Riesz模范疇的完備性和余完備性

李丹陽，湯建鋼，2

（1.伊犁師范大學 數(shù)學與統(tǒng)計學院，新疆 伊寧 835000；2.伊犁師范大學 應用數(shù)學研究所，新疆 伊寧 835000）

自Birkhoff提出格序群［1］概念以來，序代數(shù)理論得到迅猛發(fā)展，Birkhoff等人研究了格序群的一般結(jié)構(gòu)和分解理論，并將格序結(jié)構(gòu)引入到環(huán)上，提出了格序環(huán)的相關概念［2］。Riesz將格序結(jié)構(gòu)引入到向量空間，形成了Riesz空間的一些基礎理論［3］。模作為域上線性空間概念的推廣，已經(jīng)成為當代重要的代數(shù)結(jié)構(gòu)之一。崔曉宇等人在戴天佑研究的基礎上將Riesz空間推廣到左R-模上，定義了Riesz模的概念，討論了左R-模上Riesz空間的相關性質(zhì)，為左R-模上Riesz空間理論的研究奠定了基礎［4-5］。孫銳娟等人在格序群、格序環(huán)以及格序結(jié)構(gòu)Riesz空間概念的基礎上，研究了左R-模上Riesz空間的同態(tài)與同構(gòu)的相關性質(zhì)［6］。劉曉芳等人在Riesz模范疇概念的基礎上，研究了Riesz模簇的直積與直和，并對其相關性質(zhì)進行了證明［7］。

范疇論是以抽象的方式處理數(shù)學結(jié)構(gòu)并研究不同結(jié)構(gòu)之間的聯(lián)系而成為一個重要的現(xiàn)代數(shù)學基礎理論。范疇的完備性和余完備性是兩個重要的性質(zhì)，張娟娟等人證明了Ω-左R-模范疇是完備的［10］，耿俊等人證明了Ω-Cat范疇是完備的［11］，徐曉泉證明了完全分配格范疇具有完備性和余完備性［13］?；谝陨涎芯勘尘?，文章討論了Riesz模范疇中的乘積和余積、等值子和余等值子，進而證明了Riesz模范疇具有完備性和余完備性。

1 預備知識

定義1［9］設L為一個偏序集，如果對任意的a,b∈L，sup{a,b}與inf{a,b}均存在且都在L中，則稱偏序集L是一個格，分別用a∨b與a∧b表示sup{a,b}與inf{a,b}，并且用四元序(L,≤,∨,∧)表示格，簡記為(L,≤).

定義2［5］設(G,+)是一個Abel群，如果(G,+,≤)是一個格，且滿足相容性條件，即對任意的a,b,c∈G，a≤b?a+c≤b+c，則稱(G,+,≤)是一個Abel格序群，簡稱Abell-群。

定義3［5］設(R,+,·)是一個具有單位元的環(huán)，如果(R,+,·,≤)是一個格，且滿足下列相容性條件，即對任意的r,s,t∈R:

（1）r≤s?t+r≤t+s；

（2）0 ≤r,0 ≤s?0 ≤rs；則稱(R,+,·,≤)是一個格序環(huán)，簡稱l-環(huán)。

定義4［6］設M是左R-模，如果(R,+,·,≤)是具有單位元的l-環(huán)，(M,+,≤)是Abell-群，且滿足下列相容性條件，即對任意的m,n,p∈M，r∈R:

（1）m≤n?p+m≤p+n；

（2）0 ≤r,0 ≤m?0 ≤rm；則稱(M,+,≤)是一個格序左R-模，簡稱Riesz模。

定義5［6］設(M,+,≤)是Riesz模，N是M的子集，并且(N,+)是(M,+)的子模，(N,≤)是(M,≤)的子格，并且R+N+?N+，則稱(N,+,≤)是(M,+,≤)的一個子Riesz模。

定義6［7］設M，M'都是左R-模，f:M→M'是映射，若對任意的r∈R，m,n∈M有

成立，則稱f是R模同態(tài)，簡稱R同態(tài)。

定義7［9］設P、Q都是格，f:P→Q是映射，若對任意的x,y∈P有

成立，則稱f是格同態(tài)。

定義8［5］設(M,+,≤)、(N,+,≤)均為Riesz模，f:M→N是映射，若f既是R模同態(tài)，又是格同態(tài)，則稱f是Riesz模同態(tài)，記作f:(M,+,≤) →(N,+,≤).

定義9［7］Riesz模構(gòu)成的范疇定義為:

（1）對象類ob()為全體Riesz模；

（2）對任意的(M,+,≤),(N,+,≤) ∈ob()，Hom((M,+,≤),(N,+,≤))={f|f:(M,+,≤)到(N,+,≤)的一個Riesz模同態(tài)}；

（3）若(M,+,≤),(N,+,≤),(P,+,≤) ∈ob()，f∈Hom((M,+,≤),(N,+,≤))，g∈Hom((N,+,≤)，(P,+,≤))，態(tài)射的復合gf∈Hom((M,+,≤),(P,+,≤))為同態(tài)的復合；

（4）對任 意的(M,+,≤) ∈ob()，單位態(tài)射為1M∈Hom((M,+,≤),(M,+,≤))，并且對任意的f∈Hom((M,+,≤),(N,+,≤))，g∈Hom((P,+,≤),(M,+,≤))，有f1M=f，1Mg=g.

定義10［14］設C是一個范疇，{Mi|i∈I}是C中的一簇對象，C中的對象M叫作{Mi|i∈I}的乘積，如果:

（1）對任意的i∈I，存在態(tài)射pi:M→Mi；

（2）對任意對象N∈C，若存在態(tài)射qi:N→Mi,i∈I，則存在唯一的態(tài)射α:N→M使得圖1可交換。

圖1 乘積的定義示意圖

定義11［14］設C是一個范疇，{Mi|i∈I}是C中的一簇對象，C中的對象L叫作{Mi|i∈I}的余積，如果:

（1）對任意的i∈I，存在態(tài)射qi:Mi→L；

（2）對任意對象N∈C，若存在態(tài)射pi:Mi→N,i∈I，則存在唯一的態(tài)射β:L→N使得圖2可交換。

圖2 余積的定義示意圖

定理1如果(M,{pi}i∈I)和(M',{}i∈I)都是范疇C的對象簇{Mi|i∈I}的乘積，則M和M'是同構(gòu)的。

證明由于M和M'都是范疇C中{Mi|i∈I}的乘積，那么對任意的i∈I，存在態(tài)射pi:M→Mi及:M'→Mi，又因為M和M'都是乘積，所以存在態(tài)射f:M'→M及g:M→M'使得圖3可交換，故對任意的i∈I有，由i的任意性可知gf=1M'，同理可知fg=1M，所以M和M'是同構(gòu)的。

圖3 乘積同構(gòu)示意圖

定理2如果都是范疇C的對象簇{Mi|i∈I}的余積，則L和L'是同構(gòu)的。

注:定理1和定理2說明范疇的乘積或者余積如果存在，則在同構(gòu)意義下均是唯一的。

定義12［14］設f，g:M→N是一對平行態(tài)射，如果態(tài)射e:E→M滿足:

（1）fe=ge；

（2）對任意的態(tài)射e':E' →M滿足fe'=ge'，存在唯一的態(tài)射h:E' →E使得e'=eh成立（圖4），則稱e:E→M是f,g:M→N的等值子。

圖4 等值子的定義示意圖

定義13［14］設f,g:M→N是一對平行態(tài)射，如果態(tài)射q:N→L滿足:

（1）qf=qg；

（2）對任意的態(tài)射q':N→L'滿足q'f=q'g，存在唯一的態(tài)射π:L→L'使得q'=πq成立（圖5），則稱q:N→L是f,g:M→N的余等值子。

圖5 余等值子的定義示意圖

圖6 Riesz模范疇中乘積示意圖

圖7 Riesz模范疇中余積示意圖

圖8 Riesz模范疇中等值子示意圖

圖9 Riesz模范疇中余等值子示意圖

引理1［14］設C是一個任意范疇，則C是完備的當且僅當存在乘積和等值子。

引理2［14］設C是一個任意范疇，則C是余完備的當且僅當存在余積和余等值子。

2 主要結(jié)果

下面討論Riesz模范疇中的乘積與余積。

引理3設{(Mi,+,≤)|i∈I}是范疇中的一簇Riesz模，這里的指標集I是任意的，記(M,+,≤)=Π(Mi,+,≤)是Riesz模簇的笛卡爾積，其中(M,+,≤)中的元素表示為{mi|mi∈Mi}i∈I，在該集合中規(guī)定:對任意的{mi }，{m'i}∈(M,+,≤)，r ∈(R,+,·,≤)有

則

（1）(M,+,≤)是一個Riesz模；

（2）投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)，pj({mi})=mj是Riesz模滿同態(tài)。

證明（1）由模論可知，(M,+,≤)是一個左R-模。又由于{mi}∧{}={mi∧}以及{mi}∨{}={mi∨}，故(M,+,≤)可以構(gòu)成一個格。并且對任意的{ni}∈(M,+,≤)，若{mi}≤{}，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(M,+,≤)是一個Riesz模。

（2）投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)，pj({mi})=mj，顯然pj是滿射，對任意的{mi}，{}∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

由此可得，投影pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)是Riesz模滿同態(tài)。

定理3設{(Mi,+,≤)}i∈I是范疇中的一簇Riesz模，作{(Mi,+,≤)}i∈I的笛卡爾積(M,+,≤)=Π(Mi,+,≤)，則{pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}的乘積。

證明設對任意的Riesz模(N,+,≤) ∈ob()，且存在Riesz模同態(tài)qj:(N,+,≤) →(Mj,+,≤)，定義α:(N,+,≤) →(M,+,≤)，其中?n∈(N,+,≤)，α(n)={qi(n)}i∈I.易知α是一個映射，以下證明α是Riesz模同態(tài):對任意的x,y∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

故α是Riesz模同態(tài)。并且對任意的n∈(N,+,≤)，pjα(n)=pj{qi(n)}=qj(n)，故由n的任意性可得pjα=qj成立。又由于乘積在同構(gòu)意義下是唯一的，所以{pj:(M,+,≤) →(Mj,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的乘積。

引理4設{(Mi,+,≤)|i∈I}是范疇中的一簇Riesz模，這里的指標集I是任意的，記(L,+,≤)=⊕(Mi,+,≤)={{mi}∈⊕(Mi,+,≤)|{mi} 中只有有限個mi≠0 }，在該集合中規(guī)定:對任意的{mi}，{}∈(L,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

則

（1）(L,+,≤)是一個Riesz模；

（2）嵌入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)，qj(mj)={mjδij}是Riesz模單同態(tài)，其中

證明（1）由模論可知，(L,+,≤)是一個左R-模。又由于，故(L,+,≤)可以構(gòu)成一個格，并且對任意的{ni}∈(L,+,≤)，若{mi}≤{}，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(L,+,≤)是一個Riesz模。

（2）嵌 入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)，qj(mj)={mjδij}，顯 然qj是單射，對任意的r∈(R,+,·,≤)有

由此可得，嵌入qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)是Riesz模單同態(tài)。

定理4設{(Mi,+,≤)}i∈I是范疇中的一簇Riesz模，作{(Mi,+,≤)}i∈I的直和(L,+,≤)=⊕(Mi,+,≤)，則{qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)|i∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的余積。

證明設對任意的Riesz模(N,+,≤) ∈ob()，且存在Riesz模同態(tài)pj:(Mj,+,≤) →(N,+,≤)，定義β:(L,+,≤) →(N,+,≤)，其中?{mi}∈(L,+,≤)，β({mi})=∑pi(mi).因為{ }mi中只有有限個mi≠0，所以∑pi(mi) 有意義，故β是(L,+,≤) 到(N,+,≤) 的一個映射。下 證β是Riesz模同態(tài):對任意的{mi},{}∈(L,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

故β是Riesz模同態(tài)。并且對任意的mj∈(Mj,+,≤)，βqj(mj)=β({mjδij})=pj(mj)，故由mj的任意性有βqj=pj成立。又由于余積在同構(gòu)意義下是唯一的，所以{qj:(Mj,+,≤) →(L,+,≤)|j∈I}是對象簇{(Mi,+,≤)}i∈I的余積。

下面討論Riesz模范疇中的等值子和余等值子。

引理5設f,g:(M,+,≤) →(N,+,≤) ∈Mor()，令E={m∈M|f(m)=g(m)}，則

（1）(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模；

（2）嵌入映射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是Riesz模同態(tài)。

證明（1）對于0 ∈(M,+,≤)有f(0)=g(0)，所以0 ∈(E,+,≤)，顯然?≠E?M，即E是M的非空子集；因為f,g∈Mor()，故對任意的m1,m2∈(E,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

成立，故m1∧m2，m1∨m2∈(E,+,≤)，所以(E,+,≤)是(M,+,≤)的子格。又對任意的p∈(E,+,≤)，若m1≤m2，r≥0，那么p+m1≤p+m2且rm1≥0 成立，故相容關系成立，由此可得，(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模。

（2）因為(E,+,≤)是(M,+,≤)的子Riesz模，所以在Riesz模范疇中，嵌入映射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是Riesz模同態(tài)。

定理5設f，g:(M,+,≤) →(N,+,≤)是Riesz模范疇中的一對平行態(tài)射，令E={m∈M|f(m)=g(m)}是(M,+,≤)的子Riesz模，則包含態(tài)射e:(E,+,≤) →(M,+,≤)]是平行態(tài)射的等值子。

證明（1）fe=ge顯然成立；

（2）存在性:設(E',+,≤)是一個Riesz模，且存在Riesz模同態(tài)e':(E',+,≤) →(M,+,≤)滿足fe'=ge'.

定義函數(shù)h:(E',+,≤) →(E,+,≤)，其中對任意的x∈(E',+,≤)，h(x)=e'(x).因為fe'(x)=ge'(x)，所以e'(x) ∈(E,+,≤)，那么有e(h(x))=e(e'(x))=e'(x)成立。由于態(tài)射e'是Riesz模同態(tài)，即e'既是R模同態(tài)又是格同態(tài)，故對任意的x,y∈(E',+,≤)，r∈(R,+,·,≤):

所以，h是Riesz模同態(tài)。

唯一性:設h':(E',+,≤) →(E,+,≤)也是Riesz模同態(tài)，且eh'=e'，那么對任意的x∈(E,+,≤)，由于e(h(x))=e(e'(x))=e'(x)，故有e(h'(x))=h'(x)成立，又由eh'=e'有e(h'(x))=e'(x)，所以

故由x的任意性可知h'=h，所以e:(E,+,≤) →(M,+,≤)是平行態(tài)射f與g的等值子。

定義14設θ是Riesz模(M,+,≤)上的一個等價關系，若(M,+,≤)中的元素m與n具有關系θ，則記作m≡n(modθ).如果對任意的m,n,p,q∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)，當m≡p(modθ)，n≡q(modθ)成立時，有

則稱θ是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系，稱(M/θ,+,≤)={θ(m)|m∈M}為(M,+,≤)關于同余關系θ的商集。若定義映射q:(M,+,≤) →(M/θ,+,≤)滿足q(m)=θ(m)，即把(M,+,≤)中的元素m映射到m的等價類θ(m)，這樣的映射稱為自然映射。

引理6Riesz模(M,+,≤)上的任意多個同余關系的交仍為同余關系。

證明設{θi|i∈I}為Riesz模(M,+,≤)上的一簇同余關系，這里的指標集I是任意的。由θi是Riesz模(M,+,≤)上的等價關系可以驗證∩θi為等價關系。事實上，

①自反性:對任意的m∈(M,+,≤)有(m,m) ∈∩θi(i∈I)，故(m,m) ∈∩θi.

②對稱性:對任意的m,n∈(M,+,≤)，若(m,n) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)有(m,n) ∈θi，從而(n,m) ∈θi，所以(n,m) ∈∩θi.

③傳遞性:對任意的m,n,p∈(M,+,≤)，若(m,n) ∈∩θi，(n,p) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)有(m,n) ∈θi，(n,p) ∈θi，從而(m,p) ∈θi，所以(m,p) ∈∩θi.

以下證明θi是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系:對任意的m,n,p,q∈(M,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)，若(m,p) ∈∩θi，(n,q) ∈∩θi，則對任意的θi(i∈I)均有(m,p) ∈θi，(n,q)∈θi，所以有

從而

所以∩θi是Riesz模(M,+,≤)上的同余關系。

引理6設θ是Riesz模(N,+,≤) 中 的Riesz模同余關系，在Riesz模(N,+,≤) 關 于θ的 商N/θ={θ(n)|n∈N}中規(guī)定:對任意的n1,n2∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

則

（1）N/θ,+,≤)是一個Riesz模；

（2）自然映射q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是Riesz模同態(tài)。

證明（1）首先證明“運算與代表元的選取無關”。對任意的滿足，即那么由

可知，該運算與代表元的選取無關。

其次證明(N/θ,+,≤)是一個Abell-群:

①結(jié)合律:對?θ(n1),θ(n2),θ(n3) ∈(N/θ,+,≤)，滿足

②單位元:對?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)，存在θ(0) ∈(N/θ,+,≤)使得θ(n)+θ(0)=θ(n+0)=θ(n)，故單位元存在。

③逆元:對?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)，存在θ(-n) ∈(N/θ,+,≤)使得θ(n)+θ(-n)=θ(n-n)=θ(0)，故逆元存在。

④交換律:對?θ(n1),θ(n2) ∈(N/θ,+,≤)，滿足

⑤相容性:對?θ(n1),θ(n2),θ(p) ∈(N/θ,+,≤)，θ(n1)≤θ(n2)有θ(p)+θ(n1)=θ(p+n1)≤θ(p+n2)=θ(p)+θ(n2)，故滿足相容性條件。

以下證明(N/θ,+,≤)是一個Riesz模。由模論可知(N/θ,+,≤)是一個左R-模。事實上，N/θ={θ(n)|n∈N}是一個Abel群，且滿足以下性質(zhì):

①?r∈(R,+,·,≤)，?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有:rθ(n)=θ(rn) ∈(N/θ,+,≤)；

②?r1,r2,r∈(R,+,·,≤)，?θ(n1),θ(n2),θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有

③?r1,r2∈(R,+,·,≤)，?θ(n) ∈(N/θ,+,≤)有

又由于對任意的θ(n1),θ(n2),θ(n3) ∈(N/θ,+,≤)滿足:

①冪等律:θ(n1) ∧θ(n1)=θ(n1∧n1)=θ(n1)，θ(n1) ∨θ(n1)=θ(n1∨n1)=θ(n1)

②交換律:θ(n1) ∧θ(n2)=θ(n1∧n2)=θ(n2∧n1)=θ(n2) ∧θ(n1)

③結(jié)合律:θ(n1) ∧(θ(n2) ∧θ(n3))=θ(n1) ∧(θ(n2∧n3))=θ(n1∧(n2∧n3))=θ((n1∧n2) ∧n3))=θ(n1∧n2) ∧θ(n3)=(θ(n1) ∧θ(n2)) ∧θ(n3)

④吸收律:θ(n1) ∨(θ(n1) ∧θ(n2))=θ(n1) ∨(θ(n1∧n2))=θ(n1∨(n1∧n2))=θ(n1)

所以(N/θ,+,≤)是一個格。又對任意的θ(p)∈(N/θ,+,≤)，若θ(n1)≤θ(n2)，r≥0，那么有

故相容關系成立，由此可得(N/θ,+,≤)是一個Riesz模。

（2）自然映射q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)，q(n)=θ(n)，?n∈(N,+,≤).對任意的n1,n2∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤)有

成立，由此可得，q是Riesz模同態(tài)。

定義15設(M,+,≤)是一個Riesz模，R?M×M是M上的一個二元關系，令=∩{θ|R?θ，θ是M上的同余關系}，根據(jù)引理6，是(M,+,≤)上的同余關系，稱為由R生成的最小同余關系。

定理6設f,g:(M,+,≤) →(N,+,≤)是Riesz模范疇中的一對平行態(tài)射，θ是Riesz模(N,+,≤)上包含{(f(m),g(m))|m∈M}的最小同余關系，則自然商同態(tài)q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是平行態(tài)射的余等值子且q(n)=θ(n).

證明（1）根據(jù)引理6，因為(N/θ,+,≤)是Riesz商模(N/θ,+,≤)={θ(n)|n∈N}，其中θ(n)是n的同余類，所以對任意的m∈(M,+,≤)，有q(f(m))=θ(f(m))，q(g(m))=θ(g(m))，又由于(f(m),g(m)) ∈θ，所以θ(f(m))=θ(g(m))，故q(f(m))=q(g(m))，則由m的任意性可知qf=qg成立。

（2）存在性:設(L,+,≤)是Riesz模，并且存在Riesz模同態(tài)q':(N,+,≤) →(L,+,≤)使得q'f=q'g.定義π:(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)，其中?n∈(N,+,≤)，π(θ(n))=q'(n)，那么π(q(n))=π(θ(n))=q'(n).因為對任意的n，n'∈(N,+,≤)，若n=n'，則有q'(n)=q(n')成立，那么對任意的θ(n)，θ(n')∈(N/θ,+,≤)，若θ(n)=θ(n')，則π(θ(n))=q'(n)=q'(n')=π(θ(n'))，所以π是映射。以下證明π是Riesz模同態(tài)。

首先對任意的x,y∈(N,+,≤)，r∈(R,+,·,≤):有

故θ是Riesz模同態(tài)。

唯一性:假設存在π':(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)使得π'q=q'，由于對?n∈(N,+,≤)有q(n)=θ(n)且π(θ(n))=q'(n)，則有π(q(n))=π(θ(n))=q'(n).因此

即π'(q(n))=π(q(n))，由n的任意性可知，π'=π.

綜上可知，存在唯一的態(tài)射π:(N/θ,+,≤) →(L,+,≤)使得q'=πq成立，所以q:(N,+,≤) →(N/θ,+,≤)是平行態(tài)射的余等值子。

定理7Riesz模范疇是完備范疇。

證明由定理3和定理5可知，Riesz模范疇存在乘積和等值子，故由引理1可知，Riesz模范疇是完備范疇。

定理8Riesz模范疇是余完備范疇。

證明由定理4和定理6可知，Riesz模范疇存在余積和余等值子，故由引理2可知，Riesz模范疇是余完備范疇。