二次函數(shù)軸對(duì)稱性的數(shù)量刻畫與應(yīng)用

二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)是全國(guó)各省市中考必考的內(nèi)容，其中二次函數(shù)圖象的軸對(duì)稱性是二次函數(shù)圖象非常重要的特點(diǎn)，同時(shí)也是近年各省市中考的高頻考點(diǎn).但是，由于義務(wù)教育段教材對(duì)二次函數(shù)的軸對(duì)稱性認(rèn)識(shí)的描述比較模糊，只是通過師生畫二次函數(shù)的圖象，結(jié)合軸對(duì)稱圖形的定義，讓學(xué)生體會(huì)到二次函數(shù)的圖象是一條對(duì)稱的曲線，缺乏數(shù)量上的具體刻畫.

本文中將對(duì)二次函數(shù)的軸對(duì)稱性進(jìn)行數(shù)量上的刻畫，并以此為基礎(chǔ)，進(jìn)而對(duì)涉及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的縱坐標(biāo)（函數(shù)值）大小的比較、界點(diǎn)等類問題的解決分享一些思路和方法.

1 對(duì)二次函數(shù)圖象軸對(duì)稱性的數(shù)量刻畫

二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象關(guān)于直線x=-b2a對(duì)稱，有如下結(jié)論：對(duì)于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）圖象上的任意兩點(diǎn)（x1，y1），（x2，y2）亦或是任意兩組對(duì)應(yīng)值，若滿足x1+x22=-b2a，則必有y1=y2；反之，若y1=y2，則也一定有x1+x22=-b2a.從二次函數(shù)圖象來看，關(guān)于直線x=-b2a對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)到直線x=-b2a的距離相等.

2 二次函數(shù)圖象軸對(duì)稱性的兩個(gè)結(jié)論

由于數(shù)量間的相等關(guān)系是數(shù)量間大小關(guān)系發(fā)生變化的分界點(diǎn)，因此在初中數(shù)學(xué)中，在比較數(shù)量間的大小關(guān)系時(shí)，往往從研究數(shù)量之間的相等關(guān)系入手，從而以此為界點(diǎn)，完成數(shù)量間大小的比較問題.如，在初一數(shù)學(xué)中，我們就曾經(jīng)利用方程（數(shù)量間的相等關(guān)系）得到方案的選擇問題（數(shù)量間的大小關(guān)系），就是借用了這一思想.

結(jié)合二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象特點(diǎn)，當(dāng)agt;0時(shí)，圖象上距離對(duì)稱軸x=-b2a越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)（也就是函數(shù)值）越大；當(dāng)alt;0時(shí)，圖象上距離對(duì)稱軸x=-b2a越遠(yuǎn)的點(diǎn)，其縱坐標(biāo)（即函數(shù)值）越小.根據(jù)上面1中的結(jié)論，移動(dòng)二次函數(shù)的對(duì)稱軸，不難得出在x1lt;x2的條件下，有以下兩個(gè)結(jié)論：

（1）當(dāng)agt;0時(shí)，若x1+x22lt;-b2a，則y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，則x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，則y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，則x1+x22gt;-b2a.

從二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置來看，對(duì)稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側(cè)有y1gt;y2，在左側(cè)有y1lt;y2.

（2）當(dāng)alt;0時(shí)，若x1+x22lt;-b2a，則y1lt;y2，反之，若y1lt;y2，則x1+x22lt;-b2a；

若x1+x22gt;-b2a，則y1gt;y2，反之，若y1gt;y2，則x1+x22gt;-b2a.

從二次函數(shù)對(duì)稱軸的位置來看，對(duì)稱軸x=-b2a在x=x1+x22的右側(cè)有y1lt;y2，在左側(cè)有y1gt;y2.

3 結(jié)論應(yīng)用

下面筆者對(duì)一些中考（或模擬）習(xí)題進(jìn)行粗淺的分析，共同體會(huì)以上結(jié)論在分析二次函數(shù)相關(guān)問題時(shí)所起的作用，以饗讀者.

例1（陜西中考練習(xí)題）若一個(gè)二次函數(shù)y=ax2-2ax-1（a≠0），當(dāng)x分別取x1，x2兩個(gè)不同的值時(shí)，函數(shù)值相等，則當(dāng)x取x1+x2時(shí)，函數(shù)值為

解析：題目中的未知數(shù)比較多，其中的a，x1，x2及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值均未知，直接入手將其代入函數(shù)解析式還是比較困難的，將要面對(duì)比較繁雜的方程組.在題干己告知“當(dāng)x分別取x1，x2兩個(gè)不同的值時(shí)，函數(shù)值相等”的條件下，雖然不知道具體函數(shù)值是多少，由上文1中結(jié)論可知，以這兩組對(duì)應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)必是二次函數(shù)圖象上對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn).因此必有x1+x22=-（-2a）2a=1，所以x1+x2=2，將x=2代入函數(shù)解析式可得出y=-1.

例2（2013陜西中考副題）若一個(gè)二次函數(shù)y=ax2-4ax+3（a≠0）的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A（m+2，y1），B（2-m，y2），下列關(guān)系正確的是（）.

A.y1gt;y2

B.y1lt;y2

C.y1=y2

D.無(wú)法判斷

解析：對(duì)于二次函數(shù)圖象及性質(zhì)問題的解決，往往需要先解決二次函數(shù)圖象的三要素（開口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn)坐標(biāo)）問題.對(duì)二次函數(shù)y=ax2-4ax+3（a≠0）而言，開口方向不明（取決于a的正負(fù)），可繼續(xù)考察其余兩個(gè)要素，利用二次函數(shù)的對(duì)稱軸公式，不難確定出二次函數(shù)的對(duì)稱軸為直線x=2，再次注意到二次函數(shù)圖象經(jīng)過A，B兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)滿足m+2+2-m2=2，結(jié)合二次函數(shù)對(duì)稱軸為直線x=2，由上文1中結(jié)論可得y1=y2.故選擇：C.

例3（西安交大附中模考）若二次函數(shù)y=-（x-h）2的圖象經(jīng)過兩點(diǎn)A（m+6，y1），B（m，y2）兩點(diǎn)，且y1=y2，求y2的值.

解析：由y1=y2，據(jù)上文1中結(jié)論知，A，B兩點(diǎn)應(yīng)是二次函數(shù)的圖象上對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，則對(duì)稱軸應(yīng)為直線x=h=m+6+m2=m+3，所以二次函數(shù)y=-（x-h）2即為y=-（x-m-3）2，將點(diǎn)B（m，y2）代入此函數(shù)解析式得y2=-（m-m-3）2=-9.

例4（2023思源實(shí)驗(yàn)學(xué)校模考）二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象最高點(diǎn)是點(diǎn)D（m，4）且經(jīng)過A（d，0），B（d+4，0），則a的值是（）.

A.1B.2

C.-1D.不確定

解析：通過審題，注意到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相同，則A，B應(yīng)是二次函數(shù)圖象上對(duì)稱的兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸是直線x=d+d+42=d+2，所以拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)即為D（d+2，4）.由此不妨設(shè)二次函數(shù)解析式為y=a（x-d-2）2+4，從而實(shí)現(xiàn)“消元”.將點(diǎn)A（d，0）代入，得a（d-d-2）2+4=0，所以a=-1.故選：C.

例5（2013陜西中考）已知兩點(diǎn)A（-5，y1），B（3，y2）均在拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上，點(diǎn)C（x0，y0）是拋物線的頂點(diǎn)，若y1gt;y2≥y0，則x0的取值范圍是（）.

A.x0gt;-5

B.x0gt;-1

C.-5lt;x0lt;-1

D.-2lt;x0lt;3

解析：由拋物線的頂點(diǎn)C（x0，y0）和y1gt;y2≥y0知，頂點(diǎn)C是二次函數(shù)圖象的最低點(diǎn)，所以拋物線的開口方向向上，即agt;0.結(jié)合對(duì)稱軸是直線x=x0，又y1gt;y2，由上文2中結(jié)論（1）知，一定有-5+32=-1lt;x0.故選：B.

例6（西安愛知中學(xué)模擬）已知y=x2+（1-a）[J]5x-1是關(guān)于x的二次函數(shù)，其中自變量x的取值范圍為2≤x≤4，當(dāng)x=2時(shí)函數(shù)y有最大值，則下列結(jié)論正確的是（）.

A.拋物線與x軸無(wú)交點(diǎn)

B.a≥7

C.對(duì)稱軸在y軸左側(cè)

D.當(dāng)x=4時(shí)，ygt;-1.

解析：因?yàn)棣?（1-a）2+4gt;0，所以拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤.因?yàn)?gt;0，即拋物線開口向上，所以要使在自變量取值范圍內(nèi)，當(dāng)x=2時(shí)y有最大值，由上文2中結(jié)論（1）知，該二次函數(shù)對(duì)稱軸必須在x=2+42=3的右側(cè)，即對(duì)稱軸x=-1-a2≥3，解得a≥7，故選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)C錯(cuò)誤.當(dāng)x=4時(shí)，y=19-4a，又a≥7，所以y≤-9，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.因此，本題正確答案為選項(xiàng)B.

例7（揚(yáng)州中考）如圖1，已知△ABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A（0，2），B（1，0），C（2，1）.若二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與陰影部分（含邊界）一定有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）.

A.b≤-2

B.blt;-2

C.b≥-2

D.bgt;-2

解析：由該二次函數(shù)解析式知，拋物線開口向上，且必過點(diǎn)（0，1），觀察到點(diǎn)C（2，1），二者縱坐標(biāo)相同.又拋物線對(duì)稱軸為直線x=-b2，當(dāng)-b2=0+22，即b=-2時(shí)，拋物線恰好過點(diǎn)C.若要讓二次函數(shù)y=x2+bx+1的圖象與陰影部分（含邊界）一定有公共點(diǎn)，由上文中結(jié)論（1）知，對(duì)稱軸需在x=1的左側(cè)，即對(duì)稱軸x=-b2≤1，所以b≥-2.故選：C.

通過對(duì)以上問題的分析，我們可以得到如下解題經(jīng)驗(yàn)：在二次函數(shù)圖象和性質(zhì)問題的考查中，如果已知條件涉及兩個(gè)及兩個(gè)以上點(diǎn)的坐標(biāo)（或兩組及兩組以上自變量與函數(shù)對(duì)應(yīng)值）時(shí)，就應(yīng)該考慮到此題可能是對(duì)二次函數(shù)圖象軸對(duì)稱性問題的考查，結(jié)合題目中的已知條件，借助本文中對(duì)二次函數(shù)軸對(duì)稱性的數(shù)量刻畫，可以快速找到解決此類問題的突破口和著力點(diǎn)，并方便、快捷地解決問題.