實(shí)施開放式數(shù)學(xué)教學(xué) 培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神*

柳州市鐵二中學(xué)(545007) 黃文芳 田家有

1 問題的提出

新課標(biāo)的教學(xué)理念是以學(xué)生為中心,注重學(xué)生的主體性和創(chuàng)造力,強(qiáng)調(diào)學(xué)生的實(shí)踐能力和綜合素質(zhì)的培養(yǎng).新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)教育應(yīng)該是全面的、個(gè)性化的,注重學(xué)生的興趣和需求,尊重學(xué)生的差異性, 注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力,要求教師從傳統(tǒng)的知識(shí)傳授者轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生的引導(dǎo)者和學(xué)習(xí)的組織者.在此背景下,實(shí)施“個(gè)性化教育”,采取開放式教學(xué)方式,勢(shì)在必行.

2 理論依據(jù)

建構(gòu)主義理論認(rèn)為,學(xué)生學(xué)習(xí)的過程應(yīng)該是學(xué)習(xí)者主動(dòng)建構(gòu)知識(shí)的過程, 學(xué)習(xí)者并不是把知識(shí)從外界搬到記憶中,而是以原有的經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),通過與外界的相關(guān)作用來構(gòu)建新的理解.開放式教學(xué)是一種基于學(xué)生主導(dǎo)和自主學(xué)習(xí)的教學(xué)模式,它強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主性、創(chuàng)造性和探究精神,鼓勵(lì)學(xué)生在學(xué)習(xí)過程自由地探索、發(fā)現(xiàn)和解決問題.

認(rèn)知心理學(xué)理論認(rèn)為,學(xué)生的學(xué)習(xí)應(yīng)該是基于他們自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)和經(jīng)驗(yàn).學(xué)生需要通過自主學(xué)習(xí)和探究來擴(kuò)展和調(diào)整自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu).開放式教學(xué)強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自我管理能力,鼓勵(lì)學(xué)生在自己的興趣和能力范圍內(nèi)選擇學(xué)習(xí)內(nèi)容和學(xué)習(xí)方式,以提高學(xué)習(xí)效率和學(xué)習(xí)興趣.

情感認(rèn)知理論認(rèn)為,學(xué)生的情感狀態(tài)對(duì)學(xué)習(xí)者學(xué)習(xí)有很大的影響.開放式教學(xué)方式可以促進(jìn)學(xué)生的情感發(fā)展,學(xué)生在這種教學(xué)方式下可以更加自由地表達(dá)自己的想法和觀點(diǎn),增強(qiáng)自信心和自尊心,同時(shí),學(xué)生也可以更好地理解和尊重他人的觀點(diǎn)和想法,增強(qiáng)社交能力和情感智慧.

3 實(shí)施步驟

3.1 確定教學(xué)目標(biāo) 以學(xué)生為中心,注重學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí).

案例1 人教版第八章高一必修二立體幾何中二面角的教學(xué).

(1)二面角的定義: 從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角.該直線叫做二面角的棱,兩個(gè)半平面叫做二面角的面.

(2) 二面角的畫法和記法: 二面角α-l-β; 二面角P-l-Q.

師: 觀察老師手中的課本,其可看作一個(gè)二面角,在老師慢慢打開課本的過程中,二面角在不斷的發(fā)生變化,那么怎么刻畫二面角的大小呢?

這時(shí)讓學(xué)生回憶距離概念的推廣表:

學(xué)生經(jīng)過分組討論,不斷完善,總結(jié)規(guī)律: ①不管是在平面內(nèi)還是空間中各種距離均可歸結(jié)為兩點(diǎn)之間的距離.②推廣的每一種距離,都具有確定性和最小性兩個(gè)特征.

通過知識(shí)的回憶和規(guī)律總結(jié),教師進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對(duì)平面的角與二面角的關(guān)鍵詞進(jìn)行對(duì)比: 平面?空間;兩條射線?兩個(gè)半平面.

學(xué)生從距離推廣中得到啟示,平面或者空間中的角最終也可以用平面內(nèi)兩條相交線所成的角來表示.進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生小組合作探究如何在二面角中找一個(gè)平面角來定義二面角的大小.

實(shí)驗(yàn)探究 步驟:

(1)按任意方式折疊卡紙;

(2)展開卡紙,觀察卡紙開合過程中的角度變化;

(3)用一個(gè)平面角去度量這個(gè)二面角的大小變化.

請(qǐng)兩位同學(xué)上臺(tái)展示,根據(jù)不同方式折疊的卡紙,通過觀察角度的變化,共得出4 種方案來定義二面角的平面角:

A:卡紙邊沿形成的平面角;

C:在二面角的棱上任取一點(diǎn)O,在半平面α和β內(nèi)分別作垂直于棱l的射線OA和OB,則射線OA和OB構(gòu)成的∠AOB如右圖;

D:作一平面垂直于二面角的棱,此平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所構(gòu)成的角.

師生評(píng)議: A 方案顯然不行, 平面是無限延展的, 沒有具體的邊.B 方案角的大小不確定.C 方案可行,這樣作出的角具有唯一性,它的大小與點(diǎn)O在棱上的位置無關(guān),可用等角定理來解釋,進(jìn)而引出二面角的平面角概念.最后發(fā)現(xiàn)D 方案也可以.

通過這樣的數(shù)學(xué)設(shè)計(jì),教師沒有將新知識(shí)直接照本宣科的灌輸給學(xué)生,而是通過對(duì)比以及調(diào)動(dòng)學(xué)生已有的數(shù)學(xué)知識(shí),組織學(xué)生自主合作探究,在教師的引導(dǎo)下,從而逐漸形成概念,建構(gòu)起二面角的平面角的新知.

3.2 設(shè)計(jì)教學(xué)活動(dòng) 根據(jù)教學(xué)目標(biāo),設(shè)計(jì)靈活的課程結(jié)構(gòu),設(shè)計(jì)適合學(xué)生的教學(xué)活動(dòng).通過開放式教學(xué)可以給學(xué)生有更多的自由度,通過設(shè)置多個(gè)學(xué)習(xí)任務(wù)和項(xiàng)目,讓學(xué)生自由選擇其中幾個(gè)來完成,在學(xué)習(xí)過程中學(xué)生創(chuàng)新思維得到培養(yǎng).

案例2 人教版選擇性必修一的數(shù)列,根據(jù)教學(xué)目標(biāo)中要求,學(xué)生應(yīng)能將數(shù)列的概念、性質(zhì)、求和公式、遞推公式等知識(shí)應(yīng)用到實(shí)際問題中,如數(shù)學(xué)建模、金融投資等領(lǐng)域.

師生學(xué)習(xí)完數(shù)列后,筆者向?qū)W生提了一問題,已知銀行定期存款利率:

①整存整取: 三個(gè)月年利率1.25%、半年年利率1.45%,一年年利率1.65%、二年年利率2.15%、三年年利率2.6%、五年年利率2.65%.

長(zhǎng)期以來，在教學(xué)中，數(shù)學(xué)知識(shí)是一條明線，受到數(shù)學(xué)教師的重視，數(shù)學(xué)思想方法是一條暗線，容易被教師忽視。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果教師能有意識(shí)地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想設(shè)計(jì)教學(xué)，將非常有利于學(xué)生從不同側(cè)面加深對(duì)問題的認(rèn)識(shí)和理解，提供解決問題的方法，也有利于培養(yǎng)學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力。在教學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第8單元《連乘法解決問題》時(shí)發(fā)現(xiàn)，部分學(xué)生特別是年齡較小的學(xué)生理解數(shù)量關(guān)系還存在一定困難。為此，筆者經(jīng)過思考研究，結(jié)合數(shù)學(xué)課堂趣味性與思辨性，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想，在生活圖片和抽象數(shù)學(xué)問題中間設(shè)置了過渡數(shù)學(xué)幾何圖形（抽象圖形），既減小了學(xué)生思維跨度，便于數(shù)學(xué)問題的進(jìn)一步理解，又使學(xué)生感受到學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂趣。

②零存整取、整存零取、存本取息: 一年年利率1.25%、三年年利率1.45%,五年年利率1.45%.如果手中有1 萬元,選擇什么方式進(jìn)行存錢,使得5 年后收益最高?

分析: 收益最高是指本金和利息總和最大,如果存5 年定期,則5 年后本利總額相當(dāng)于a1= 10000,q= 1.0265,求a6; 如果存一年定期, 存滿一年后, 連本帶利, 轉(zhuǎn)存一年, 期滿后再連本帶利轉(zhuǎn)存,5 年后本利總額,相當(dāng)于a1= 10000,q= 1.0125,求a6;還可以先存一年定期,再連本帶利存2 個(gè)2 年定期.

學(xué)生分組討論,通過計(jì)算得出最佳方案,有些同學(xué)還根據(jù)此方案對(duì)自家存款做出最佳組合.這樣,學(xué)以致用,不僅可以增強(qiáng)個(gè)人的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力,也可以幫助學(xué)生更好地理解和應(yīng)用所學(xué)知識(shí),更加激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.

3.3 提供資源

(1)提供學(xué)生可以在網(wǎng)上閱讀和學(xué)習(xí)的電子書籍和在線課程,這些資源可以幫助學(xué)生更好地理解和掌握知識(shí).

(2)提供學(xué)生可以在網(wǎng)上觀看的視頻教程,可以讓學(xué)生在自己的節(jié)奏下學(xué)習(xí).

(3)提供一個(gè)社交學(xué)習(xí)平臺(tái),讓學(xué)生可以在平臺(tái)上交流、討論和分享學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),這樣可以增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)動(dòng)力和興趣.

筆者本學(xué)期嘗試?yán)肎eoGebra 軟件輔助教學(xué).GeoGebra 軟件是可以通過可視化手段展現(xiàn)數(shù)學(xué)中的運(yùn)動(dòng)變化,幫助學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念和掌握數(shù)學(xué)規(guī)律.GeoGebra 作為一個(gè)具有動(dòng)態(tài)性的數(shù)學(xué)工具,可以使學(xué)生更加直觀地感受到數(shù)學(xué)變化的全過程,從而更深刻地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)問題的實(shí)質(zhì),加深對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解.GeoGebra 作為一個(gè)動(dòng)態(tài)教學(xué)軟件可以很好地展現(xiàn)運(yùn)動(dòng)變化中的數(shù)學(xué)規(guī)律,使學(xué)生直觀感受運(yùn)動(dòng)變化的過程,突破教學(xué)的重難點(diǎn),認(rèn)識(shí)問題的實(shí)質(zhì),更好地幫助學(xué)生解決動(dòng)態(tài)問題,提升學(xué)習(xí)效果.

案例3 在人教版必修一第三章冪函數(shù)的教學(xué)中,為了研究圖象特征,我讓學(xué)生考慮冪函數(shù)中指數(shù)取值的可能性,師生共同寫出以下10 種冪函數(shù)分別是:f(x)=x,g(x)=x-1,學(xué)生借助GeoGebra軟件,在同一坐標(biāo)系中畫出這10 種函數(shù)圖象(如圖1);通過觀察圖象特征,得出了以下4 個(gè)性質(zhì):

圖1

(1)指數(shù)的正負(fù)性,決定圖像是否過原點(diǎn),即α>0,圖像過原點(diǎn),α<0,圖像不過原點(diǎn);

(2)當(dāng)指數(shù)大于1 時(shí),圖像在第一象限朝上凹;指數(shù)在零和1 之間,圖像在第一象限朝上凸;如下圖(圖2):

圖2

在教師的點(diǎn)撥引導(dǎo)下, 同學(xué)們?yōu)樽约旱男掳l(fā)現(xiàn)感到驕傲, 主人翁的自豪感、自信心油然而生.許多同學(xué)在利用GeoGebra 的動(dòng)態(tài)演示中,另外發(fā)現(xiàn)了一些有趣的結(jié)論: 當(dāng)指數(shù)大于零時(shí),指數(shù)越大,圖像在第一象限越近y軸,當(dāng)指數(shù)小于零時(shí),指數(shù)越小,圖像在第一象限越接近兩個(gè)坐標(biāo)軸.

案例4 高三圓錐曲線之定點(diǎn)問題的復(fù)習(xí)課上,如何判斷圓錐曲線中的過定點(diǎn)問題, 可以先嘗試猜想出定點(diǎn)坐標(biāo),進(jìn)而檢驗(yàn)證明,而猜想的過程實(shí)際就是一個(gè)動(dòng)態(tài)的過程,可以借助GeoGebra 軟件進(jìn)行直觀演示.

學(xué)生先在紙上擺動(dòng)兩條線的位置,先猜想感知定點(diǎn),之后借助GeoGebra 軟件通過拖動(dòng)P點(diǎn)位置更加直觀體現(xiàn)定點(diǎn)位置,最后通過跟蹤點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),無論位置如何更改,定點(diǎn)坐標(biāo)更加直觀體現(xiàn)在學(xué)生眼前.(圖3)

圖3

借助信息技術(shù)和學(xué)生的自主學(xué)習(xí),同學(xué)們不僅充分理解課本上的有關(guān)知識(shí),也在探究實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)新問題,新規(guī)律,對(duì)于課本中的知識(shí),也就有了更高層次的認(rèn)識(shí),同時(shí)提升了學(xué)生的核心素養(yǎng).

3.4 提供反饋和評(píng)價(jià) 及時(shí)給予學(xué)生反饋和評(píng)價(jià),幫助他們認(rèn)識(shí)自己的學(xué)習(xí)成果和不足,促進(jìn)學(xué)生的自我反思和提高.

(1)學(xué)生自我評(píng)價(jià): 學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)目標(biāo)和學(xué)習(xí)計(jì)劃,自行評(píng)價(jià)自己的學(xué)習(xí)成果和學(xué)習(xí)效果.這種方法可以激發(fā)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和自我反思能力.

(2)學(xué)生作品評(píng)價(jià): 學(xué)生可以根據(jù)自己的學(xué)習(xí)目標(biāo),完成一些作品或項(xiàng)目,后由師生共同進(jìn)行評(píng)價(jià).這樣可以激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造性和合作精神.

(3)學(xué)習(xí)過程表現(xiàn)評(píng)價(jià): 根據(jù)學(xué)生在課堂上的表現(xiàn)、參與度和貢獻(xiàn)度進(jìn)行評(píng)價(jià).這樣可以激發(fā)學(xué)生的積極性和主動(dòng)性.

(4)學(xué)生考試評(píng)價(jià): 注重學(xué)生的綜合能力.

綜述,實(shí)施開放式教學(xué),可以強(qiáng)調(diào)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)和參與,鼓勵(lì)學(xué)生在自己的學(xué)習(xí)過程中發(fā)揮主動(dòng)性和創(chuàng)造性,可以更好的培養(yǎng)學(xué)生的批判性思維能力、解決問題的能力和創(chuàng)新能力,以及自我管理和合作能力.成為有利于社會(huì)發(fā)展的有用之才.