一道解析幾何模擬題的命制過(guò)程與反思*

廣州市第四中學(xué)(510170) 劉運(yùn)科

1 問(wèn)題的來(lái)源

在“2023 年廣東省普通高中課程教學(xué)改革學(xué)科組長(zhǎng)示范培訓(xùn)”活動(dòng)的一次講座上,華東師大鮑建生教授提到一個(gè)“騎自行車(chē)趣題”: 一輛自行車(chē)的前、后輪在一個(gè)橢圓上,當(dāng)自行車(chē)沿橢圓騎行一周時(shí),前后輪與地面接觸點(diǎn)的連線(xiàn)(假設(shè)長(zhǎng)度為a)所掃過(guò)的面積是多少? 鮑建生教授對(duì)此問(wèn)題的分析在此不表,筆者關(guān)注的是如何將此問(wèn)題改編成高考模擬題.

2 利用GeoGebra 改編

這個(gè)問(wèn)題的數(shù)學(xué)情境,是橢圓的定長(zhǎng)的動(dòng)弦掃過(guò)的面積.利用GeoGebra 作圖,可以發(fā)現(xiàn): 當(dāng)弦長(zhǎng)較小時(shí),動(dòng)弦掃過(guò)的圖形看上去像是一個(gè)橢圓環(huán)(下左圖);當(dāng)弦長(zhǎng)較大時(shí),動(dòng)弦掃過(guò)的圖形比較怪異(下右圖).如果直接考查動(dòng)弦掃過(guò)的面積,顯然要求過(guò)高;可以降低要求,只考查動(dòng)弦上的一個(gè)點(diǎn)(如,中點(diǎn))的軌跡.由此,得到一個(gè)新的數(shù)學(xué)問(wèn)題: 求橢圓的定長(zhǎng)動(dòng)弦的中點(diǎn)的軌跡.

3 加工

4 再加工

如果僅僅求軌跡,考查的內(nèi)容太少,對(duì)于能力弱的考生,又太難,對(duì)于能力強(qiáng)的考生,作為壓軸題難度又不夠,有必要前后各設(shè)計(jì)一個(gè)問(wèn)題.為此,增加第一問(wèn): 已知橢圓的離心率為,短軸長(zhǎng)為2,求橢圓的方程.最后一問(wèn)考查什么好呢?筆者陷入了沉思.長(zhǎng)度已經(jīng)考查了,可以考慮考查面積;但是,求得的曲線(xiàn)不是常見(jiàn)的曲線(xiàn),高中生無(wú)法求出曲線(xiàn)圍成的面積.利用GeoGebra 作圖,觀(guān)察發(fā)現(xiàn)曲線(xiàn)恰在兩個(gè)圓的外部,就計(jì)出了第三問(wèn): 證明曲線(xiàn)圍成的面積大于(兩圓的面積之和恰為).完整試題如下:

例1 已知橢圓E的焦點(diǎn)在x軸上,離心率為,短軸長(zhǎng)為2.

(Ⅰ)求橢圓E的方程;

(Ⅱ)設(shè)AB是橢圓E的弦,且|AB| = 2,當(dāng)AB在橢圓E上運(yùn)動(dòng)時(shí),

(i)求AB的中點(diǎn)M的軌跡方程;

(ii)設(shè)點(diǎn)M的軌跡所圍成的封閉圖形的面積為S,證明:

5 制定前兩問(wèn)答案

(i)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0).

①當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率不存在時(shí),注意到弦長(zhǎng)恰等于短軸長(zhǎng),顯然點(diǎn)M的坐標(biāo)為M(0,0).

綜上,點(diǎn)M的軌跡方程為x4+6x2y2+8y4-4y2=0.

6 研討曲線(xiàn)的特征

筆者把題目也同時(shí)發(fā)給了科組幾位青年教師,請(qǐng)大家做一做此題,再進(jìn)行交流,經(jīng)過(guò)各自獨(dú)立研究30 分鐘后,大家紛紛發(fā)表看法.

老師A:如果不借助電腦軟件, 基本上不可能作出方程x4+6x2y2+8y4-4y2= 0 所表示的曲線(xiàn), 更不可能求出其圍成的封閉圖形的面積.我一開(kāi)始猜想圖形可能是橢圓,用GeoGebra 作圖后,發(fā)現(xiàn)圖形好像是兩個(gè)橢圓.學(xué)生想不出圖形,也不會(huì)橢圓的面積公式,這一問(wèn)超出了高中的知識(shí)范圍.

7 研制第三問(wèn)答案

8.試題評(píng)析與反思

根據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)的試題評(píng)價(jià)框架與水平劃分[1],本題的試題評(píng)析表如下:

考查目標(biāo)________________________________問(wèn)題情境知識(shí)技能數(shù)學(xué)思想核心素養(yǎng)__(Ⅰ)求橢圓的方程;離心率、短軸長(zhǎng)、橢圓的方程-數(shù)學(xué)運(yùn)算__(Ⅱ)(i)求定長(zhǎng)動(dòng)弦中點(diǎn)軌跡方程;中點(diǎn)、弦長(zhǎng);聯(lián)立韋達(dá)定理、參數(shù)法求軌跡方程;設(shè)參消參、代數(shù)運(yùn)算特殊化思想、分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________方程思想直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理(ii)證明曲線(xiàn)圍成的面積大于π 4圓的方程、不等式;分析法、反證法;分析方程特征,猜想軌跡圖形;聯(lián)想圓的方程,合理轉(zhuǎn)化化歸特殊化思想、數(shù)形結(jié)合思想、________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________轉(zhuǎn)化與化歸思想直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理__

從問(wèn)題情境來(lái)看,本題以“數(shù)學(xué)情境”為命題載體,有“源于現(xiàn)實(shí),暗合課本”的特點(diǎn).問(wèn)題源于“現(xiàn)實(shí)情境”——騎自行車(chē)問(wèn)題,改編后與教材遙相呼應(yīng): 求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程是教材中很典型的問(wèn)題;探究不熟悉的曲線(xiàn)的性質(zhì),教材也給出了一般研究策略.在人教A 版選擇性必修第一冊(cè)的“3.1.2 橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)”[2]這一節(jié)中,教材指出,“通過(guò)對(duì)曲線(xiàn)的范圍、對(duì)稱(chēng)性及特殊點(diǎn)的討論,可以從整體上把握曲線(xiàn)的形狀、大小和位置”.第三問(wèn)的參考答案,正是按教材給出的研究策略得出的.

從考查目標(biāo)來(lái)看, 本題前兩問(wèn)主要考查了從代數(shù)角度研究幾何問(wèn)題的基本方法——“坐標(biāo)法”,這也是解析幾何的基本方法.本題第三問(wèn), 命題視角聚焦在方程、曲線(xiàn)、不等式等知識(shí)的交匯點(diǎn)上,需要通過(guò)“分析——猜想——聯(lián)想——轉(zhuǎn)化——反證”的策略來(lái)求解.本題考查了數(shù)形結(jié)合、特殊化、分類(lèi)討論、方程、轉(zhuǎn)化與化歸等數(shù)學(xué)思想;考查了直觀(guān)想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).

反思:

(1)素養(yǎng)導(dǎo)向,技術(shù)助力,頗具新意.

本題形式常規(guī)而內(nèi)涵豐富,探究味道濃厚,體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向.本題文字平實(shí),易于理解,前半部分考查了解析幾何的基本方法和思想,后半部分要經(jīng)歷層層遞進(jìn)的探究,解法看似在意料之外,實(shí)則在情理之中,體現(xiàn)了素養(yǎng)導(dǎo)向的試題特點(diǎn).另外,利用GeoGebra 動(dòng)態(tài)演示問(wèn)題,獲得猜想,從而命制出本題,GeoGebra 是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)探究工具[3].

(2)難度偏大,未經(jīng)檢驗(yàn),有待打磨.

雖然本題是壓軸題,但難度偏大.主要是兩個(gè)方面較難:一是求軌跡方程的代數(shù)運(yùn)算較為復(fù)雜,消參的難度較大;其次是第三問(wèn)的思維過(guò)于跳躍、發(fā)散,證明方法單一,如果改為證明曲線(xiàn)的縱、橫坐標(biāo)的取值范圍,則可以使得考查目標(biāo)更為聚焦,方法也會(huì)更加多樣.另外,本題暫未在考試中使用,沒(méi)有通過(guò)實(shí)踐的檢驗(yàn),本題尚需進(jìn)一步打磨完善.