一道高考試題的品讀及教學(xué)啟示

摘? 要：從一道高考試題的品讀開(kāi)始，基于教考一致，較系統(tǒng)地梳理高考試題賞析的基本內(nèi)涵，從中獲得教學(xué)啟示并提出教學(xué)建議. 助力教師轉(zhuǎn)變教學(xué)觀念和教學(xué)方式，完善課堂教學(xué)實(shí)施并提質(zhì)增效，促進(jìn)有效教學(xué)和學(xué)科育人.

關(guān)鍵詞：高考試題品讀；教學(xué)啟示；教考一致；學(xué)科育人

中圖分類號(hào)：G633.6? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ?文章編號(hào)：1673-8284（2024）02-0060-05

引用格式：吳光潮. 一道高考試題的品讀及教學(xué)啟示：2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第14題評(píng)析［J］. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育（高中版），2024（2）：60-64.

隨著新課程、新教材、新高考的深入推進(jìn)，“一核、四層、四翼”的高考評(píng)價(jià)理念已經(jīng)被一線教師廣為熟悉，但是在實(shí)踐層面深化課堂教學(xué)內(nèi)涵、落實(shí)課程改革理念仍有許多值得厘清和研究的問(wèn)題. 例如，核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力和必備知識(shí)的具體內(nèi)涵是什么？新高考試題是怎樣考查的？教師在日常教學(xué)中應(yīng)該如何依標(biāo)施教，教考銜接，有效落實(shí)高考命題的基本理念？本文以2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷第14題為例，梳理高考試題賞析的基本內(nèi)涵，從中獲得教學(xué)啟示，并提出教學(xué)建議.

一、對(duì)基于高考評(píng)價(jià)體系的試題評(píng)析的認(rèn)識(shí)

1. 高考試題評(píng)析維度

（1）“一核、四層、四翼”在宏觀層面的素質(zhì)教育內(nèi)涵.

《中國(guó)高考評(píng)價(jià)體系》（以下簡(jiǎn)稱《體系》）中明確了高考的核心功能、考查內(nèi)容和考查要求，以及“一核、四層、四翼”的概念及其在素質(zhì)教育發(fā)展中的內(nèi)涵. 同時(shí)，創(chuàng)造性地提出了高考命題理念從“知識(shí)立意、能力立意”向“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”轉(zhuǎn)變的理論基礎(chǔ)與方法論基礎(chǔ). 因此，基于高考評(píng)價(jià)體系的數(shù)學(xué)試題評(píng)析，宏觀上要把握基本內(nèi)涵要求：“一核”（核心功能），立德樹(shù)人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)；“四層”（考查內(nèi)容），核心價(jià)值、學(xué)科素養(yǎng)、關(guān)鍵能力、必備知識(shí)；“四翼”（考查要求），基礎(chǔ)性、綜合性、應(yīng)用性、創(chuàng)新性；“情境”（考查載體），問(wèn)題情境.

（2）“一核、四層、四翼”在微觀層面的學(xué)科表征內(nèi)涵.

《體系》對(duì)相關(guān)概念給出了一級(jí)指標(biāo)和二級(jí)指標(biāo)的具體描述. 例如，“核心價(jià)值”共有3個(gè)一級(jí)指標(biāo)和10個(gè)二級(jí)指標(biāo)，“學(xué)科素養(yǎng)”共有3個(gè)一級(jí)指標(biāo)和9個(gè)二級(jí)指標(biāo)，等等. 學(xué)科素養(yǎng)對(duì)核心價(jià)值予以重點(diǎn)體現(xiàn)，而關(guān)鍵能力和必備知識(shí)的應(yīng)用，也強(qiáng)調(diào)在正確價(jià)值觀的指導(dǎo)下進(jìn)行. 根據(jù)學(xué)科特點(diǎn)，需要在微觀上厘清“一核、四層、四翼”的學(xué)科表征內(nèi)涵，明確與學(xué)科相適應(yīng)的相關(guān)要求的具體內(nèi)容，確保將其落實(shí)到學(xué)科考試與教學(xué)中. 鑒于此，筆者聚焦數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、數(shù)學(xué)能力、思想方法、必備知識(shí)、問(wèn)題情境等數(shù)學(xué)高考試題的主要考查維度及其基本內(nèi)涵進(jìn)行簡(jiǎn)要梳理，如表1、表2和表3所示，基于SOLO分類理論與“四翼”進(jìn)行內(nèi)涵分析，如表4所示.

增強(qiáng)基礎(chǔ)性的高考命題要求，主要指加強(qiáng)考查學(xué)生基本概念、基本原理、基本思想方法等必備知識(shí)和關(guān)鍵能力；增強(qiáng)綜合性的高考命題要求，主要指體現(xiàn)考查學(xué)生綜合運(yùn)用學(xué)科知識(shí)、思維方法，多角度地觀察、思考，發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力等綜合素質(zhì)和學(xué)科素養(yǎng)（其中，推理論證能力和抽象概括能力貫穿全卷，重點(diǎn)考查）；加強(qiáng)應(yīng)用性的高考命題要求，主要指注重理論密切聯(lián)系實(shí)際，考查學(xué)生運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，注重將學(xué)科內(nèi)容與國(guó)家經(jīng)濟(jì)社會(huì)發(fā)展、科學(xué)進(jìn)步、生產(chǎn)生活實(shí)際等緊密聯(lián)系起來(lái)設(shè)置新穎的問(wèn)題情境，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注社會(huì)進(jìn)步和科學(xué)發(fā)展；增強(qiáng)探究性和開(kāi)放性的高考命題要求，主要指考查學(xué)生運(yùn)用批判性和創(chuàng)新性思維方法的獨(dú)立思考能力、基于情境的探究性和設(shè)問(wèn)的開(kāi)放性從多角度思考而發(fā)展個(gè)性，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí).

2. 高考試題賞析案例

題目 （2022年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷·14）寫出與圓[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的一條直線的方程__________.

基于上述梳理，對(duì)該題進(jìn)行以下幾點(diǎn)賞析解讀.

（1）解題思路效能多元，為不同水平的學(xué)生提供展示平臺(tái)，服務(wù)選拔和“雙減”.

試題以兩個(gè)已知圓為背景，通過(guò)圓的方程可以知道兩個(gè)圓的基本信息及兩個(gè)圓的位置關(guān)系，將符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言，可以直觀判斷兩個(gè)圓的公切線有3條，包括外公切線[m]，[n]和內(nèi)公切線[l]，如圖1所示.

然而，求各條切線方程的問(wèn)題解決難度和效益各異.

方案1：求外公切線[n]. 幾何直觀法快捷作答（直接觀察得到方程[x=-1]）.

方案2：求內(nèi)公切線[l]. 二級(jí)結(jié)論法快捷作答（兩圓的一般方程直接相減，消掉二次項(xiàng)，化簡(jiǎn)即可）.

方案3：通性通法（待定系數(shù)法）求三條公切線中的某一條. 在分秒必爭(zhēng)的高考答題期間耗時(shí)較多. 以求外公切線方程為例，需要利用向量（或定比分點(diǎn)）先求出兩個(gè)圓心連線與切線的交點(diǎn)坐標(biāo)（如點(diǎn)[B]），由[BO=RORCBC=14BC]，求出點(diǎn)[B-1，-43]，從而設(shè)外公切線方程為[x+1=ky+43]，再利用相切（點(diǎn)到直線的距離等于半徑）即可求得k，從而得外公切線[m]，[n]的方程. 同理，可以求出點(diǎn)[A]的坐標(biāo)及內(nèi)公切線[l]的方程.

該題的解法以通性通法為基礎(chǔ)，一題多解，為不同能力水平的學(xué)生提供了打破常規(guī)進(jìn)行獨(dú)立思考和判斷、提出不同問(wèn)題解決方案的展示空間，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)效能的獲得感，有利于服務(wù)“雙減”. 該題不同解法效能各異，對(duì)不同思維水平的學(xué)生進(jìn)行了有效區(qū)分.

（2）考查載體簡(jiǎn)單友好，具有開(kāi)放性和探究性，助力教學(xué).

試題呈現(xiàn)方式友好：語(yǔ)言（符號(hào)）簡(jiǎn)約、數(shù)字簡(jiǎn)單，屬于純數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)探索情境. 該題的結(jié)果具有很好的開(kāi)放性，一題多解，難度各異. 通過(guò)簡(jiǎn)單的情境活動(dòng)，即啟動(dòng)單一的認(rèn)知活動(dòng)（數(shù)形結(jié)合基本思想、兩圓的內(nèi)公切線的二級(jí)結(jié)論求解等單一知識(shí)點(diǎn)和基本能力）或者較復(fù)雜的認(rèn)知活動(dòng)（通性通法、待定系數(shù)法），均可以促使學(xué)生較順利地完成考查目標(biāo). 試題可以繼續(xù)挖掘、探究?jī)蓤A處于其他位置關(guān)系時(shí)（內(nèi)切、相離）求解公切線方程的通性通法，具有較好的引導(dǎo)教學(xué)的發(fā)展性功能.

（3）考查內(nèi)容內(nèi)涵豐富，體現(xiàn)試題形簡(jiǎn)而神不簡(jiǎn)，啟迪命題和測(cè)評(píng).

必備知識(shí)層面，試題考查了高中數(shù)學(xué)主干知識(shí)解析幾何中的圓與圓、直線和圓的位置關(guān)系等基本概念及基本性質(zhì)；思想方法層面，試題重點(diǎn)考查了函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想；學(xué)科能力層面，試題重點(diǎn)考查了學(xué)生的邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力和綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)充分體現(xiàn)了對(duì)閱讀理解、信息整理、批判性思維等關(guān)鍵能力的考查；核心素養(yǎng)層面，較好地考查了學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、邏輯推理等素養(yǎng). 試題充分體現(xiàn)了簡(jiǎn)單試題也能有豐富的內(nèi)涵、功能，為“偏、難、怪”試題提供了命題“糾偏”和測(cè)評(píng)的思路.

（4）考查要求科學(xué)全面，體現(xiàn)基礎(chǔ)性、綜合性和創(chuàng)新性，明確高考導(dǎo)向和考查方法.

若學(xué)生選擇方案1和方案2，問(wèn)題的解決測(cè)評(píng)出的是學(xué)生基礎(chǔ)的知識(shí)和能力水平，考查試題具有的基礎(chǔ)性；若學(xué)生選擇方案3，則需要綜合運(yùn)用平面幾何、解析幾何和向量等知識(shí)，計(jì)算會(huì)相對(duì)復(fù)雜，突出考查學(xué)生的直觀想象素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和邏輯推理能力，體現(xiàn)了試題的綜合性. 試題背景來(lái)源于教材，為學(xué)生較好地設(shè)計(jì)和提供了多樣的思考角度、解題路徑和方法，全面系統(tǒng)地考查了學(xué)生對(duì)核心概念、基本原理和基本方法的掌握程度，從而體現(xiàn)出學(xué)生思維的靈活性；試題基于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的考查命制，但又打破了固有的命題思路（基礎(chǔ)知識(shí)單一考、封閉考），充分體現(xiàn)了試題的創(chuàng)新性. 試題在強(qiáng)化和深化基礎(chǔ)性的同時(shí)，注重不同知識(shí)內(nèi)容之間的內(nèi)在聯(lián)系，要求學(xué)生多角度和開(kāi)放式地思考問(wèn)題，這種導(dǎo)向和考查方法體現(xiàn)了新高考的鮮明特征.

（5）滲透關(guān)鍵能力考查，體現(xiàn)問(wèn)題解決的方式方法，凸顯能力和素養(yǎng).

高考數(shù)學(xué)試題對(duì)關(guān)鍵能力的考查貫穿解決問(wèn)題的全過(guò)程. 對(duì)于該題，在接觸問(wèn)題之初，閱讀理解能力起關(guān)鍵作用——學(xué)生需要有圓與圓、直線和圓的位置關(guān)系的數(shù)學(xué)知識(shí)背景做基礎(chǔ)和依托，理解題干中圓的標(biāo)準(zhǔn)方程這個(gè)符號(hào)語(yǔ)言的數(shù)學(xué)含義（明確兩圓的半徑、圓心及其相關(guān)關(guān)系），并轉(zhuǎn)化為兩圓相外切的圖形語(yǔ)言（畫出幾何圖形——該題是高考無(wú)圖考圖的范例）. 在求解過(guò)程中，信息整理能力發(fā)揮關(guān)鍵作用——學(xué)生對(duì)兩圓的位置關(guān)系的幾何圖形進(jìn)行加工、整理，進(jìn)一步抽象其中包含的內(nèi)、外公切線與圓心連線的交點(diǎn)[A]，[B]，以及對(duì)應(yīng)“定比”等解題的關(guān)鍵信息，為基于對(duì)圖形的加工選擇解題方案并順利解決問(wèn)題奠定基礎(chǔ)；批判性思維能力發(fā)揮主要作用——運(yùn)用已有知識(shí)經(jīng)驗(yàn)對(duì)3種解題方案或某一種解題方案進(jìn)行審慎思考、分析比較、評(píng)價(jià)重構(gòu)、推理論證等，這是學(xué)生解決問(wèn)題的重要能力，也是學(xué)生終身發(fā)展所需要的素養(yǎng)．

二、基于教考一致性的教學(xué)啟示及建議

1. 強(qiáng)化試題研究，明確高考考查內(nèi)涵要求，指導(dǎo)教學(xué)實(shí)踐

從對(duì)該題的分析可知，高考試題對(duì)“一核、四層、四翼”的貫徹是深刻和一以貫之的，不僅體現(xiàn)在高考命題理念內(nèi)涵的全面覆蓋上，還體現(xiàn)在對(duì)中、低檔試題解決過(guò)程的深入滲透中：創(chuàng)新命題形式，引導(dǎo)教學(xué)注重培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)和關(guān)鍵能力，增強(qiáng)試題的開(kāi)放性，鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用創(chuàng)造性、發(fā)散性思維分析問(wèn)題和解決問(wèn)題，引導(dǎo)教學(xué)注重培育學(xué)生的創(chuàng)新精神. 因此，高考備考需要抓高考試題考查的“關(guān)鍵詞”：學(xué)科素養(yǎng)、主干知識(shí)、結(jié)構(gòu)化（聯(lián)系性）、思想方法、關(guān)鍵能力、開(kāi)放性、探究性、創(chuàng)新性……不僅要思考高考考查的內(nèi)涵，還要將內(nèi)涵明確于心，對(duì)標(biāo)試題設(shè)計(jì)教學(xué)實(shí)踐活動(dòng).

2. 優(yōu)化教學(xué)策略，開(kāi)展問(wèn)題解決探究活動(dòng)，培養(yǎng)學(xué)科能力

該題包含三種問(wèn)題解決方案，如何選擇直接影響該題的答題效益，乃至整卷的答題效益. 這里不僅有必備知識(shí)的基礎(chǔ)性作用，更有靈活運(yùn)用知識(shí)、融會(huì)貫通的關(guān)鍵能力的強(qiáng)力支撐. 高考試題“反機(jī)械刷題”，強(qiáng)調(diào)“融會(huì)貫通、學(xué)以致用”，因?yàn)榍罢咚⒌氖恰岸栊灾R(shí)”，不能解決問(wèn)題，后者能夠靈活運(yùn)用“活性知識(shí)”，可以解決問(wèn)題. 要適應(yīng)高考，變“惰性知識(shí)”為“活性知識(shí)”，必須強(qiáng)化從“解題”轉(zhuǎn)變?yōu)椤敖鉀Q問(wèn)題”，培養(yǎng)學(xué)科能力、關(guān)鍵能力. 優(yōu)化教學(xué)策略，開(kāi)展問(wèn)題解決探究活動(dòng)是培養(yǎng)學(xué)科能力的有效途徑. 高三后期的備考，可以基于高考試題針對(duì)性地設(shè)計(jì)微專題教學(xué)活動(dòng)，主要從思想方法、解題活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)、思維訓(xùn)練等層面做到聚焦和統(tǒng)一，圍繞一個(gè)開(kāi)放情境進(jìn)行一“境”到底的學(xué)習(xí)探究，圍繞一個(gè)典型問(wèn)題進(jìn)行一題多解或一題多變的教學(xué)實(shí)施，圍繞一條主線進(jìn)行一線串通的教學(xué)組織，等等. 學(xué)習(xí)活動(dòng)實(shí)施流程如圖2所示.

3. 深化解題探討，增強(qiáng)探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，服務(wù)學(xué)生發(fā)展

由該題可以窺見(jiàn)高考試題對(duì)“價(jià)值引領(lǐng)、素養(yǎng)導(dǎo)向、能力為重、知識(shí)為基”導(dǎo)向的深化.“一核、四層、四翼”既是國(guó)家深化新時(shí)代高考內(nèi)容改革的硬性要求，也是一線教師教學(xué)的理論支撐和實(shí)踐指南. 教師需要深化命題和解題探討，聚焦素養(yǎng)、突出主線、精選內(nèi)容、把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、啟發(fā)思考，提升探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，服務(wù)教學(xué)和學(xué)生發(fā)展. 例如，基于該題在復(fù)習(xí)備考中的變式實(shí)踐，可以命制如下變式題.

變式1：寫出一條與圓[x+12+y-12=1]和[x-32+]

[y-42=36]都相切的直線的方程.

由題意知兩圓內(nèi)切（外公切線即為所求）. 將原題外切變?yōu)閮?nèi)切，原方案2、方案3仍然可用，開(kāi)放性降低，思維難度有所提升.

變式2：寫出與圓[x2+y2=1]和[x-32+y-42=16]都相切的所有直線的方程.

變式2實(shí)際上是要求出原題圖1中的三條切線，變結(jié)論開(kāi)放為全封閉，提高了思維難度.

變式3：直線[l]上的每個(gè)點(diǎn)到圓[x2+y2=49]和[x-52+y-122=400]的切線長(zhǎng)都相等，寫出一條滿足條件的直線[l]的方程.

由題意知兩圓內(nèi)切. 實(shí)際上，外公切線上的任意一點(diǎn)到兩圓的切線長(zhǎng)都等于該點(diǎn)到兩圓的公共切點(diǎn)的距離，所以該題只需要求出外公切線的方程即可. 該題考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，對(duì)學(xué)生思維品質(zhì)的要求有所提升.

變式4：若三個(gè)點(diǎn)[M]，[N]，[P]中，每個(gè)點(diǎn)到圓[x2+y2=16]和[x-32+y-42=1]的切線長(zhǎng)都相等，則[M]，[N]，[P]的坐標(biāo)可以分別是____________.

由題意知兩圓外切. 實(shí)際上，該題只需要求出內(nèi)公切線直線的方程，然后取其任意三點(diǎn)即可——因該題涉及符合條件的公切線的選擇，故思維難度相對(duì)于變式3進(jìn)一步提升.

上述命題變式，可以使學(xué)生從多角度深化對(duì)問(wèn)題本質(zhì)的認(rèn)識(shí)，提高解決問(wèn)題的能力——將平面幾何知識(shí)轉(zhuǎn)化與化歸為解析幾何知識(shí)（判斷圓的位置關(guān)系，求公切線方程）.

綜上所述，認(rèn)真做好命題和解題探討，從中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的本質(zhì)、總結(jié)解題規(guī)律，是提高解決問(wèn)題能力的重要途徑. 解題探討可以圍繞一題多解、方法思路的適用性、特殊性推論與一般性推廣、條件與結(jié)論的變化關(guān)系、逆命題探究、命題應(yīng)用等方面進(jìn)行（不限于此，也非每題均需如此多方面探討）. 基于此開(kāi)展教學(xué)，可以靈活思路、開(kāi)闊視野，培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，尋求知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，獲取結(jié)構(gòu)化的知識(shí)；通過(guò)問(wèn)題的解決，不僅有助于培養(yǎng)學(xué)生一般的推理能力，而且有助于培養(yǎng)學(xué)生探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力，以及發(fā)散思維和創(chuàng)新思維.

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》強(qiáng)調(diào)：優(yōu)化課程結(jié)構(gòu)，為學(xué)生發(fā)展提供共同基礎(chǔ)和多樣化選擇；突出數(shù)學(xué)主線，凸顯數(shù)學(xué)的內(nèi)在邏輯和思想方法；精選課程內(nèi)容，處理好數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)與知識(shí)技能之間的關(guān)系，提升學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)解決實(shí)際問(wèn)題的能力，同時(shí)注重?cái)?shù)學(xué)文化的滲透. 教師立足于高考試題的研究，確立核心素養(yǎng)導(dǎo)向的課程目標(biāo)，設(shè)計(jì)體現(xiàn)結(jié)構(gòu)化特征的課程內(nèi)容，實(shí)施促進(jìn)學(xué)生發(fā)展的教學(xué)活動(dòng)，可以有效促進(jìn)“教考一致”，推進(jìn)課程改革理念在課堂教學(xué)中有效落地.

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