奇偶討論 柳暗花明
——從河北省名校最新聯(lián)考一道數(shù)列題談起

安徽省太湖中學(xué)(246400) 李昭平

安徽省安慶市綠地實(shí)驗(yàn)學(xué)校(246001) 項(xiàng)張榮

1 試題分析

則柳暗花明,實(shí)現(xiàn)證明目標(biāo).數(shù)學(xué)解題的智慧,讓考生拍案叫絕.

2 解答過(guò)程

3 運(yùn)用強(qiáng)化

我們知道,數(shù)列遞推式中的腳碼、數(shù)列通項(xiàng)的分段表示、求數(shù)列的通項(xiàng)與和式、證明數(shù)列不等式、比較大小關(guān)系等等,常常要涉及到對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶討論,有時(shí)對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶討論又是必須的,否則無(wú)法求解.比如上述引例就是如此,從中聯(lián)想到對(duì)項(xiàng)數(shù)n奇偶討論,又在無(wú)法直接放縮的探究中,聯(lián)想到并項(xiàng)后整體放縮,轉(zhuǎn)化為熟知的等比數(shù)列求和,新穎獨(dú)特,具有很好的創(chuàng)新性

3.1 在求通項(xiàng)中對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶討論

點(diǎn)評(píng)本題在利用遞推公式時(shí)要注意左邊Sn,Sn-2的腳碼,如果對(duì)項(xiàng)數(shù)不分奇偶討論,疊加會(huì)很麻煩,甚至無(wú)法求和,所以對(duì)項(xiàng)數(shù)分奇偶討論是必須的.本例在求數(shù)列通項(xiàng)公式時(shí),因?yàn)檫f推公式中的符號(hào)影響引起對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶分類.

3.2 在求和中對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶討論

例3已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且2Sn=an+n2,其中n ∈N*.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2)設(shè)bn=(-1)nan+2n,求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)的和Tn.

解析(1)當(dāng)n≥2 時(shí),2Sn-1=an-1+(n-1)2與2Sn=an+n2相減得,2an=an-an-1+n2-(n-1)2,即an+an-1=2n-1,因此an+1+an=2n+1.兩式相減得,an+1-an-1=2,所以an=n,n ∈N*.

(2)易知

點(diǎn)評(píng)本題一是考查遞推數(shù)列的函數(shù)觀點(diǎn)求通項(xiàng);二是考查并項(xiàng)求和法,注意對(duì)項(xiàng)數(shù)n奇偶討論求和式.

3.3 在比較大小中對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶討論

解析(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d,則

點(diǎn)評(píng)本題以等差數(shù)列和分段數(shù)列為載體,通過(guò)給定的條件構(gòu)建方程組,得到{an}和{bn}的通項(xiàng),再求和式Sn與Tn,作差比較Sn與Tn的大小.其中求Tn時(shí)必須對(duì)項(xiàng)數(shù)n奇偶討論是難點(diǎn),也是易錯(cuò)點(diǎn)和關(guān)鍵點(diǎn).能有效考查學(xué)生對(duì)分段數(shù)列的理解、項(xiàng)數(shù)n奇偶時(shí)Tn表達(dá)式的特征、運(yùn)算技巧和邏輯推理能力.

3.4 在求最值中對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶討論

例5(2023 年6 月重慶七校三模) 已知數(shù)列{an}是單調(diào)遞增的等比數(shù)列,且各項(xiàng)均為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,a1a5=81,S2,a3,a4-S3成等差數(shù)列.

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;

(2) 若數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn滿足: 6Tn-bn=5(n ∈N*).求{anbn}的前n項(xiàng)和Pn的最小值.

點(diǎn)評(píng)本題一是考查遞推數(shù)列的函數(shù)觀點(diǎn)求通項(xiàng);二是考查和式Pn的單調(diào)性(類比函數(shù)單調(diào)性處理),此時(shí)要對(duì)項(xiàng)數(shù)n奇偶討論.

3.5 在恒成立問(wèn)題中對(duì)項(xiàng)數(shù)奇偶討論

例6(2024 年1 月安徽合肥?？?已知數(shù)列{an}滿足an+an+1=4n-3(n ∈N*).

以上我們從一道最新模考題出發(fā),通過(guò)分析、解答、運(yùn)用,強(qiáng)化了數(shù)列中對(duì)項(xiàng)數(shù)n奇偶討論的認(rèn)識(shí)與理解.這給我們的啟示是: 好的高考題或?？碱}往往具有針對(duì)性、示范性和創(chuàng)新性,如果認(rèn)真思考、認(rèn)真研究、認(rèn)真比較,就能得到很多有價(jià)值的東西.數(shù)學(xué)教師如果在教學(xué)中恰當(dāng)運(yùn)用,能有效培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性、深刻性、廣闊性,促使學(xué)生的思維能力和解題水平達(dá)到一個(gè)新的高度.