巧借幾何特征 形解圓錐曲線
——以2024 年九省聯(lián)考第18 題為例

湖州市濱湖高級中學(313000) 鄭夢華

浙江省湖州中學(313000) 祝峰澤

解析幾何是一種借助解析式進行圖形研究的幾何學分支,高中解析幾何常借助平面直角坐標系將幾何問題代數(shù)化從而研究圖形的幾何性質.圓錐曲線問題是高考數(shù)學的最大熱門之一,其分值大、難度高,常出現(xiàn)在壓軸題.本著“小題小做”的原則,選擇和填空題中往往采用數(shù)形結合思想解題,解答題常采用通法——韋達定理將幾何問題代數(shù)化,但是純代數(shù)方法意味著徹底摒棄了解析幾何的核心——形,機械式的計算,隨著試題難度的增加,得到的代數(shù)式愈加復雜,對學生的運算素養(yǎng)和應試能力提出更高的要求,此時回歸問題的幾何本質顯得更加重要.近日教育部組織命題的九省聯(lián)考中,筆者解18 題時使用了代數(shù)方法,雖最終順利解決,但其過程可謂“翻山越嶺”,此時不免思考,能否利用條件中的中點等幾何特征,將問題“化繁為簡”? 在其他圓錐曲線問題中能否也這樣“大題小做”? 基于此,文章分別對拋物線、橢圓、雙曲線三個問題對代數(shù)法和幾何法進行比較,由此,得到一些建議和反思.

1 原題呈現(xiàn)

例1(2024 年九省聯(lián)考第18 題)已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點F的直線l交C于A,B兩點,過F與l垂直的直線交C于D,E兩點,其中B,D在x軸上方,M,N分別為AB,DE的中點.

(1)證明: 直線MN過定點;

(2)設G為直線AE與直線BD的交點,求ΔGMN面積的最小值.

分析 相較常規(guī)圓錐曲線試題,該試題兩小問均有一定難度,其中第(1)問采用韋達定理解決即可.試題第(2)問求三角形面積的最值,如延續(xù)第(1)問思路設點設線結合韋達定理也可解出,但計算過程中涉及到多個參數(shù),對學生的應試能力是一大挑戰(zhàn),若能尋找其中的幾何關系,可極大減少運算量.試題考查學生運用坐標解決平面解析幾何問題的能力,同時也突出解析幾何中“形”的主體,既讓天賦較差的學生有路可走,也體現(xiàn)出高考選拔人才的主旨.

2 以“形”妙解圓錐曲線

2.1 拋物線中的應用

2.2 橢圓中的應用

2.3 雙曲線中的應用

評注解法一為常規(guī)的分類討論,設出不同的標準方程,利用兩點間的距離公式求解函數(shù)的最值,計算量偏大,其中還涉及到二次函數(shù)最值分類討論問題.解法二在得到漸近線方程后只需計算點到漸近線的距離即可.

3 總結和反思

文章從三種圓錐曲線的例題出發(fā),將代數(shù)方法和幾何方法進行比較,結果表明在解決圓錐曲線解答題時適當借助幾何特征,能夠避免多參數(shù)、大數(shù)據(jù)計算等困難,也為考試節(jié)約出寶貴的時間.

教育部《普通高中數(shù)學課程標準》修訂組組長王尚志教授提出,中國學生在數(shù)學學習中應培養(yǎng)好數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、數(shù)學運算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析六大核心素養(yǎng).《普通高中數(shù)學課程(2017 年版)》將學生在直觀想象方面的素養(yǎng)列為六大數(shù)學學科核心素養(yǎng)之一.平面解析幾何其核心是“幾何”,但是,在我國高中數(shù)學課堂往往摒棄了幾何特征,甚至在圓的問題中也使用韋達定理等代數(shù)方法,這不利于學生的直觀想象素養(yǎng)提升.通過幾道例題的思考,我認為在高中數(shù)學解析幾何課堂中,要更多地強調條件或問題的幾何特征,尤其是涉及到垂直、面積、中點等條件時應充分挖掘內在的幾何信息,不能簡單地丟給學生“韋達定理硬算”一句話,同時對于一類問題,可引導學生建立數(shù)學模型,將復雜的文字、數(shù)量關系轉化成直觀的圖形,從而理解該問題的幾何本質,也落實了學生的直觀想象核心素養(yǎng).