構(gòu)建“有深度”數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)發(fā)生

【摘 要】課堂作為數(shù)學(xué)課程實(shí)施的主要陣地，擔(dān)負(fù)著發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的重要任務(wù)。在中學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師可以通過(guò)情境激趣、問(wèn)題驅(qū)動(dòng)、體驗(yàn)積淀、道理感悟等方式，引領(lǐng)“情境—問(wèn)題”教學(xué)，構(gòu)建“有深度”數(shù)學(xué)課堂，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)教學(xué)；核心素養(yǎng)；“有深度”數(shù)學(xué)課堂；“三度”數(shù)學(xué)課堂；正弦定理

【中圖分類號(hào)】G633.6? 【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A? 【文章編號(hào)】1005-6009（2024）11-0019-05

【作者簡(jiǎn)介】姜文，貴州師范大學(xué)（貴陽(yáng)，550025）數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院講師。

有深度的數(shù)學(xué)課堂是指：教師在教學(xué)過(guò)程中以“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”為基本教育理念進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，同時(shí)依托教學(xué)環(huán)境實(shí)施教學(xué)，從而使學(xué)生在學(xué)習(xí)中達(dá)到深度學(xué)習(xí)的目標(biāo)，進(jìn)而落實(shí)學(xué)生核心素養(yǎng)尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培養(yǎng)。［1］本文聚焦構(gòu)建核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學(xué)“有深度”的數(shù)學(xué)課堂進(jìn)行探索，擬為一線教師的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)提供參考。

一、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學(xué)“有深度”數(shù)學(xué)課堂的實(shí)施途徑

從實(shí)操層面講，“深度學(xué)習(xí)”是指學(xué)生學(xué)習(xí)興趣濃厚，能提出問(wèn)題、解決問(wèn)題，能自主地、探究式地學(xué)習(xí)，能理解學(xué)習(xí)內(nèi)容的核心，能在表達(dá)、交流中促進(jìn)所學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用的學(xué)習(xí)方式。因而，深度學(xué)習(xí)應(yīng)指向引領(lǐng)學(xué)生深層次、批判性思考。為此，一要有“核心問(wèn)題”引領(lǐng)課堂學(xué)習(xí)，用問(wèn)題激活學(xué)生思考；二要留出時(shí)間、空間，引導(dǎo)學(xué)生在探究中學(xué)習(xí)，獲得知識(shí)再發(fā)現(xiàn)的體驗(yàn)；三要引導(dǎo)學(xué)生在生生、師生對(duì)話中把握知識(shí)的內(nèi)涵，在自主解決問(wèn)題的交流中加深思考。數(shù)學(xué)是思維的產(chǎn)物，數(shù)學(xué)教育重在培育學(xué)生的思維能力。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，重在讓學(xué)生在獨(dú)立思考、自主探索中長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理。因此，我們主張用“三教”引領(lǐng)“情境—問(wèn)題”教學(xué)，構(gòu)建“有深度”的數(shù)學(xué)課堂，促進(jìn)學(xué)生“長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理”，引導(dǎo)深度學(xué)習(xí)發(fā)生。

“有深度”的數(shù)學(xué)課堂利于學(xué)生養(yǎng)成“愛(ài)思考、重體驗(yàn)、善表達(dá)”的學(xué)習(xí)習(xí)慣：愛(ài)思考是引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)發(fā)生的靈魂，重體驗(yàn)是引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)發(fā)生的關(guān)鍵，善表達(dá)是引導(dǎo)學(xué)生深度學(xué)習(xí)發(fā)生的重點(diǎn)。［1］因此，結(jié)合“有深度”的數(shù)學(xué)課堂注重引導(dǎo)學(xué)生積極思考、自主體驗(yàn)、善于表達(dá)的特征［1］，我們認(rèn)為核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學(xué)“有深度”數(shù)學(xué)課堂需要圍繞如下四點(diǎn)實(shí)施教學(xué)［2］-［3］：

（一）情境激趣

教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題情境來(lái)激發(fā)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，特別是要恰當(dāng)應(yīng)用學(xué)習(xí)情境激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。這里的問(wèn)題情境要在考慮學(xué)生認(rèn)知水平的基礎(chǔ)上，注重趣味性與挑戰(zhàn)性相結(jié)合，注重培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和實(shí)踐能力。情境可以與學(xué)生生活實(shí)際聯(lián)系起來(lái)，但要注意情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)元素和數(shù)學(xué)道理。

（二）問(wèn)題驅(qū)動(dòng)

教師要引導(dǎo)學(xué)生在對(duì)問(wèn)題情境的探究中發(fā)現(xiàn)問(wèn)題和提出問(wèn)題，通過(guò)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)，層層遞進(jìn)，引發(fā)學(xué)生的數(shù)學(xué)思考。這里，要注意問(wèn)題設(shè)置的層次性和挑戰(zhàn)性，教學(xué)中要關(guān)注學(xué)生個(gè)體差異，注重團(tuán)隊(duì)合作。

（三）體驗(yàn)積淀

教師要通過(guò)活動(dòng)探索，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)體驗(yàn)的積淀；要引導(dǎo)學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，獲得知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的體驗(yàn)。

（四）道理感悟

教師要鼓勵(lì)學(xué)生批判、質(zhì)疑，激發(fā)學(xué)生表達(dá)和求知的欲望，引導(dǎo)學(xué)生在表達(dá)交流中深度思考、感悟道理，促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理。

二、核心素養(yǎng)導(dǎo)向下中學(xué)“有深度”數(shù)學(xué)課堂的教學(xué)案例

（一）創(chuàng)設(shè)情境，提出問(wèn)題

情境：某地為了在一條河上建一座橋，施工前在河兩岸打上兩個(gè)橋位樁A和B。（如圖1）現(xiàn)要確定A，B兩點(diǎn)之間的距離。施工隊(duì)的測(cè)量人員是這樣做的：第一步，在岸邊定出基線BC，測(cè)量出BC=78.35m；第二步，用測(cè)量?jī)x器測(cè)得∠B=69°43′，∠C=41°12′；第三步，根據(jù)以上兩步的結(jié)果計(jì)算AB的長(zhǎng)。你知道測(cè)量人員為什么要這樣做嗎？

（圖1）

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)巧妙設(shè)置數(shù)學(xué)情境，以學(xué)生熟悉的情境為載體，巧妙設(shè)置“角邊角”型的解三角形問(wèn)題，調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，讓學(xué)生體驗(yàn)數(shù)學(xué)與生活的關(guān)聯(lián)，體會(huì)正弦定理在解決實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。

（二）模型抽象，問(wèn)題探究

師：為了研究的方便，我們將情境中的問(wèn)題抽出來(lái)，并對(duì)數(shù)據(jù)做特殊化處理，變?yōu)橐韵聠?wèn)題。

【問(wèn)題1】如圖2，在△ABC中，已知∠B =75°，∠C = 45°，BC = 4，求AB的長(zhǎng)。

（圖2）

這個(gè)問(wèn)題學(xué)生會(huì)有多種思路，教學(xué)中教師要在肯定其他解決方法的同時(shí)，重點(diǎn)關(guān)注利于發(fā)現(xiàn)正弦定理的思路，把學(xué)生引到正弦定理的發(fā)現(xiàn)上來(lái)。例如，如下思路對(duì)發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理具有重要啟發(fā)：

如下頁(yè)圖3，由題可知，∠A = 60°，作AC邊上的高BD，記AB = c，BC = a。則sinC = [BDBC]，即BD = asinC = 4×[22] = 2[2]，同理BD = csinA=[32]c，因此[32]c = 2[2]，解得c = [463]。

這里，教師需要引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注兩個(gè)方面：一是該思路蘊(yùn)含了等量關(guān)系asinC = csinA，即[asinA] = [csinC]（為引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理作鋪墊）；二是直角三角形中一條直角邊與其對(duì)角的正弦的比的幾何意義是該直角三角形的斜邊（為引導(dǎo)學(xué)生利用三角形外接圓證明正弦定理作鋪墊）。

【設(shè)計(jì)意圖】將實(shí)際問(wèn)題抽象為利于研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，為進(jìn)一步研究一般三角形的情形作鋪墊，同時(shí)也為發(fā)現(xiàn)和證明正弦定理作鋪墊，在“體驗(yàn)”中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和直觀想象素養(yǎng)。

【問(wèn)題2】在△ABC中，已知∠B = 75°，∠C = 45°，BC = 4，如何求AC的長(zhǎng)？

【問(wèn)題3】問(wèn)題1和問(wèn)題2的結(jié)果表明，在銳角△ABC中，若角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，則有[asinA] = [bsinB] = [csinC]。這是偶然還是必然？為什么？與同學(xué)交流。

【設(shè)計(jì)意圖】為學(xué)生發(fā)現(xiàn)正弦定理提供線索、作鋪墊，同時(shí)為學(xué)生“體驗(yàn)”從特殊到一般的思維過(guò)程提供平臺(tái)。通過(guò)“教思考”，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

【問(wèn)題4】我們已經(jīng)知道在銳角△ABC中有[asinA] = [bsinB] = [csinC]，這個(gè)結(jié)論在直角三角形和鈍角三角形中成立嗎？為什么？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生深層次、批判性思考，在表達(dá)、交流中促進(jìn)所學(xué)知識(shí)的遷移和應(yīng)用，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)；引導(dǎo)學(xué)生在問(wèn)題的探究中增長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)，獲得知識(shí)“再發(fā)現(xiàn)”的體驗(yàn)。同時(shí)，通過(guò)讓學(xué)生回答該問(wèn)題達(dá)到完善用作高法證明正弦定理的目的。

【問(wèn)題5】你能用一句話來(lái)表述你發(fā)現(xiàn)的一般結(jié)論嗎？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生用簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言正確表述正弦定理的內(nèi)容，培養(yǎng)其表達(dá)能力，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。

（三）定理發(fā)現(xiàn)，證法研析

基于以上討論，學(xué)生自主探究得到本節(jié)的重要定理——正弦定理：在一個(gè)三角形中，各邊和它所對(duì)角的正弦的比相等，即[asinA] = [bsinB] = [csinC]。其中a，b，c分別為角A，B，C所對(duì)的邊。

【問(wèn)題6】你現(xiàn)在明白開(kāi)始給的情境中測(cè)量人員那樣做的原理了嗎？對(duì)此，你有什么感想？談?wù)勀愕恼J(rèn)識(shí)。

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生借助正弦定理快速地解決情境中的問(wèn)題，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系。同時(shí)，在交流與表達(dá)中進(jìn)一步激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)其學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)目標(biāo)的達(dá)成。

【問(wèn)題7】向量是溝通幾何與代數(shù)的重要橋梁。同時(shí)，向量是解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要工具，特別是涉及長(zhǎng)度、夾角等幾何問(wèn)題時(shí)，可以通過(guò)向量及其運(yùn)算得到快速解決。對(duì)于正弦定理的證明，可以從向量的角度來(lái)思考嗎？如果可以，怎么做？

【設(shè)計(jì)意圖】在經(jīng)歷作高法證明正弦定理之后引導(dǎo)學(xué)生用向量法證明正弦定理，培養(yǎng)其發(fā)散思維。教學(xué)中，教師以銳角三角形為例引導(dǎo)學(xué)生思考，而把直角三角形和鈍角三角形的情形留給學(xué)生課后完成，并要求學(xué)生撰寫向量法證明正弦定理的體會(huì)和感想。

【問(wèn)題8】正弦定理的形式非常優(yōu)美，它給出了任意三角形中三條邊與它們各自所對(duì)的角的正弦之間的一個(gè)定量關(guān)系。結(jié)合這個(gè)關(guān)系式，你覺(jué)得正弦定理可以解決哪些類型的問(wèn)題？

【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生從定理本身的形式出發(fā)思考定理的用途——正弦定理可以解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問(wèn)題和“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形”的問(wèn)題。

（四）典例剖析，方法歸納

例1：在△ABC中，已知∠A = 15°，∠B = 45°，c= 3+[3]，解這個(gè)三角形。

【設(shè)計(jì)意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩角和一邊，解三角形”的問(wèn)題。

例2：在△ABC中，已知∠B = 30°，b = [2]，c= 2，解這個(gè)三角形。

【設(shè)計(jì)意圖】直接利用正弦定理解決“已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形”的問(wèn)題，同時(shí)啟發(fā)學(xué)生關(guān)注對(duì)正弦定理解三角形中多解問(wèn)題的討論，特別是如何根據(jù)正弦定理判定解的個(gè)數(shù)問(wèn)題。

（五）課堂小結(jié)，延伸思考

1.課堂小結(jié)

教師引導(dǎo)學(xué)生從以下三方面作小結(jié)：一是本節(jié)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法；二是正弦定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程；三是在定理的發(fā)現(xiàn)和證明過(guò)程中感悟了什么道理。

2.延伸思考

思考1：如果[asinA] = [bsinB] = [csinC] = k，那么實(shí)數(shù)k的幾何意義是什么呢？它可否由△ABC的某個(gè)（些）元素來(lái)確定？

【設(shè)計(jì)意圖】每個(gè)三角形都可以當(dāng)作是某個(gè)圓的內(nèi)接三角形，而三角形的邊均變成了圓的弦。［4］從數(shù)學(xué)歷史發(fā)展的角度來(lái)設(shè)置問(wèn)題，為給出正弦定理的完整形式作鋪墊的同時(shí)，引出正弦定理的外接圓證法。

思考2：利用正弦定理能否推出余弦定理呢？與同伴交流。

【設(shè)計(jì)意圖】余弦定理、正弦定理和射影定理是解三角形的理論依據(jù)［5］，但是教材中沒(méi)有突出射影定理，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生論證正弦定理和余弦定理的等價(jià)性，以此深化學(xué)生對(duì)這兩個(gè)定理的認(rèn)識(shí)，從而實(shí)現(xiàn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)。

三、結(jié)束語(yǔ)

“有深度的數(shù)學(xué)課堂能夠促進(jìn)學(xué)生對(duì)科學(xué)思想方法的感悟”［1］，其前提是以教師精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題來(lái)引領(lǐng)學(xué)生思考、體驗(yàn)和表達(dá)交流。作為“有深度”數(shù)學(xué)課堂指導(dǎo)思想的“三教”是一個(gè)整體，教師通過(guò)問(wèn)題和情境引導(dǎo)學(xué)生在思考中體驗(yàn)，在體驗(yàn)中思考，在思考和體驗(yàn)的基礎(chǔ)上更準(zhǔn)確地表達(dá)，并在體驗(yàn)和表達(dá)中產(chǎn)生新的思考，進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生長(zhǎng)見(jiàn)識(shí)、悟道理。故而，在設(shè)計(jì)教學(xué)時(shí)，問(wèn)題之間的邏輯結(jié)構(gòu)就變得十分重要，“問(wèn)題與問(wèn)題之間是否具有內(nèi)在的統(tǒng)一性和遞進(jìn)關(guān)系，決定著課堂學(xué)習(xí)推進(jìn)的程度，看似獨(dú)立的問(wèn)題，也應(yīng)當(dāng)成為學(xué)生思維發(fā)展的臺(tái)階”［6］?！坝猩疃取钡慕虒W(xué)要求教師首先要對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)有深刻的理解，只有抓住數(shù)學(xué)的本質(zhì)，才能引發(fā)學(xué)生的思考。因此，教學(xué)中需要教師在充分理解數(shù)學(xué)本質(zhì)的基礎(chǔ)上精心設(shè)計(jì)隱蔽型的問(wèn)題，并將學(xué)習(xí)的多重目標(biāo)融入其中。這里，隱蔽型的問(wèn)題不是“簡(jiǎn)單”的問(wèn)題，而是要盡量使問(wèn)題體現(xiàn)“追求簡(jiǎn)潔表面下的思維洶涌，用盡量簡(jiǎn)潔的語(yǔ)言蘊(yùn)藏豐富的數(shù)學(xué)知識(shí)”［6］。

上述教學(xué)案例從一個(gè)精心設(shè)計(jì)的問(wèn)題情境出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生研究情境中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)問(wèn)題，并對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行特殊化處理，通過(guò)問(wèn)題串的形式引導(dǎo)學(xué)生在分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的過(guò)程中發(fā)現(xiàn)原理（正弦定理），進(jìn)而證明原理的正確性，體驗(yàn)從特殊到一般的思維方式。同時(shí)，學(xué)生在獲得正弦定理之后進(jìn)一步用它解決問(wèn)題，感受正弦定理在解決問(wèn)題中的“威力”。通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生“思考”“體驗(yàn)”和“表達(dá)”，在經(jīng)歷定理的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用的過(guò)程中促進(jìn)學(xué)生深度學(xué)習(xí)，促進(jìn)學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)抽象、直觀想象、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)。值得注意的是，新課標(biāo)將“解三角形”內(nèi)容放在“平面向量的應(yīng)用”中，其目的是“體現(xiàn)向量學(xué)習(xí)的整體性”［7］，“意在為向量的應(yīng)用提供一個(gè)重要載體，使學(xué)生進(jìn)一步領(lǐng)悟向量法所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，掌握用向量運(yùn)算解決幾何問(wèn)題的基本要領(lǐng)和方法的同時(shí)，完善三角形的認(rèn)知結(jié)構(gòu)”［8］。因此，向量法證明正弦定理是需要教師引導(dǎo)學(xué)生訓(xùn)練的。受課堂教學(xué)時(shí)間的限制，教師將在課堂上無(wú)法完成的部分布置給學(xué)生課后完成，讓學(xué)生有足夠的時(shí)間和空間體驗(yàn)正弦定理的不同證法之間的比較（特別是向量法），并撰寫心得體會(huì)。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)表達(dá)能力，進(jìn)而利于學(xué)生對(duì)思想方法的深度理解和把握，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的提升。因?yàn)槲淖值谋磉_(dá)需要學(xué)生經(jīng)過(guò)周密的思考，“沒(méi)有思考就沒(méi)有體驗(yàn)，沒(méi)有體驗(yàn)就難以表達(dá)，表達(dá)是思考和體驗(yàn)的結(jié)果”。

【參考文獻(xiàn)】

［1］嚴(yán)虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學(xué)“三度”數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建的一些思考［J］.數(shù)學(xué)通訊，2023（9）：6-9.

［2］唐海軍，呂傳漢.數(shù)學(xué)教學(xué)為什么需要“教思考、教體驗(yàn)、教表達(dá)”——“三教”教學(xué)理念與實(shí)踐的再探析［J］.中小學(xué)教師培訓(xùn)，2019（10）：51-55.

［3］李龍梅，嚴(yán)虹.核心素養(yǎng)視閾下中小學(xué)“三度”數(shù)學(xué)課堂構(gòu)建的再思考［J］.興義民族師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2023（4）：64-69.

［4］張小明.正弦定理的證明：從歷史到教學(xué)［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2015，54（7）：15-17，22.

［5］黃漢禹.對(duì)正弦定理和余弦定理的研討［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2011，50（6）：21-23，26.

［6］陳薇，沈書生.小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中深度問(wèn)題的研究——基于專家教師課堂提問(wèn)的案例分析［J］.課程·教材·教法，2019，39（10）：118-123.

［7］人民教育出版社，課程教材研究所，中學(xué)數(shù)學(xué)課程教材研究開(kāi)發(fā)中心.普通高中教科書教師教學(xué)用書A版數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)［M］.北京：人民教育出版社，2019：14.

［8］章建躍.核心素養(yǎng)立意的高中數(shù)學(xué)課程教材教法研究［M］.上海：華東師范大學(xué)出版社，2021：152.