剖析動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象中考題

摘要：將動(dòng)點(diǎn)的位置變化產(chǎn)生的不同圖形與函數(shù)圖象相結(jié)合，是中考數(shù)學(xué)題的常見(jiàn)命題方式.文章以2022年中考題為例，分類(lèi)解析三種常見(jiàn)題型，引導(dǎo)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，分析動(dòng)點(diǎn)產(chǎn)生圖形變化與函數(shù)圖象的對(duì)應(yīng)方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問(wèn)題的能力，提升學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；動(dòng)點(diǎn)與函數(shù)圖象；對(duì)應(yīng)

1 點(diǎn)動(dòng)

例1（2022[J]5齊齊哈爾）如圖1-1所示（圖中各角均為直角），動(dòng)點(diǎn)P在六邊形ABCDEF上沿A→B→C→D→E勻速移動(dòng)，速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，△AFP的面積y與點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間x（單位：s）之間的函數(shù)關(guān)系圖象如圖1-2所示，下列說(shuō)法正確的是（）.

A.AF＝5

B.AB＝4

C.DE＝3

D.EF＝8

解：因?yàn)辄c(diǎn)P在六邊形ABCDEF上沿A→B→C→D→E勻速移動(dòng)，速度為1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，所以由圖1-2的第一段折線可知，點(diǎn)P經(jīng)過(guò)4s到達(dá)點(diǎn)B處，此時(shí)的三角形的面積為12.

所以AB＝4.由12AF[J]5AB＝12，得AF＝6.

故A選項(xiàng)不正確，B選項(xiàng)正確.

由圖1-2的第二段折線可知，點(diǎn)P再經(jīng)過(guò)2s到達(dá)點(diǎn)C處，所以BC＝2.

由圖1-2的第三段折線可知，點(diǎn)P再經(jīng)過(guò)6s到達(dá)點(diǎn)D處，所以CD＝6.

由圖1-2的第四段折線可知，點(diǎn)P再經(jīng)過(guò)4s到達(dá)點(diǎn)E處，所以DE＝4.故C選項(xiàng)不正確.

由圖1-1中各角均為直角，得EF＝AB+CD＝4+6＝10.故D選項(xiàng)不正確.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：弄清動(dòng)點(diǎn)P的起始位置及運(yùn)動(dòng)方向，并結(jié)合函數(shù)圖象的變化趨勢(shì)，根據(jù)面積公式計(jì)算線段長(zhǎng).

2 線動(dòng)

例2（2022[J]5濰坊）如圖2所示，四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，若∠ADC＝120°，CD＝2，BC＝1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在四邊形的AB邊與AD邊上運(yùn)動(dòng)，它們同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)，速度都是1個(gè)單位長(zhǎng)度/s，點(diǎn)E沿A→B→C的方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)F沿A→D→C的方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)C時(shí)另一點(diǎn)隨之停止.若線段EF在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中掃過(guò)區(qū)域的面積記為y，運(yùn)動(dòng)時(shí)間記為x，那么可以反映y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）.

解：如圖3，過(guò)點(diǎn)F作FH⊥AB于點(diǎn)H.

（1）如圖3所示，當(dāng)0≤x≤1時(shí)，在Rt△FAH中，∠A＝60°，AF＝x，則FH＝AF[J]5sin A＝32x.

所以線段EF掃過(guò)的區(qū)域面積為△AEF的面積，即y＝12x[J]532x＝34x2，其函數(shù)圖象為開(kāi)口向上的一段拋物線.

（2）如圖4，當(dāng)1＜x≤2時(shí)，過(guò)點(diǎn)D作DP⊥AB于點(diǎn)P，

則DP＝AD[J]5sin A＝32.

所以線段EF掃過(guò)區(qū)域的面積y＝12×（x-1+x）×32＝32x-34，其圖象是一條線段.

（3）如圖5，當(dāng)2＜x≤3時(shí)，過(guò)點(diǎn)E作EG⊥CD于點(diǎn)G，則CE＝CF＝3-x，EG＝32（3-x）.

所以線段EF掃過(guò)區(qū)域的面積y＝2×32-12×（3-x）×32（3-x）＝3-34（3-x）2，其圖象是開(kāi)口向下的一段拋物線.

故選：B.

點(diǎn)評(píng)：動(dòng)線段EF掃過(guò)區(qū)域的面積，與由動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間而形成的不同圖形的形狀有關(guān).求面積的關(guān)鍵是將有關(guān)線段長(zhǎng)用含x的代數(shù)式表示出來(lái).

3 形動(dòng)

例3（2022[J]5遼寧）如圖6所示，在等邊三角形ABC中，BC＝4，在Rt△DEF中，∠EDF＝90°，∠F＝30°，DE＝4，點(diǎn)B，C，D，E在一條直線上，點(diǎn)C，D重合，△ABC沿射線DE方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)B與點(diǎn)E重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)△ABC運(yùn)動(dòng)的路程為x，△ABC與Rt△DEF重疊部分的面積為S，則能反映S與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象是（）.

解：如圖7，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥BC，交BC于點(diǎn)M.在等邊三角形ABC中，∠ACB＝60°.

在Rt△DEF中，∠F＝30°，則

∠FED＝60°，即

∠ACB＝∠FED，所以

AC∥EF.

在等邊三角形ABC中，AM⊥BC，所以

BM＝CM＝12BC＝2，AM＝3BM＝23.

所以S△ABC＝12BC[J]5AM＝43.

（1）如圖8，當(dāng)0＜x≤2時(shí)，設(shè)AC與DF交于點(diǎn)G，此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為△CDG.

由題意，可得CD＝x，DG＝3x.

所以S＝12CD[J]5DG＝32x2.

（2）如圖9，當(dāng)2＜x≤4時(shí)，設(shè)AB與DF交于點(diǎn)G，此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為四邊形AGDC.

由題意，可得CD＝x，則BD＝4-x，DG＝3（4-x）.

所以S＝S△ABC-S△BDG＝43-32（4-x）2=

-32（x-4）2+43.

（3）如圖10，當(dāng)4＜x≤8時(shí)，設(shè)AB與EF交于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GM⊥BC，交BC于點(diǎn)M，

此時(shí)△ABC與Rt△DEF重疊部分為△BEG.

由題意，可得CD＝x，則CE＝x-4，DB＝x-4，則

BE＝x-（x-4）-（x-4）＝8-x.

所以BM＝4-12x，GM＝34-12x.

所以S＝12BE[J]5GM＝8-x2×34-12x=

434（x-8）2.

綜上，選項(xiàng)A的圖象符合題意.故選：A.

點(diǎn)評(píng)：△ABCD在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，與Rt△DEF重疊部分的圖形在不同階段形狀不同，因而面積的計(jì)算方法也不同.路程為x，其面積用含x的代數(shù)式表示.

4 結(jié)語(yǔ)

運(yùn)動(dòng)是物質(zhì)的固有屬性和存在方式，靜止是運(yùn)動(dòng)的一種特殊狀態(tài)，它們可以相互轉(zhuǎn)化.解決上述問(wèn)題可以根據(jù)運(yùn)動(dòng)時(shí)間（或路程）、圖形的特殊位置、圖象的拐點(diǎn)和圖象變化趨勢(shì)，數(shù)形結(jié)合，或用某一未知數(shù)表示線段長(zhǎng)，求出函數(shù)解析式，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象.