關(guān)注結(jié)構(gòu)·優(yōu)化運(yùn)算·發(fā)展素養(yǎng)

摘? 要：圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容之一，是考查學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的重要載體. 基于2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第21題所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)探究解決問(wèn)題的一般思路與方法，構(gòu)建解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu). 優(yōu)化解題運(yùn)算過(guò)程，發(fā)展數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：教學(xué)過(guò)程；構(gòu)建結(jié)構(gòu)；數(shù)學(xué)運(yùn)算；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）02-0054-06

引用格式：劉守文. 關(guān)注結(jié)構(gòu)·優(yōu)化運(yùn)算·發(fā)展素養(yǎng)：2023年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅱ卷第21題解法探究及思考［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：54-59.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》（以下簡(jiǎn)稱《標(biāo)準(zhǔn)》）指出，平面解析幾何的研究對(duì)象是幾何圖形，所用的研究方法主要是代數(shù)方法. 平面解析幾何的基本特征是以坐標(biāo)系為研究工具，通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算來(lái)研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.

本文基于2023年高考解析幾何試題中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，遵循用坐標(biāo)法研究幾何圖形的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系這一基本思路和方法，從不同視角探究試題的解法，優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算，構(gòu)建解決解析幾何問(wèn)題的一般數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).

一、試題呈現(xiàn)

二、試題分析

三、試題推廣

四、基于結(jié)構(gòu)化視域的圓錐曲線復(fù)習(xí)備考建議

《標(biāo)準(zhǔn)》明確指出，重視以學(xué)科大概念為核心，使課程內(nèi)容結(jié)構(gòu)化，促進(jìn)學(xué)科核心素養(yǎng)的落實(shí). 喻平教授指出，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的成分難以在單個(gè)知識(shí)點(diǎn)上表現(xiàn)出來(lái)，它往往隱藏在知識(shí)體系、知識(shí)結(jié)構(gòu)之中. 可見(jiàn)，單元教學(xué)是發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的路徑之一，教學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)化是實(shí)施單元教學(xué)的有效策略.

1. 整合單元內(nèi)容，優(yōu)化數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)運(yùn)算是研究平面解析幾何的核心素養(yǎng)主線，貫穿于點(diǎn)、直線、圓錐曲線等數(shù)學(xué)知識(shí)學(xué)習(xí)的全過(guò)程，是聯(lián)系平面解析幾何知識(shí)內(nèi)容的紐帶. 新授課受新知發(fā)展邏輯順序的約束，而復(fù)習(xí)內(nèi)容不同于新授課，可以站在單元整體的高度，優(yōu)化原有的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，整合單元內(nèi)容資源，突出數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng). 例如，對(duì)該試題數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，突出了平面解析幾何的數(shù)學(xué)內(nèi)容本質(zhì)——利用幾何圖形建立直觀、通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律. 平面解析幾何首先是幾何問(wèn)題，離不開(kāi)點(diǎn)、直線、曲線這些幾何直觀圖形；平面解析幾何還是代數(shù)問(wèn)題，是通過(guò)點(diǎn)的坐標(biāo)、直線、曲線的方程的聯(lián)立來(lái)解決幾何圖形的位置和度量問(wèn)題. 數(shù)與形貫穿于整個(gè)平面解析幾何知識(shí)內(nèi)容之中，幾何問(wèn)題與代數(shù)表征構(gòu)成了平面解析幾何不可或缺的內(nèi)容結(jié)構(gòu).

2. 立足認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)

學(xué)生通過(guò)對(duì)問(wèn)題內(nèi)容結(jié)構(gòu)的構(gòu)建，將其內(nèi)化為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，在大腦中檢索解決類似問(wèn)題的一般經(jīng)驗(yàn)與方法，并通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)算完成驗(yàn)證. 該題幾種解法的算式結(jié)構(gòu)的變化是在認(rèn)知結(jié)構(gòu)的調(diào)節(jié)、監(jiān)控與指引下實(shí)現(xiàn)的，學(xué)生在運(yùn)算過(guò)程中不斷反思、探索優(yōu)化運(yùn)算的路徑，步步遞進(jìn)、層層承接. 運(yùn)算是數(shù)學(xué)的“童子功”，要重視運(yùn)算的通性通法. 例如，思路1的直接求解運(yùn)算，雖然計(jì)算過(guò)程煩瑣，但是思路自然、算理簡(jiǎn)樸、實(shí)用性強(qiáng)，能夠揭示數(shù)學(xué)內(nèi)容的本質(zhì). 無(wú)獨(dú)有偶，聯(lián)系人教A版新、舊兩版教材對(duì)平面解析幾何“點(diǎn)到直線的距離公式”內(nèi)容中點(diǎn)到直線的距離公式的推導(dǎo)過(guò)程的處理差異，《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（2004年）給出了用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)點(diǎn)到直線的距離的探究思路，隨后指出“上述方法思路自然，但運(yùn)算較繁”，轉(zhuǎn)到用“面積法”推導(dǎo)公式. 《普通高中教科書(shū)·數(shù)學(xué)》（2019年）沒(méi)有回避“運(yùn)算較繁”這個(gè)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生參與這個(gè)問(wèn)題的計(jì)算過(guò)程，重視對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算能力的培養(yǎng)，再進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生思考引起運(yùn)算量大的原因，啟發(fā)學(xué)生嘗試優(yōu)化運(yùn)算方法. 從單元教學(xué)的視角來(lái)看，數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)的發(fā)展不是一蹴而就的，而是落實(shí)在新授課、復(fù)習(xí)課等各種課型的教學(xué)實(shí)踐中逐步發(fā)展的，其發(fā)展具有連續(xù)性和階段性. 對(duì)于圓錐曲線的復(fù)習(xí)課，每節(jié)課的數(shù)學(xué)內(nèi)容不盡相同，但問(wèn)題本身蘊(yùn)含的思想方法、問(wèn)題解決的一般方法卻有相似之處. 因此，立足數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)可以幫助學(xué)生跳出“知識(shí)千面”與“題目百變”的囹圄，站在數(shù)學(xué)思想方法的高度梳理知識(shí)、審視問(wèn)題，能夠更好地透過(guò)“問(wèn)題現(xiàn)象”直達(dá)“知識(shí)本質(zhì)”.

3. 整體把握結(jié)構(gòu)，重構(gòu)數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)

數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)不是獨(dú)立存在的，而是相互關(guān)聯(lián)、相互依存的. 學(xué)生將數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)內(nèi)化為數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)，經(jīng)過(guò)理解、整合，數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)反向充實(shí)數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu). 同時(shí)，由數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)構(gòu)建數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)，通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)方法的歸納與推廣，不斷充實(shí)數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)和數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)，從而形成內(nèi)容更豐富、認(rèn)知更嚴(yán)密、方法層次更高的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu). 在這個(gè)良性循環(huán)重構(gòu)的過(guò)程中獲取“四基”、培養(yǎng)“四能”、發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng). 其與“四基”、“四能”、數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的關(guān)系如圖6所示.

[數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)][數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)][數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu)] [內(nèi)化] [構(gòu)建] [充實(shí)][充實(shí)][充實(shí)][歸納、推廣] [獲取“四基”] [培養(yǎng)“四能”] [發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)][圖6]

數(shù)學(xué)教科書(shū)是以基本單元內(nèi)容為結(jié)構(gòu)來(lái)編排的，單元內(nèi)容結(jié)構(gòu)是數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)最重要的來(lái)源之一. 由于學(xué)生對(duì)教科書(shū)單元編排內(nèi)容理解的深刻性存在差異，導(dǎo)致數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)有差異，從而影響解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法的選取. 例如，該題思路2的解法4，借助教科書(shū)例題和探究?jī)?nèi)容的啟發(fā)，挖掘、梳理教科書(shū)不同問(wèn)題內(nèi)容的相同解法結(jié)構(gòu). 受知識(shí)發(fā)生發(fā)展的邏輯順序的制約，教科書(shū)無(wú)法將“3.1 橢圓”的例3和“3.2 雙曲線”的探究?jī)?nèi)容放在一起探究，此處需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的認(rèn)知思維，在單元視角下重構(gòu)單元數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)、單元認(rèn)知結(jié)構(gòu)和單元方法結(jié)構(gòu).

五、結(jié)語(yǔ)

卜以樓老師從結(jié)構(gòu)化視角將復(fù)習(xí)課講解歸納為三個(gè)層次：從有到有（對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行結(jié)構(gòu)梳理），從有到更有（對(duì)學(xué)過(guò)的知識(shí)進(jìn)行創(chuàng)造性結(jié)構(gòu)梳理），從無(wú)到有（讓復(fù)習(xí)課成為新授課）. 筆者的理解是，從有到有體現(xiàn)了對(duì)原有數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)進(jìn)行固化、應(yīng)用與梳理；從有到更有是對(duì)原有數(shù)學(xué)內(nèi)容結(jié)構(gòu)加入了認(rèn)知成分，優(yōu)化了原有的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)；從無(wú)到有打破了原有的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，重新構(gòu)建了更高層次的數(shù)學(xué)方法結(jié)構(gòu). 構(gòu)建是基于基層構(gòu)架邏輯的破與立，是對(duì)數(shù)學(xué)“四基”的原創(chuàng)性整合，是培養(yǎng)數(shù)學(xué)“四能”的重要手段，是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得以發(fā)展的載體.

參考文獻(xiàn)：

［1］李昌官. 試論數(shù)學(xué)教學(xué)的結(jié)構(gòu)性原則［J］. 課程·教材·教法，2002（5）：35-37.

［2］中華人民共和國(guó)教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］. 北京：人民教育出版社，2020.

［3］喻平. 數(shù)學(xué)單元結(jié)構(gòu)教學(xué)的四種模式［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2020，59（5）：1-8，15.

［4］章建躍. 利用幾何圖形建立直觀? 通過(guò)代數(shù)運(yùn)算刻畫(huà)規(guī)律：解析幾何內(nèi)容分析與教學(xué)思考（之一）［J］. 數(shù)學(xué)通報(bào)，2021，60（7）：7-14.