融合直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的數(shù)學教學

王其泉

《義務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》明確指出，數(shù)學教學要重視學生直接經(jīng)驗的形成，處理好直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗的關系。其中，直接經(jīng)驗是指學生通過親身實踐、動手操作所獲得的經(jīng)驗，間接經(jīng)驗是指學生從書本或他人的經(jīng)驗中獲得的經(jīng)驗，兩者相輔相成，能夠豐富學生學習數(shù)學的完整過程，促進他們不斷思考，深入理解知識內容，進而培養(yǎng)他們的核心素養(yǎng)。

在日常的數(shù)學課堂上，筆者發(fā)現(xiàn)部分教師往往過于依賴教材的設計，習慣引導學生按照既定的步驟進行操作，忽略了讓他們“走彎路”的重要性。這樣的教學方式看似高效，卻不利于幫助學生獲得寶貴的直接經(jīng)驗，久而久之，容易使其養(yǎng)成惰性思維。本文中，筆者以部編版五年級上冊第六單元《三角形的面積》一課為例，具體說明數(shù)學教師應如何幫助學生吸納直接經(jīng)驗與間接經(jīng)驗。

利用間接經(jīng)驗，保障探究活動嚴謹性

學生已有的知識基礎和經(jīng)驗積累，是他們理解和掌握新知識的重要基石。因此，筆者在教學《三角形的面積》一課前，首先帶領學生回顧了之前學過的面積推導方法。例如，在探究長方形面積的過程中教授的數(shù)方格法，即將不滿格的面積單位轉化為滿格的標準面積單位，這樣，通過計算標準面積單位的數(shù)量即可算得長方形面積。又如，在推導平行四邊形面積時教授的轉化法（割補法），學生通過觀察，最終發(fā)現(xiàn)可沿著三角形兩邊中點的連線進行分割，即可將其拼成一個平行四邊形。復習已學圖形的推導方法，不僅可以讓他們對計算公式和其中滲透的轉化思想理解得更深刻，也有利于他們后續(xù)推導三角形的面積公式。

此外，在學習《三角形的認識》一課時，學生們已對三角形的分類有了清晰的認識。他們知道，根據(jù)角的大小，將三角形分為直角三角形、銳角三角形和鈍角三角形。這些從教材中習得的間接經(jīng)驗，成為他們探究三角形面積公式的重要參考。基于上述經(jīng)驗積累，筆者鼓勵學生分門別類進行研究，根據(jù)不同圖形的特點選擇合適的計算策略，以保障探究活動的嚴謹性。

利用直接經(jīng)驗，思考新問題的解答路徑

依照思維的慣性，有部分學生立刻提出想嘗試利用割補法求取三角形的面積。他們認為，這種方法可以快速規(guī)整圖形，從而簡化計算過程。于是，筆者引導他們進行小組討論，共同探討這一方法是否可行。

學生將不同類型的三角形沿高剪開，再改變它們的相對位置，將其拼接在一起。幾次試驗后發(fā)現(xiàn)，這種方法適用于等腰三角形面積的計算，但不適用于計算其他類型的三角形的面積。這讓他們意識到，割補法并不是萬能的，于是開始思考不同類型的三角形應采用的策略。在此過程中，有學生發(fā)現(xiàn)，兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形，于是想到是否可以先計算平行四邊形的面積，再將計算結果除以2來獲得答案。

這次嘗試不僅使學生進一步了解了拼合法的“由來”，還讓他們體驗了思考新問題的方法路徑，學會了如何分析已有經(jīng)驗，篩選恰當?shù)姆椒ǎ蝗绾卧诔醪絿L試后進行反思和總結，根據(jù)經(jīng)驗教訓調整方向；如何再次進行操作驗證，發(fā)現(xiàn)普遍規(guī)律。這一系列過程不僅鍛煉了學生的數(shù)學思維能力和實踐能力，也為他們未來的學習和生活奠定了堅實的基礎。

允許學生“走彎路”，加深引領深度思考

美國著名教育學家拉爾夫·泰勒在其著作《課程與教學的基本原理》中提出，數(shù)學教學中存在一個普遍現(xiàn)象，即教師常常將學習所需的所有事實直接傳授給學生，導致學生只會按模式運算。然而，當這些學生需要自己探索某些事實時，往往就會感到迷茫，不知道需要哪些事實，以及從哪里可以找到這些事實。相關實驗還表明，那些曾在怎樣確定所需事實以及如何獲取這些事實方面接受過專門訓練的學生，在解決問題時往往能有更好的表現(xiàn)。

在本節(jié)課中，盡管學生們對于既有方法經(jīng)驗的探索，并未直接幫助他們得出三角形面積的計算方法，但筆者認為，這一探究過程具有不可忽視的價值?！白邚澛贰钡慕虒W設計并不是在浪費課堂時間，在這個過程中，學生不單能進一步思考面積計算的本質，也可以加深對于面積公式推理與計算的認識。同時，這也能夠使他們認識到，數(shù)學問題的解決往往需要經(jīng)歷一段曲折的探索過程。

此外，在引導學生運用割補法求解答案的同時，筆者還向他們介紹了古代數(shù)學家劉徽總結的“出入相補”法，為他們提供了新的思考角度，帶來了新的啟發(fā)。

為了加深學生對于本課內容的思考，筆者帶領他們開展了多輪交流匯報。在第一輪交流匯報中，筆者鼓勵他們思考是否所有類型的三角形都符合“兩個完全一樣的三角形可以拼成一個平行四邊形”的規(guī)律，隨后帶領他們利用手中不同類型的三角形進行第二輪探究，嘗試各種不同的拼接方式，而后開展第二輪交流匯報，最終總結出三角形面積的計算方法。學生欣喜地發(fā)現(xiàn)，計算底和高的乘積再除以2，可以得到任何類型三角形的面積。

設計探究活動，檢驗掌握情況

教學成果的檢驗是衡量教學成效的重要手段，也是提高教育質量的關鍵環(huán)節(jié)。為了進一步檢驗學生對三角形面積計算方法的掌握情況，激發(fā)他們對數(shù)學問題的探究興趣，筆者設計了一次小組探究活動，引導他們探究梯形面積的計算方法。

在這次活動中，筆者僅給學生提供了幾張方格紙，讓他們通過繪制草圖、涂色、裁剪等操作進行自主探究，旨在讓他們在親身實踐的過程中獲得直接經(jīng)驗。他們在組內互相交流思路，嘗試運用不同的探究方法。有的小組發(fā)現(xiàn)，可以將梯形圖紙沿兩腰中點連線剪開，再將其拼合成熟悉的平行四邊形，進而求取梯形的面積；還有小組提出，可以沿著梯形的某條對角線將其剪為兩個三角形，然后分別計算這兩個三角形的面積并相加。

在這樣的探究過程中，學生們不僅學會了如何運用既有方法求解梯形面積，還深入理解了梯形與之前所得圖形之間的聯(lián)系。

總而言之，數(shù)學教學需要讓學生在親身體驗中轉化直接經(jīng)驗，并在學習與討論中汲取間接經(jīng)驗。作為數(shù)學教師，我們應該根據(jù)學生的實際情況和教學內容需要，精心設計教學活動，讓他們在獲得直接經(jīng)驗的同時，也能夠充分領會間接經(jīng)驗。只有這樣，才能夠真正促進學生數(shù)學素養(yǎng)的提升，讓他們在數(shù)學學習的道路上越走越穩(wěn)。與此同時，我們也應不斷反思并改進自己的教學方法，以適應隨時代發(fā)展變化的教育需要和學生需求，為學生的全面發(fā)展提供有力的支持。