從風向標到羅馬路
——例談反比例函數的平積比性質

華南師范大學附屬黃埔實驗學校(510898) 周健鴻

培養(yǎng)核心素養(yǎng)能力是當下的潮流話題,素養(yǎng)不等同于能力,不可復制但可嫁接.嫁接的前提是成功的因素已經得到了萃取.嫁接的結果是得到檢驗的被認可的經驗模型能夠成功的移植到不同的土壤中去.而學生在不同的土壤中運用經驗模型的過程就是二次生長的過程,變提供支持的“外援式”模型為實現自身發(fā)展的“內生性”系統(tǒng),模型就得到了自我升華與構建.本文將著力于總結反比例的“平積比”性質,為教育者提供一條經驗反哺、自我迭代、共創(chuàng)價值的嬗變之路.希望在這樣的反比例模型迭代中,實現漸進式的創(chuàng)新和螺旋式的上升,在扎扎實實的模型系統(tǒng)生長中,不斷撬動變式轉型的杠桿,邁向素養(yǎng)培養(yǎng)的變革新高度.打造反比例函數“平積比”性質圖譜,為真實任務和深度體驗提供孵化器.

1 反比例函數的等積性質

例1 如圖, 已知點A,B是反比例函數第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB,OA,OB.過點A,B分別作x軸的垂線, 垂足為C,D,AC,OB交于點E.求證:S?AOB=S梯形ABDC.

①方法1: 由反比例函數k的幾何意義得到S?AOC-S?EOC=S?BOD-S?EOC, ∴S?AOE=S梯形BDCE,∴S?AOE+S?ABE=S梯形BDCE+S?ABE, ∴S?AOB=S梯形ABDC.

②方法2: 由反比例函數k的幾何意義得到S?AOC=S?BOD,∴SOABD-S?BOD=SOABD-S?AOC,∴S?AOB=S梯形ABDC.

等面積法是初中階段的重要方法,而等積法又分和差構造兩大類,若我們定義反比例函數圖象上的任意兩點A、B與坐標原點O圍成的三角形為反比例懸空三角形,則此懸空三角形的面積與A、B兩點向x、y軸作垂線段圍成的梯形面積相等.上面例1 中往x軸上作的垂線段AC和BD同樣可往y軸上作,結論相同.

2 反比函數的比例性質

例2 如圖,已知點A,B是反比例函數第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB.過點A作y軸的垂線,過點B作x軸的垂線,垂足分別為E,D,直線AE與BD相交于點G.求證:

如上, 反比例函數將矩形的長寬兩邊分線段成比例, 我們將其定義為反比例函數的比例性質.若連接ED, 我們可以進一步推出?GAB?GED.從而推出∠GAB=∠GED所以就有反比例函數的平行性質.

[綜合運用] 如圖, 矩形OABC的頂點A,C分別在y軸、x軸的正半軸上,D為AB的中點, 反比例函數的圖象經過點D,且與BC交于點E,連接OD,OE,DE,若?ODE的面積為6,則k的值為____.

3 反比函數的平行性質

例3 如圖,已知點A,B是反比例函數第一象限圖象上的任意兩點(不重合),連接AB.過點A作y軸的垂線,過點B作x軸的垂線,垂足分別為E,D,直線AE與BD相交于點G.連接ED,求證:AB//ED.

①方法1: 由上面提到的反比函數的比例性質可以證明?GAB?GED.∴∠GAB=∠GED,∴AB//ED.

②方法2: 借助斜率的算法, 可以求出AB的斜率和ED的斜率,通過證明KAB=KED得到∴AB//ED.

方法1 構造正A 字相似后對應角相等得平行,下面例子則是8 字相似得平行.

例4 已知點A,B是反比例函數第一象限圖象上的任意兩點(不重合).如圖,過點A作AA′⊥x軸于點A′,過點B作BB′⊥y軸于點B′,AA′與BB′交于點C, 連接AB,A′B′.求證:AB//A′B′.

[變式1]如圖,若直線AB與x軸交于點M,與y軸交于點N,猜想AN與BM之間的數量關系并說明理由.

思路: 由例4,可證四邊形ANB′A′和BMA′B′為平行四邊形,∴AN=A′B′=BM.

[變式2]如圖,在變式1 的條件下,連接AO,BO,猜想?AON和?BOM的面積之間的關系并說明理由.

思路: ?AON和?BOM是等底(AN=BM) 同高(OH)的三角形,∴面積相等.

以例4 為代表的模型是反比例函數的“平行性質”,其有三個“變中不變”特征: ①不管k是正還是負,這個結論始終成立; ②不管點A和B的位置如何分布(在同一支上或在兩支上),這個結論始終成立; ③不管如何作垂線,這個結論始終成立,即可以由A向x軸作垂線、由B向y軸作垂線,也可以由A向y軸作垂線、由B向x軸作垂線.如下圖所示.

4 關于反比例函數模型教學的三點思考

4.1 掌控風向標,在坐標軸中眺望教與學的價值

學科育人的坐標軸,橫向成列按照年段遞進,縱向成序按照要素進階,最終形成低、中、高的育人目標.在每一個要素維度中,老師清楚地知道所要抵達的方向,心中有了軸,自然就有了進階的梯,實踐起來更能夠有抓手.我們在教授反比例函數知識的時候不能只關注函數解析式和k 的幾何意義,更應該拓寬視野與思路,與幾何圖形融匯貫通,實現代數幾何的綜合運用的同時也要注重模型的提煉,這樣才有助于學生嫁接問題解決的成功經驗、構建有自我特性的概念模型.

4.2 把握方向盤,在疾馳攀登中確定教與學的目標

單元教學是當下的熱門概念,一個單元好比是一個課程的細胞.所以要把握這個細胞的關鍵、結構和核心,建構相應的學習群,需要以主題任務為載體,通過情境,內容方式,資源的整合形成知識系統(tǒng)、方法系統(tǒng)和思維系統(tǒng).在駕駛疾馳的過程中要牢牢把控方向盤, 設計好教學目標與梯度題組,借助恰如其分的變式教學將知識系統(tǒng)化,以任務群、項目組帶動知識的教授與能力的鍛造.

4.3 蹚出羅馬路,在更寬的行走中探索普適路徑

時代的呼喚之下讓教師的角色更加的多元,我們不僅是深諳學科核心素養(yǎng)、掌握深度教學內容、靈活開展多種教學方式、組織教學和管理的教學者,而且還要是教學過程的設計者、學生成長的支持者、思維意識的開拓者、共享發(fā)展的行動者.我們要把教育的本質回歸,看到知識與知識之間的彼此關聯.但教育的路不能只有教師的教與學生的學,反比例函數的教授同樣也是,尋找合適的模型,尋找更多在日常教育中發(fā)生蝴蝶效應的契機,讓學生的學習更加簡單、純粹、有溫度.所以我們需要蹚出一條路,在更寬的行走中尋求教育的本真.

頂峰不是休息的地方,成長的過程就像一條曲線,有起有伏宛如登山.為了保持不斷向上生長的趨勢,就要在最高點消失之前,開啟第二曲線.在尋找第二曲線的路上,需要一次次越過那些由成功鋪設的陷阱,開辟一條與當前完全不同的新道路,反比例函數的知識教與學也是如此,需要不斷的探索,不斷的深挖,不斷的融合,不斷的創(chuàng)新.讓反比例函數的雙曲線圖形二次生長,成為跨越式增長的第二曲線.