三次函數(shù)零點問題的探究與拓展

廣東省廣州市廣州中學(xué)(510630) 陳俊儒

三次函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要函數(shù)模型,頻繁見于普通高中教科書(人民教育出版社) 選擇性必修二.教材第99 頁安排了三次函數(shù)的拓展探究內(nèi)容: 利用信息技術(shù)工具,根據(jù)給定的a,b,c,d的值,可以畫出函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)的圖像,當(dāng)a=-4,b=1,c=5,d=-1 時,f(x)的圖像如圖1 所示.改變a,b,c,d的值,觀察圖像的形狀:

圖1

圖5

(1)你能歸納函數(shù)f(x) 圖像的大致形狀嗎? 它的圖像有什么特點? 你能從圖像上大致估計它的單調(diào)區(qū)間嗎?

(2)運用導(dǎo)數(shù)研究它的單調(diào)性,并求出相應(yīng)的單調(diào)區(qū)間.

從教材編排可見,三次函數(shù)在函數(shù)模型中占據(jù)重要的地位,教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用導(dǎo)數(shù)工具研究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì),把握研究三次函數(shù)與其他基本函數(shù)的異同.三次函數(shù)也是高考的高頻考點,考察內(nèi)容以三次函數(shù)的切線,對稱性,極值與最值,零點問題為主,其中零點問題出現(xiàn)次數(shù)較多,難度較大,本文以2020 年全國III 卷第21 題為例,深入探究三次函數(shù)的圖像與性質(zhì),并對三次函數(shù)零點間的關(guān)系延伸拓展.

以上是解決此高考題的兩種常見方法.另外,我們面對函數(shù)的零點問題時,經(jīng)常轉(zhuǎn)化為方程的根進行解決,那么三次函數(shù)的零點問題能否轉(zhuǎn)化為三次方程的根與系數(shù)關(guān)系并結(jié)合三次函數(shù)圖像進行問題解決?

圖2

圖3

圖4

2020 年全國高考III 卷理科第21 題正是根據(jù)結(jié)論1 進行的特殊化命題.另外,既然三次函數(shù)的三個零點都是有界的,那么零點之間的距離也應(yīng)該是有界的,能否得出最大和最小零點距離的取值范圍?

由以上題目解答過程,可知三次方程韋達定理,推論1、2 和結(jié)論1、2、3,不僅給出了三次函數(shù)的零點與系數(shù)的數(shù)量關(guān)系,而且刻畫了直線與三次函數(shù)相交(相切)時交點(切點)與對稱中心的位置關(guān)系,是三次函數(shù)對稱性的另外一種體現(xiàn),同時還明確了三次函數(shù)在上下平移過程中零點的有界性和零點間距離的最值,這是三次函數(shù)零點的顯著特征,在高考或高考模擬試題中常以上述推論或結(jié)論為背景進行命題.

題3(2024 年佛山市普通高中教學(xué)質(zhì)量檢測一第4 題)已知f(x)=(x+1)(x+a)(x+b)為奇函數(shù),則y=f(x)在x=0 處的切線方程為( ).

A.x+y=0 B.x-y=0

C.3x+y=0 D.3x-y=0

解析因為三次函數(shù)f(x)=(x+1)(x+a)(x+b)對稱中心為原點,所以-1-a-b=0,又因為f(0)=ab=0,所 以a=0,b=-1 或a=-,b=0,所 以f(x)=x(x+1)(x-1),k=f′(0)=-1,切線方程為x+y=0.答案為A.

題4(2021 年全國高考乙卷文科第21 題) 已知函數(shù)f(x)=x3-x2+ax+1.

(1)討論f(x)的單調(diào)性;

(2)求曲線y=f(x)過坐標(biāo)原點的切線與曲線y=f(x)的公共點的坐標(biāo).

(2)設(shè)過原點的切線l:y=kx,切點A橫坐標(biāo)為x0,直線l與曲線公共點的另一個交點橫坐標(biāo)為x1,由推論2 可得2x0+x1=1,根據(jù)三次函數(shù)韋達定理可得,解得x0=1,x1=-1,故公共點橫坐標(biāo)為1 或-1.

題5(2016 年天津高考理科第20 題) 設(shè)函數(shù)f(x)=(x-1)3-ax-b,x ∈R,其中a,b ∈R.

(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2) 若f(x) 存在極值點x0,且f(x1)=f(x0),其中x1x0,求證:x1+2x0=3.

(2)f(x)=(x-1)3-ax-b的對稱中心橫坐標(biāo)為1,根據(jù)推論1 可得x1+2x0=3.

題6(2016 年佛山普通高中高三教學(xué)質(zhì)量檢測一理科第12 題)設(shè)直線y=t與曲線C:y=x(x-3)2的三個交點分別為A(a,t),B(b,t),C(c,t),且a ＜b ＜c.現(xiàn)給出如下結(jié)論:

其中正確結(jié)論的個數(shù)為( ).

A.0 B.1 C.2 D.3

解析令x(x-3)2-t=0,化簡得x3-6x2+9x-t=0,由三次函數(shù)韋達定理可得a+b+c=6,ab+bc+ac=0,abc=t,結(jié)合三次函數(shù)圖像可得t ∈(0,4),a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ac)=18,由結(jié)論3 可知c-a ∈.答案為C.