識(shí)重難點(diǎn)，使學(xué)生的思維更加敏捷。同時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生不斷比較，發(fā)現(xiàn)其中的相同點(diǎn)和差異點(diǎn)。通過數(shù)形互補(bǔ)，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維規(guī)律。結(jié)合一些綜合問題，有效構(gòu)建模型抽象，提煉求解模型，結(jié)果驗(yàn)證，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)植樹類問題的綜合性解決，助力學(xué)生理解數(shù)學(xué)思維本質(zhì)，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)植樹問題的深度理解。

四、教學(xué)過程

植樹問題蘊(yùn)含的內(nèi)容豐富多元，要想讓學(xué)生深度領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思維本質(zhì)，教師要在課堂上穿針引線，為學(xué)生提供任務(wù)指引。還以植樹活動(dòng)為例，將一些典型問題，讓學(xué)生合作探究，參悟其中的精髓。所以，整個(gè)教學(xué)過程以問題為主導(dǎo)，以學(xué)生探究為主線，教師對(duì)各個(gè)環(huán)節(jié)整體把控。

◆第一步，情境創(chuàng)設(shè)，引出新課

結(jié)合教材中出現(xiàn)的植樹插圖，教師可以與學(xué)生一起回顧植樹節(jié)期間，學(xué)校組織的植樹活動(dòng)，讓學(xué)生說一說，自己在植樹節(jié)種了幾棵樹，它們是如何排列的，植樹有哪些意義，以討論的方式引出話題，讓學(xué)生回顧自己真實(shí)的植樹經(jīng)驗(yàn)，接著畫面切換展示一個(gè)具體問題，讓學(xué)生探索應(yīng)如何用數(shù)學(xué)的思維方法解答。

問題一：一條全長100 米的小路，每隔5 米栽一棵樹，兩端都要栽，一共需要多少棵樹苗？

結(jié)合這一問題，引導(dǎo)學(xué)生先圈畫關(guān)鍵信息：“全長100 米”“間隔5 米”“兩端都要栽”。然后讓學(xué)生想一想，這些詞語分別是什么意思？“間隔”應(yīng)該怎么解釋？“兩端都要栽”是強(qiáng)調(diào)的哪個(gè)部分？教師可進(jìn)一步結(jié)合“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果、香蕉、蘋果”的排列方式，讓學(xué)生理解間隔的意義。如果已知有20 個(gè)水果，讓學(xué)生試著說一說香蕉有幾個(gè)，蘋果有幾個(gè)，進(jìn)而對(duì)間隔排列有更直觀的理解。

在這個(gè)部分，還有一個(gè)核心詞匯“兩端”。如何理解兩端，還是以“香蕉、蘋果、香蕉、蘋果……香蕉”為例，進(jìn)一步讓學(xué)生觀察，如果兩端都是香蕉，那么香蕉和蘋果的數(shù)量之間有什么關(guān)系？學(xué)生很容易就能發(fā)現(xiàn)：香蕉數(shù)量=蘋果數(shù)量+1。無論這一排有多長，如果兩端都是香蕉，那么香蕉一定比蘋果多1 個(gè)。

回歸最開始的植樹問題，在這100 米長的小路旁邊植樹，如果兩端都栽，那么樹之間間隔的距離就是間距，兩端都栽，就代表這條小路的兩端都要種樹。再讓學(xué)生用畫圖的方式呈現(xiàn)植樹后的效果：用線段表示間隔，用小點(diǎn)表示一棵樹，進(jìn)而找到問題解決的方案：100÷5=20，然后再加1。也就是在這個(gè)問題解答的過程中，兩端都栽的數(shù)量=間隔數(shù)+1。這樣轉(zhuǎn)化后，植樹問題與前面學(xué)生所學(xué)的平均分問題比較相似，只需要把握好兩端的處理方式即可。

設(shè)計(jì)思路：在解答數(shù)學(xué)問題的過程中，讀題是關(guān)鍵的一步。讀題不是簡單的文字閱讀，而是要抓取題目中的關(guān)鍵信息，頭腦中還要建立初步的模型意識(shí)，找到解決問題的關(guān)鍵，并套用已經(jīng)學(xué)習(xí)的知識(shí)實(shí)現(xiàn)問題模型的化繁為簡。教師穿針引線，結(jié)合對(duì)數(shù)與形轉(zhuǎn)化規(guī)律的分析，幫助學(xué)生找到答題的切入點(diǎn)，就能實(shí)現(xiàn)一些復(fù)雜問題的簡單化，學(xué)生學(xué)習(xí)自然事半功倍。

◆第二步，小組合作，規(guī)律探索

植樹問題涵蓋的類型多種多樣，教師帶領(lǐng)學(xué)生探索一個(gè)類型后，就可以將學(xué)生分成不同的小組，讓他們套用引導(dǎo)過程中所采用的方法進(jìn)行各類不同問題模型的提煉，將數(shù)學(xué)的語言有效分析，整合提煉為直觀模型，進(jìn)一步探索問題解決的一般規(guī)律，并將植樹問題適用范圍有效擴(kuò)大，讓學(xué)生在細(xì)致觀察的前提下合作探尋，豐富嘗試，真正通過提煉、思考、碰壁、探究、合作、解答、驗(yàn)證，深入理解植樹問題的本質(zhì)，對(duì)多種不同形式理性區(qū)分。教師將需要探究的問題，通過大屏幕呈現(xiàn)，讓學(xué)生對(duì)各種不同情況進(jìn)行有效探究。

問題二：在一條200 米的公路一邊植樹，每隔5米栽一棵，如果兩端都不栽，總共需要多少棵樹苗？

問題三：在一條200 米的小路一邊植樹，每隔5米栽一棵，如果只有一端栽，另一端不栽，需要多少棵樹苗？

問題四：一個(gè)湖泊已知周長為100 米，在湖的四周栽樹，每隔5 米栽一棵，請(qǐng)問需要多少棵樹苗？

問題五：在一條全長100 米的小路兩邊植樹，每隔5 米栽一棵，兩端都栽，總共需要多少棵樹苗？

這些問題基本囊括了植樹問題的所有案例，教師引導(dǎo)學(xué)生以小組為單位，一個(gè)一個(gè)探究、運(yùn)用、轉(zhuǎn)化，結(jié)合模型思想總結(jié)發(fā)現(xiàn)，將自己所得的結(jié)果在小組內(nèi)部進(jìn)行有效交流，并引導(dǎo)學(xué)生抽象出棵數(shù)、間隔數(shù)與總長度之間的一般化數(shù)學(xué)模型，為下一步遷移應(yīng)用奠定良好的基礎(chǔ)。

在小組討論的前提下，教師還要讓各個(gè)小組積極匯報(bào)自己的學(xué)習(xí)成果。通過組與組之間的展示交流，發(fā)現(xiàn)學(xué)生的思維盲點(diǎn)，助力學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型方法深度掌握。跳出一般的問題性解答，讓學(xué)生學(xué)會(huì)根據(jù)問題構(gòu)建模型，對(duì)兩端都栽、一端栽一端不栽、兩端都不栽、兩邊栽、環(huán)形栽等多種情況進(jìn)行深刻理解。通過合作討論，學(xué)生對(duì)棵數(shù)與端數(shù)之間的關(guān)系真正理解，這樣學(xué)生在遇到一些其他問題時(shí)，也會(huì)理清模型，探索問題解決的一般方法。

設(shè)計(jì)思路：數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建，需要學(xué)生對(duì)問題進(jìn)行有效提煉，還可以結(jié)合圖形的繪制，綜合將直線栽樹、環(huán)形栽樹、兩邊栽樹等各種情況進(jìn)行有效的轉(zhuǎn)化。通過小組合作，學(xué)生對(duì)比思考，將一些易錯(cuò)問題集中呈現(xiàn)，將數(shù)與形之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系深刻理解，也能通過直觀易懂的方式幫助學(xué)生突破知識(shí)重難點(diǎn)。加上小組競(jìng)技，分析展示，還能鍛煉學(xué)生語言表達(dá)能力，讓學(xué)生嘗試將自己頭腦中的理解用清晰的語言闡述，防止學(xué)生出現(xiàn)理解了，但是不會(huì)說、不會(huì)用的情況。小組合作，分類探究，尊重學(xué)生的主體性價(jià)值，可以避免對(duì)植樹問題的生硬記憶，也能通過一些變式練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生舉一反三，方法遷移。

◆第三步，當(dāng)堂學(xué)練，鞏固提升

如果植樹問題只能解決與植樹相關(guān)的問題，那么就會(huì)讓學(xué)生感覺學(xué)習(xí)過程非?？菰铮瑸榱私o學(xué)生帶來更多學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)感，提高學(xué)生思維的縝密性，在學(xué)習(xí)植樹問題的過程中，教師還要同步為學(xué)生設(shè)計(jì)一些衍生問題，進(jìn)一步提高學(xué)生思維的靈活性。

練習(xí)1：32 棵樹平均栽成4 行，每行能夠栽幾棵樹？

這個(gè)問題雖然也屬于植樹問題，但是它并不屬于前面幾種探究案例，屬于平均分的問題。而且這里不需要考慮一端栽、兩端栽的情況，主要考慮在植樹過程中數(shù)量的分配，主要涉及將總的平均分成幾個(gè)部分的問題。

練習(xí)2：如果將一根木頭鋸成5 段，每鋸下一段需要8 分鐘，那么鋸?fù)赀@根木頭總共需要多少分鐘？

這個(gè)問題看似和植樹問題毫不相關(guān)，但是在這個(gè)問題解答的過程中，每次鋸的段數(shù)，恰好符合栽樹過程中的間隔問題，而且鋸木頭的過程兩端都不需要鋸，所以這個(gè)問題是植樹過程中的兩端都不栽的情況。學(xué)生如果能夠結(jié)合問題來畫出圖像，就能快速找到這個(gè)問題的解答思路。

練習(xí)3：在一條總長度為3000 米的道路兩旁，需要架設(shè)電線桿，已知相鄰兩根電線桿之間的距離為200 米。請(qǐng)問這段路總共需要架設(shè)多少根電線桿？

這個(gè)問題一出現(xiàn)，學(xué)生就知道這屬于兩邊都栽的植樹問題，而且為了讓電線兩頭不落地，電線桿架設(shè)中也需要兩端都要架，問題解決的難度顯著降低。不過，這里需要考慮兩邊都需要架設(shè)電線桿，所以最后的結(jié)果還要乘以2。這也是學(xué)生容易忽略的一個(gè)易錯(cuò)點(diǎn)。

練習(xí)4：元旦期間，需要在一個(gè)圓形的廣場(chǎng)周邊裝上路燈照明，已知廣場(chǎng)的周長為280 米，如果每隔7 米裝一盞路燈，請(qǐng)問廣場(chǎng)周圍需要安裝多少路燈照明？

這個(gè)問題屬于植樹問題中的環(huán)形封閉植樹問題，結(jié)合前期學(xué)生所理解的總長度、間隔數(shù)和棵數(shù)的關(guān)系，也能很容易獲得這一問題的答案。

五、教法提煉

植樹問題作為數(shù)學(xué)綜合實(shí)踐過程中的典型問題，與實(shí)際問題的關(guān)聯(lián)非常緊密，而且植樹問題的轉(zhuǎn)化非常靈活。在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，教師不宜過度為學(xué)生進(jìn)行模型講解和規(guī)律提煉，而是要給予學(xué)生充分的探究空間，鼓勵(lì)學(xué)生在理解主題的前提下動(dòng)手實(shí)踐，在問題轉(zhuǎn)化中實(shí)現(xiàn)有效的模型構(gòu)建。為了讓學(xué)生有輕松、樂觀的學(xué)習(xí)心態(tài)，教師可探索從以下幾個(gè)角度增強(qiáng)育人魅力。

首先，引導(dǎo)學(xué)生化繁為簡，把握問題內(nèi)涵。解答植樹問題，先要讓學(xué)生進(jìn)行問題的探究，通過數(shù)形結(jié)合思想，將復(fù)雜的文字轉(zhuǎn)化為簡單直觀的模型，重點(diǎn)分析這一模型下兩端應(yīng)該如何處理，把握問題的核心內(nèi)涵后，再進(jìn)行模型構(gòu)建，列式解答，一些煩瑣問題就能迎刃而解。

其次，在動(dòng)手實(shí)踐中，領(lǐng)悟數(shù)形結(jié)合思想精髓。數(shù)學(xué)問題的解答不僅需要進(jìn)行準(zhǔn)確的數(shù)據(jù)運(yùn)算，還需要構(gòu)建直觀的數(shù)據(jù)模型，所以在數(shù)學(xué)問題解答的過程中，教師需要將數(shù)形結(jié)合思想貫穿其中，通過數(shù)與形的有效融合，促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系，把握答題切入點(diǎn)。在植樹問題解答過程中，教師要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)每一個(gè)問題都繪制直觀圖片，提煉問題模型，對(duì)間隔數(shù)與兩端情況進(jìn)行針對(duì)性分析。通過直觀圖形的呈現(xiàn)，讓學(xué)生在頭腦中構(gòu)建實(shí)物模型，進(jìn)行植樹模擬，驗(yàn)證自身結(jié)論。

最后，對(duì)比觀察，促進(jìn)學(xué)生舉一反三。植樹問題是小學(xué)數(shù)學(xué)的典型問題，植樹問題涵蓋的知識(shí)點(diǎn)較多，應(yīng)用過程中也比較靈活。為了防止學(xué)生出現(xiàn)眼高手低的問題，在分析植樹問題的過程中，教師要讓學(xué)生進(jìn)行有效的觀察，通過一一對(duì)應(yīng)，有效比對(duì)，找到恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型。只有學(xué)生真正領(lǐng)悟了植樹問題的模型，掌握了樹苗和間隔之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，才能嫻熟應(yīng)用數(shù)學(xué)思想方法，靈活應(yīng)對(duì)各類變式。