由坐標(biāo)確定位置的一點(diǎn)思考

學(xué)習(xí)了平面直角坐標(biāo)系這一章內(nèi)容后，我覺(jué)得平面直角坐標(biāo)系中圖形位置的變化與點(diǎn)的坐標(biāo)變化之間的關(guān)系很有趣，但又有些困惑。于是，我對(duì)平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)的位置變化進(jìn)行了一些探究和思考。

如圖1，點(diǎn)A（-1，0）、B（1，0）關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，線(xiàn)段AB被y軸垂直平分，那么點(diǎn)O就是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)?，F(xiàn)將線(xiàn)段AB沿x軸向右平移2個(gè)單位（如圖2），則平移后的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，0）、B（3，0），對(duì)稱(chēng)軸也隨之向右平移2個(gè)單位，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C（2，0）。繼續(xù)將線(xiàn)段AB沿y軸向上平移1個(gè)單位（如圖3），平移后的A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，1）、B（3，1），此時(shí)對(duì)稱(chēng)軸沒(méi)有變化，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)為C（2，1）。此時(shí)，我發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象，三個(gè)圖形中線(xiàn)段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)和A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)有共同的規(guī)律：線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是A、B橫坐標(biāo)之和的一半，縱坐標(biāo)和A、B縱坐標(biāo)相等。

接下來(lái)我改變了點(diǎn)B的位置，在圖3的基礎(chǔ)上將點(diǎn)B向上平移一個(gè)單位，此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，2），點(diǎn)A的位置不變（如圖4）。這時(shí)候我發(fā)現(xiàn)，線(xiàn)段AB的中點(diǎn)C仍然在圖3中線(xiàn)段AB的對(duì)稱(chēng)軸上，所以橫坐標(biāo)沒(méi)有變化，仍是點(diǎn)A、B橫坐標(biāo)之和的一半；但縱坐標(biāo)發(fā)生了變化，從圖中的位置看，大于點(diǎn)A的縱坐標(biāo)，且小于點(diǎn)B的縱坐標(biāo)。如何求出點(diǎn)C的縱坐標(biāo)呢？我陷入了沉思。

在認(rèn)真閱讀了教材中關(guān)于點(diǎn)的坐標(biāo)的概念后，我了解到要求點(diǎn)C的縱坐標(biāo)，就是要求出點(diǎn)C到x軸的距離。但苦思冥想后，我還是不知道該如何求解，于是請(qǐng)教了老師。老師提示我要抓住“點(diǎn)C是AB中點(diǎn)”這一關(guān)鍵條件，巧用三角形全等的知識(shí)解決這個(gè)問(wèn)題。

在老師的指導(dǎo)下，我順利構(gòu)造了如圖5的一對(duì)全等三角形：△ACE與△BCD，其中∠AEC=∠BDC=90°。于是就得到了CE=CD=[12]，進(jìn)而求得CH=CE+EH=[12]+1=[32]，即點(diǎn)C到x軸的距離為[32]，最后得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2，[32]）。這時(shí)我發(fā)現(xiàn)點(diǎn)C的縱坐標(biāo)也是點(diǎn)A、B縱坐標(biāo)之和的一半。

于是我作了如下猜想：對(duì)于平面直角坐標(biāo)系中任意兩點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），當(dāng)C（x，y）是線(xiàn)段AB中點(diǎn)時(shí)，則有x=[x1+x22]，y=[y1+y22]。我把自己的猜想和老師進(jìn)行了交流，老師肯定了我的猜想，并鼓勵(lì)我和同學(xué)們一起作更一般化的探索。在和同學(xué)們一起討論交流后，我們進(jìn)行了一般化的推理，推理過(guò)程如下：

如圖6，過(guò)點(diǎn)C作x軸的垂線(xiàn)MN，分別過(guò)點(diǎn)A、B作直線(xiàn)MN的垂線(xiàn)，垂足分別為點(diǎn)E、D，則∠AEC=∠BDC=90°。

又∵∠ACE=∠BCD，AC=BC，

所以△ACE≌△BCD。

所以AE=BD，CE=CD，

即x-x1=x2-x，y-y1=y2-y。

所以x=[x1+x22]，y=[y1+y22]。

教師點(diǎn)評(píng)：

小作者在探究平面直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的位置變化與其坐標(biāo)數(shù)量變化之間的關(guān)系時(shí)，發(fā)現(xiàn)并自主探索得到了中點(diǎn)坐標(biāo)公式，巧用本學(xué)期剛學(xué)過(guò)的三角形全等的知識(shí)給出了推理和論證，在探索過(guò)程中加深了對(duì)數(shù)形結(jié)合這一重要數(shù)學(xué)思想方法的理解。這種基于對(duì)數(shù)學(xué)的興趣和好奇而進(jìn)行的探索之旅，體現(xiàn)了小作者樂(lè)學(xué)善學(xué)，善于發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、解決問(wèn)題的良好思維品質(zhì)。

（指導(dǎo)教師：方秀林）