以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)試題命制的實(shí)踐與思考
——以一道以“隱圓”為背景的解三角形多選題的命制為例

廣東省佛山市第一中學(xué)(528000) 王彩鳳

數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)包括數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)據(jù)分析,是思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的綜合體現(xiàn),是在數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)和應(yīng)用過程中逐步形成和發(fā)展的[1].為發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng),教師需要引導(dǎo)學(xué)生去理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),提高應(yīng)用意識(shí),而不是讓學(xué)生機(jī)械地背誦知識(shí)和解題方法.高質(zhì)量的試題會(huì)具有較強(qiáng)的導(dǎo)向性,所以,數(shù)學(xué)試題的命制應(yīng)以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,關(guān)注數(shù)學(xué)的本質(zhì),考查學(xué)生的能力和核心素養(yǎng).筆者在參加“命題·評(píng)題·品題”比賽中,命制了一道以“隱圓”為背景的解三角形多選題,命題過程印象深刻,獲益匪淺.本文以此題的命制為例,談?wù)勔院诵乃仞B(yǎng)為導(dǎo)向的高中數(shù)學(xué)試題命制的步驟與策略.

1 命題構(gòu)思

1.1 明確要求

解三角形與“隱圓”知識(shí)之間存在密切聯(lián)系,命制的解三角形多選題以“隱圓”為背景,圍繞三角形的邊、角、面積等元素設(shè)計(jì)問題,題干力求簡(jiǎn)潔,考查正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面向量、圓等相關(guān)知識(shí).試題的求解突出強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)三角形和圓的基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法的深入理解和靈活應(yīng)用,難度為中檔偏難.

1.2 命題立意

依據(jù)新課程標(biāo)準(zhǔn)的要求,數(shù)學(xué)試題的考查內(nèi)容不僅要聚焦學(xué)生對(duì)重要數(shù)學(xué)概念、定理、方法、思想的理解和應(yīng)用,還應(yīng)適度增加試題的思維量,發(fā)揮人才選拔功能[1].以“隱圓”為背景的解三角形多選題的命制,注重考查學(xué)生綜合應(yīng)用知識(shí)的能力,要求學(xué)生能突破原有思維的禁錮,挖掘題目中變與不變的量,創(chuàng)新性地解決問題.試題考查了轉(zhuǎn)化與化歸、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法,考查了學(xué)生的直觀想象能力、邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力、創(chuàng)新能力等關(guān)鍵能力,考查了直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng),體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性的考查要求.

2 試題的命制過程

2.1 設(shè)計(jì)思路

以“隱圓”為背景的解三角形試題的命制,擬以多三角形組合的模型作為研究的載體,圍繞三角形的邊、角、面積等元素設(shè)計(jì)題目條件和問題.解答者既可以利用正弦定理解三角形,也可以借助題目中定長(zhǎng)、定角條件構(gòu)造輔助圓,創(chuàng)新性地解決問題.

2.2 選材研究

根據(jù)設(shè)計(jì)思路,筆者重點(diǎn)研究了2020 年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)II 卷第17 題,并以此題為基礎(chǔ)進(jìn)行創(chuàng)作.

原題(2020 年新高考數(shù)學(xué)全國(guó)II 卷第17 題)ΔABC中,sin2A-sin2B-sin2C=sinBsinC,(1)求A;(2)若BC=3,求ΔABC周長(zhǎng)的最大值.

圖1

解法1、2 是常規(guī)的解題思路,解法3 在解答題中應(yīng)用雖然不夠嚴(yán)謹(jǐn),但其關(guān)注到邊角之間存在的聯(lián)系,根據(jù)定角構(gòu)造輔助圓這一做法,若能應(yīng)用于選擇題或者填空題,則可極大降低運(yùn)算量,提高思維量,又可考查學(xué)生的空間想象能力、創(chuàng)新解決問題的能力.受此題啟發(fā),筆者以“隱圓”為背景,命制了一道解三角形多選題.

2.3 聯(lián)系與搭架

2.3.1 確定三角形模型

命題初步設(shè)想,基于“爪型”三角形模型,通過設(shè)定合適的邊角條件,構(gòu)造輔助圓,探求三角形中角度、邊長(zhǎng)與面積的最值問題.如圖2,“爪型”三角形之“中線模型”,可以構(gòu)造以D為圓心,以AB為直徑的圓;如圖3,“爪型”三角形之“角平分線模型”,可以分別構(gòu)造ΔACD和ΔBCD的外接圓;如圖4,“爪型”三角形之“高模型”,可以構(gòu)造ΔACD的外接圓.

圖2

圖3

圖4

在以上“爪型”三角形模型中,均可以“隱圓”為背景設(shè)計(jì)問題.但這些設(shè)想已經(jīng)有很多現(xiàn)成的題目,筆者想在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步創(chuàng)新命題,選擇了圖5 的多三角形模型作為命題的基礎(chǔ)模型.

圖5

2.3.2 問題的確定

題干設(shè)計(jì)為: 如圖5,ΔABC中,AB=,點(diǎn)D,E為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn).

圖6

圖7

圖8

圖9

從A 到D 選項(xiàng),試題設(shè)計(jì)簡(jiǎn)潔新穎,呈現(xiàn)出入口寬、起點(diǎn)低、坡度緩、尾巴翹的特點(diǎn),方法多且具有明顯的層次性,體現(xiàn)“多思少算”的命題理念,既考查了學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本思想方法,又考查了學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新解決問題的能力.

2.3.3 確定成題

多選題如圖10,ΔABC中,AB=,點(diǎn)D,E為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn).以下說法中正確的是( ).

圖10

參考答案A,B,D.

2.4 解答分析

2.4.1 思路分析

對(duì)于A 選項(xiàng),可用代數(shù)法,利用余弦定理和方程思想求出AC,BC之間的關(guān)系式,再代入

由此判斷ΔABC為鈍角三角形.也可用幾何法,觀察圖形發(fā)現(xiàn)CD=DE=DB,則點(diǎn)C在以D為圓心,以BE為直徑的圓上運(yùn)動(dòng)(不與B,E重合),從圖中可以直觀地看出∠ACB為鈍角.

對(duì)于C 選項(xiàng),利用正弦定理將邊化為角,將BC長(zhǎng)度的最值轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題;也可以像B 選項(xiàng)的解法3一樣,根據(jù)定角∠ACD構(gòu)造ΔACD的外接圓,則點(diǎn)C為優(yōu)弧上的動(dòng)點(diǎn),當(dāng)C在BO的延長(zhǎng)線上時(shí),此時(shí)BC的長(zhǎng)度最大.

對(duì)于D 選項(xiàng),第一種解法是分別在ΔCED和ΔACD中應(yīng)用正弦定理,通過共同邊CD建立方程求解;第二種解法是根據(jù)面積等量關(guān)系=2 建立方程求解;第三種解法是根據(jù)ΔABC的對(duì)稱性建立平面直角坐標(biāo)系,求出ΔACD和ΔBCE的外接圓方程,聯(lián)立兩圓方程求出點(diǎn)C的坐標(biāo),再應(yīng)用數(shù)量積公式求解cos ∠DCE.

2.4.2 解法呈現(xiàn)

對(duì)于A 選項(xiàng),設(shè)∠A,∠B,∠ACB所對(duì)的邊分別為a,b,c,有以下兩種解法.

圖11

圖12

圖13

對(duì)于D 選項(xiàng),有以下三種解法.

圖14

圖15

故D 正確.

3 試題的評(píng)價(jià)分析

解三角形多選題的命制,立足于高考試題,以“隱圓”為背景,以數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,考查了正弦定理、余弦定理、基本不等式、平面向量、圓等基礎(chǔ)知識(shí),難度中檔偏難,對(duì)學(xué)生的綜合能力要求較高.本題在解題方法上具有多樣性,鼓勵(lì)思維創(chuàng)新,引導(dǎo)學(xué)生在解三角形時(shí),要關(guān)注的首先是幾何的關(guān)系,然后才是函數(shù)與代數(shù)的關(guān)系[2],要求學(xué)生能以整體的視角審視問題,抓住問題本質(zhì),遷移思想方法,創(chuàng)造性地解決問題.本題考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合、函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法,有助于提升學(xué)生的直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)(見表1).

表1 數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的表現(xiàn)及其級(jí)別

4 命題反思

4.1 立足基礎(chǔ),素養(yǎng)導(dǎo)向

試題的命制需要立足基礎(chǔ),依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 年版)》所規(guī)定的內(nèi)容和要求,以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向,創(chuàng)建合理的問題情境,設(shè)計(jì)的問題不僅要考慮知識(shí)點(diǎn)的覆蓋面、題目的難度,也要考慮切合教學(xué)實(shí)際、符合學(xué)生的學(xué)習(xí)和生活實(shí)際.同時(shí),問題的解決應(yīng)具備入口寬、起點(diǎn)低、坡度緩、尾巴翹的特點(diǎn),允許多角度解決問題,鼓勵(lì)思維創(chuàng)新[3],考查學(xué)生的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想方法和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維品質(zhì),提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

4.2 深度研究,創(chuàng)新命題

試題的命制還需要在反套路、反機(jī)械刷題上下功夫,所以命題時(shí)還需要深入研究相關(guān)的知識(shí),盡量選用新背景、新材料,或者融合知識(shí)點(diǎn),創(chuàng)設(shè)新的問題情境,巧妙設(shè)問.對(duì)于一些經(jīng)典題型,可以對(duì)其進(jìn)行改造、升華或者使用新的設(shè)問方式等,變成一道新穎的題型.命題要注重引導(dǎo)學(xué)生去理解數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì),提高學(xué)生的知識(shí)遷移能力、邏輯推理能力和創(chuàng)新能力.

4.3 反思自身,提升能力

研究命題是教師的一項(xiàng)重要工作,不僅能加深教師自己對(duì)所教知識(shí)的理解,同時(shí)也可以為課堂教學(xué)提供服務(wù).要命制好一道題,并不容易,教師必須要認(rèn)真研讀《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017 版)》的要求,研究教材、研究教法、了解學(xué)情,明確知識(shí)和能力的考核點(diǎn).同時(shí),教師在教學(xué)或者解題的過程中,要收集積累對(duì)自己有用的素材,不斷充實(shí)完善自己的理論知識(shí)庫(kù),提升研究能力,才能更好地命制出科學(xué)的、有創(chuàng)造性的、有針對(duì)性的試題,進(jìn)而以題來引領(lǐng)教學(xué),切實(shí)提高課堂教學(xué)質(zhì)量.