“代數(shù)+幾何”綜合運(yùn)用探究

摘要：本文中詳細(xì)探討了代數(shù)與幾何在中考數(shù)學(xué)中的綜合應(yīng)用，并以2024年浙江中考數(shù)學(xué)真題為案例，深入分析了二者在解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)如何交織融合，最后給出了“代數(shù)+幾何”綜合運(yùn)用能力提升的幾點(diǎn)策略.

關(guān)鍵詞：代數(shù)；幾何；中考數(shù)學(xué)；解題技巧

代數(shù)與幾何，作為數(shù)學(xué)學(xué)科的核心基石，在中考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系中占據(jù)了至關(guān)重要的地位.隨著數(shù)學(xué)教育模式的革新和深化，二者的交叉融合和綜合應(yīng)用已成為中考數(shù)學(xué)試題的重要構(gòu)成部分.因此，在復(fù)習(xí)備考階段，教師特別需要重視培養(yǎng)學(xué)生代數(shù)與幾何融合的解題思維，以應(yīng)對(duì)考試中的多樣化挑戰(zhàn).

1 代數(shù)與幾何的性質(zhì)概述

代數(shù)，作為數(shù)學(xué)的重要分支，深刻揭示了數(shù)與符號(hào)間的內(nèi)在邏輯.它超越了簡(jiǎn)單的數(shù)值運(yùn)算，利用符號(hào)、變量、方程等，構(gòu)建起解析復(fù)雜問(wèn)題的數(shù)學(xué)架構(gòu).在此框架中，符號(hào)不僅代表數(shù)值，更描繪出變量間的函數(shù)關(guān)系和動(dòng)態(tài)變化.憑借代數(shù)工具，我們可以揭示和解釋自然界與社會(huì)現(xiàn)象中的規(guī)律性變遷.與之對(duì)應(yīng)，幾何聚焦空間與形狀的本質(zhì).它研究點(diǎn)、線(xiàn)、面等基本元素，以及它們之間的位置關(guān)系和度量特性.幾何賦予圖形變換、對(duì)稱(chēng)性、角度和面積等概念以精確的數(shù)學(xué)定義和實(shí)際應(yīng)用.通過(guò)幾何，我們直觀地理解空間結(jié)構(gòu)，可為解決與形狀、位置、大小相關(guān)的問(wèn)題提供了強(qiáng)大的數(shù)學(xué)工具.

2 代數(shù)與幾何在中考中的綜合運(yùn)用

2.1 真題再現(xiàn)

（2024年浙江中考數(shù)學(xué)第10題）如圖1，在ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，AC=2，BD=23，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC交BC于點(diǎn)E，記BE長(zhǎng)為x，BC長(zhǎng)為y，當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）.

A.x+y

B.x-y

C.xy

D.x2+y2

解：如圖2，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F.因?yàn)锳E⊥BC于點(diǎn)E，所以∠AEB=∠DFC=90°.由四邊形ABCD是平行四邊形，得AB=DC，AB∥CD，則有∠ABE=∠DCF.

故△ABE≌△DCF.

所以AE=DF，BE=CF=x.

由勾股定理，可得AE2=AC2-CE2=AC2-（BC-BE）2=4-（y-x）2，DF2=BD2-BF2=BD2-（BC+CF）2=BD2-（BC+BE）2=12-（y+x）2，則4-（y-x）2=12-（y+x）2，即

（y+x）2-（y-x）2=8.

所以x2+2xy+y2-y2+2xy-x2=8，

化簡(jiǎn)得xy=2.所以，當(dāng)x，y的值發(fā)生變化時(shí)，代數(shù)式x的值不變的是xy.故選擇：C.

2.2 代數(shù)與幾何在中考中的綜合運(yùn)用分析

在中考數(shù)學(xué)中，代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用是一大考查重點(diǎn)，它展現(xiàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系與統(tǒng)一性.近幾年的中考題目中，代數(shù)與幾何思想的綜合運(yùn)用題目顯著增多，這要求考生不僅要熟練掌握代數(shù)、幾何各自領(lǐng)域的基礎(chǔ)知識(shí)，還要能夠靈活地將它們結(jié)合起來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.具體表現(xiàn)類(lèi)型包括但不限于：通過(guò)幾何圖形建立代數(shù)方程或不等式，如在直角三角形中利用勾股定理列出方程求解邊長(zhǎng)；通過(guò)代數(shù)表達(dá)式描述幾何圖形的性質(zhì)，如用二次函數(shù)描述拋物線(xiàn)的形狀和位置；利用代數(shù)和幾何知識(shí)共同解決復(fù)雜的圖形變換和幾何證明問(wèn)題.因此，考生在備考時(shí)應(yīng)注重代數(shù)與幾何知識(shí)的融合訓(xùn)練，提高綜合運(yùn)用能力.

3 “代數(shù)+幾何”綜合運(yùn)用能力提升策略

3.1 夯實(shí)基礎(chǔ)

在提升代數(shù)與幾何的綜合運(yùn)用能力之前，夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的掌握顯得尤為重要.代數(shù)與幾何的基礎(chǔ)知識(shí)不僅是數(shù)學(xué)學(xué)科大廈的穩(wěn)固基石，而且為學(xué)生后續(xù)深入學(xué)習(xí)及應(yīng)用高階數(shù)學(xué)概念提供了不可或缺的前提.在代數(shù)領(lǐng)域，學(xué)生應(yīng)深入理解并熟練掌握方程、不等式、函數(shù)、數(shù)列等基本概念.方程代表等量關(guān)系，不等式描繪數(shù)值差異，函數(shù)描述變量間的依賴(lài)，而數(shù)列則是數(shù)的有序排列.在幾何領(lǐng)域，點(diǎn)、線(xiàn)、面、角、三角形、四邊形、圓等基本圖形及其性質(zhì)的學(xué)習(xí)是幾何知識(shí)體系的基石.學(xué)生需對(duì)這些基本圖形的定義、性質(zhì)及其相互關(guān)系有清晰的認(rèn)識(shí).只有掌握了這些基礎(chǔ)知識(shí)，學(xué)生才能為后續(xù)的綜合應(yīng)用打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).因此，在追求深度與廣度之前，務(wù)必確?；A(chǔ)知識(shí)的扎實(shí)與穩(wěn)固.

3.2 深化理解內(nèi)在聯(lián)系

代數(shù)與幾何之間存在著深厚的聯(lián)系，這種聯(lián)系超越了單純的學(xué)科體系定位，更深入到解題技巧和思維模式的層面.因此，在教學(xué)實(shí)踐中，教師應(yīng)致力于引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)會(huì)代數(shù)與幾何之間的互補(bǔ)與交融，并鼓勵(lì)他們采用多元化、多維度的視角去理解和應(yīng)對(duì)問(wèn)題.首先，教師可以借助代數(shù)的精確和邏輯體系來(lái)指導(dǎo)學(xué)生解答幾何難題.在解析幾何的框架下，代數(shù)方程成為連接數(shù)與圖形的紐帶，使學(xué)生能夠通過(guò)求解方程準(zhǔn)確地捕捉到圖形的位置、形狀及其特性.例如，教師可以指導(dǎo)學(xué)生求解兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)，其本質(zhì)在于求解兩個(gè)線(xiàn)性方程的解；還可以教授他們?nèi)绾斡?jì)算兩點(diǎn)間的距離，這也能通過(guò)代數(shù)公式實(shí)現(xiàn).這種方法極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算流程，使幾何問(wèn)題變得更易于理解.同時(shí)，幾何的直觀性和具象性也為解決代數(shù)問(wèn)題提供了有力的支持.教師可以引導(dǎo)學(xué)生在面對(duì)復(fù)雜的代數(shù)問(wèn)題時(shí)，借助幾何圖形來(lái)輔助理解，通過(guò)圖形的直觀表達(dá)和變換來(lái)揭示問(wèn)題的本質(zhì)和規(guī)律.比如，教師可以指導(dǎo)學(xué)生繪制函數(shù)的圖象，幫助他們更直觀地洞察函數(shù)的單調(diào)性、極值等特性；還可以教授他們?nèi)绾卫脦缀螆D形的對(duì)稱(chēng)性，簡(jiǎn)化對(duì)復(fù)雜代數(shù)表達(dá)式的處理.

3.3 掌握常見(jiàn)題型和解題方法

（1）方程與幾何綜合問(wèn)題

方程與幾何綜合問(wèn)題通常涉及一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合代數(shù)式的恒等變形、解方程（組）、解不等式（組）、函數(shù)等知識(shí).常見(jiàn)題型為：求代數(shù)式的值，如長(zhǎng)度、面積等的表達(dá)式求解；求參數(shù)的值或取值范圍，如根據(jù)幾何條件確定一元二次方程參數(shù)的范圍；與方程有關(guān)的代數(shù)式的證明，如證明某個(gè)幾何性質(zhì)可以通過(guò)代數(shù)方程表示.這類(lèi)題目的解題方法主要是：①建立代數(shù)式.根據(jù)幾何條件建立代數(shù)式，如表示長(zhǎng)度、面積等的表達(dá)式.②利用方程知識(shí).利用一元二次方程的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系等知識(shí)進(jìn)行分析和求解.③結(jié)合代數(shù)運(yùn)算.運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算（如恒等變形、方程求解等）來(lái)解決問(wèn)題.

（2）函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題

函數(shù)與幾何綜合問(wèn)題以函數(shù)為主線(xiàn)，涉及函數(shù)的圖象、性質(zhì)及方程等知識(shí)點(diǎn).這些問(wèn)題要求學(xué)生在理解函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上，運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)解決幾何問(wèn)題.常見(jiàn)題型為利用函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)求解方程的根、根據(jù)函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)滿(mǎn)足函數(shù)的解析式判斷點(diǎn)的位置、利用函數(shù)性質(zhì)（如單調(diào)性）判斷幾何圖形的性質(zhì)或求解相關(guān)問(wèn)題.這類(lèi)題目的解題方法主要是：①分析函數(shù)圖象.根據(jù)題目描述，分析函數(shù)的圖象特點(diǎn)，如交點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)性、單調(diào)性等.②建立函數(shù)關(guān)系.根據(jù)幾何條件建立函數(shù)關(guān)系，如將點(diǎn)的坐標(biāo)代入函數(shù)表達(dá)式.③利用函數(shù)性質(zhì).運(yùn)用函數(shù)的性質(zhì)（如增減性、極值等）求解幾何問(wèn)題.

（3）直角坐標(biāo)系中的幾何問(wèn)題

直角坐標(biāo)系中的幾何問(wèn)題主要涉及點(diǎn)的坐標(biāo)和幾何圖形的性質(zhì).這些問(wèn)題要求學(xué)生利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示幾何圖形的位置、形狀等，并通過(guò)代數(shù)運(yùn)算求解相關(guān)問(wèn)題.常見(jiàn)題型為：在直角坐標(biāo)系中求解直線(xiàn)、圓等幾何圖形的方程；利用點(diǎn)的坐標(biāo)求解幾何圖形的面積、周長(zhǎng)等；根據(jù)幾何條件判斷點(diǎn)在幾何圖形上的位置.這類(lèi)題目的解題方法主要是：①建立坐標(biāo)表示.利用直角坐標(biāo)系中點(diǎn)的坐標(biāo)表示幾何圖形的位置、形狀等.②運(yùn)用幾何性質(zhì).根據(jù)幾何圖形的性質(zhì)建立方程或不等式，并運(yùn)用代數(shù)運(yùn)算求解.③注意坐標(biāo)變換.在求解過(guò)程中注意坐標(biāo)變換和幾何變換的關(guān)系.

（4）幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問(wèn)題

幾何圖形中的探究、歸納、猜想與證明問(wèn)題要求學(xué)生能夠?qū)缀螆D形進(jìn)行深入觀察和分析，通過(guò)探究和歸納提出合理的猜想，并運(yùn)用幾何知識(shí)和證明技巧進(jìn)行驗(yàn)證常見(jiàn)題型為根據(jù)給定的幾何圖形觀察并歸納其性質(zhì)或規(guī)律、根據(jù)歸納結(jié)果提出合理的猜想或假設(shè)、利用幾何知識(shí)和證明技巧對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，并給出證明過(guò)程.這類(lèi)題目的解題方法主要是：①觀察分析.仔細(xì)觀察幾何圖形的性質(zhì)和特點(diǎn)，嘗試尋找其中的規(guī)律.②提出猜想.根據(jù)觀察和分析，提出合理的猜想或假設(shè).③證明驗(yàn)證.運(yùn)用幾何知識(shí)和證明技巧對(duì)猜想進(jìn)行驗(yàn)證，給出嚴(yán)格的證明過(guò)程.

4 總結(jié)

綜上所述，代數(shù)與幾何作為數(shù)學(xué)領(lǐng)域的基礎(chǔ)分支，在中考數(shù)學(xué)評(píng)價(jià)體系中占據(jù)舉足輕重的地位.面對(duì)考試中的多元化挑戰(zhàn)，我們需要注重學(xué)生代數(shù)與幾何知識(shí)融合能力的培養(yǎng).通過(guò)強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)的掌握、深化對(duì)二者內(nèi)在關(guān)聯(lián)的理解，以及掌握常見(jiàn)的題型和解題策略，教師可以有效地引導(dǎo)學(xué)生更好地掌握代數(shù)與幾何知識(shí)，提高解題技巧，進(jìn)而在中考數(shù)學(xué)中取得優(yōu)異的成績(jī).