高溫高壓氣井測試井筒溫度應(yīng)力場耦合分析

王思維，何淼，3，許明標(biāo)，3，戴白妹

（1.長江大學(xué)石油工程學(xué)院，湖北 武漢 430100；2.長江大學(xué)油氣鉆采工程湖北省重點實驗室，湖北 武漢 430100；3.長江大學(xué)非常規(guī)油氣省部共建協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 430100）

0 引言

我國南海高溫高壓氣井測試期間，高溫氣體從油管內(nèi)自下而上流動，氣體攜帶的熱量使井口溫度迅速上升，易造成水泥環(huán)發(fā)生拉張破壞，井口密封失效，給測試生產(chǎn)作業(yè)帶來極大的安全風(fēng)險。因此，如何有效保障水泥環(huán)密封性是高溫高壓氣井測試作業(yè)的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，其中分析水泥環(huán)溫度和應(yīng)力變化對于評價其完整性具有重要意義。前人已針對高溫高壓氣井溫度應(yīng)力耦合開展了大量的研究工作。Al Saedi 等［1-2］根據(jù)傳熱原理及能量守恒定律，建立了井筒溫度壓力耦合模型，計算出鉆井和產(chǎn)能期間生產(chǎn)時間與產(chǎn)氣量對井筒溫度和壓力的影響；吳林等［3］建立了二氧化碳壓裂期間井筒瞬態(tài)溫度壓力模型，研究了油管尺寸等對井筒溫度壓力的影響；秦彥斌等［4］對高溫高壓井生產(chǎn)期間的井筒溫度場進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)生產(chǎn)和測試過程中環(huán)空溫度和壓力急劇上升，到達(dá)一定產(chǎn)量后環(huán)空溫度不再受產(chǎn)量的影響；董釗等［5-8］研究了氣井測試期間井筒溫度變化的參數(shù)，使井筒溫度大于生成水合物的臨界溫度值，預(yù)防了水合物的生成；李紫晗等［9］建立了溫度壓力耦合模型，模擬了測試期間井筒溫度和壓力的分布情況，結(jié)合管柱條件等發(fā)現(xiàn)，高產(chǎn)能深水氣井測試期間應(yīng)采用較大尺寸的管柱；許紅林等［10-11］基于彈性力學(xué)理論建立了溫度壓力耦合的水泥環(huán)力學(xué)理論模型，得出井筒溫度的變化會影響水泥環(huán)的密封性和完整性［12］；席巖等［13-15］建立了井筒溫度及組合體力學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)瞬態(tài)熱耦合作用導(dǎo)致套管和水泥環(huán)內(nèi)壁應(yīng)力發(fā)生變化，加劇了水泥環(huán)失效風(fēng)險；李勇等［16］建立了井筒溫度場及溫度應(yīng)力場模型，模型計算結(jié)果表明在高溫高壓氣井生產(chǎn)過程中淺層固井水泥環(huán)的溫升明顯，現(xiàn)場條件允許的情況下，采用兩層或多層水泥環(huán)進(jìn)行封固可以提高其密封安全系數(shù)。

已有研究主要集中在井筒部分，分析溫度應(yīng)力場對環(huán)空、套管應(yīng)力以及套管損壞的影響。而在水泥環(huán)完整性方面，大多并未直接給出測試產(chǎn)量與水泥環(huán)應(yīng)力變化之間的關(guān)聯(lián)性。因此，本文基于彈塑性力學(xué)和傳熱學(xué)等基礎(chǔ)理論，建立了氣井測試期間井筒-水泥環(huán)-地層組合體溫度應(yīng)力場耦合模型。通過分析測試期間氣體產(chǎn)量對井筒溫度和應(yīng)力分布的影響，提出測試期間存在最佳產(chǎn)量。同時結(jié)合氣油比、彈性模量、泊松比、套管壁厚等開展了氣井溫度應(yīng)力場的敏感性參數(shù)分析，研究為海上高溫高壓氣井的井筒安全評價和高效測試提供了借鑒［17］。

1 模型建立

1.1 井筒溫度場模型

深水氣井以泥線為界限分為2 個部分，泥線上方是海水，下方是地層。根據(jù)流動和傳熱過程，建立如圖1 所示的深水氣井井筒傳熱模型。

圖1 深水氣井井筒傳熱模型Fig.1 Wellbore heat transfer model of deep-water gas well

氣井井筒溫度場模擬中，考慮到氣體流動過程中攜帶的熱量使井筒周圍溫度發(fā)生變化，作如下假設(shè)［18］：1）將井筒內(nèi)的熱傳導(dǎo)看作一維穩(wěn)態(tài)傳熱，井筒周圍地層中的熱傳遞為非穩(wěn)態(tài)傳熱；2）地層溫度呈線性分布；3）流體在井筒內(nèi)保持穩(wěn)定的流動狀態(tài)；4）地層巖石的熱物理性質(zhì)（密度、比熱容和熱傳導(dǎo)率）為恒定值；5）套管和水泥環(huán)簡化為井壁單元，導(dǎo)熱系數(shù)為其綜合導(dǎo)熱系數(shù)。

1.1.1 數(shù)學(xué)方程

1.1.1.1 能量守恒方程

根據(jù)圖1 建立的模型，將井筒-地層傳熱系統(tǒng)在徑向上劃分為5 個區(qū)域：油管內(nèi)、油管壁、環(huán)空、套管和水泥環(huán)、地層。根據(jù)傳熱學(xué)第一定律，微元體內(nèi)的能量等流入的凈熱量與外界對其做的功之和，針對于已經(jīng)劃分的5 個區(qū)間分別建立控制方程，各個方程之間相互關(guān)聯(lián)，最終聯(lián)立求解［19-21］。根據(jù)上述假設(shè)，井筒溫度與測試時間、半徑的二階偏微分方程為

流體在油管中的能量變化主要有3 個部分：1）沿軸向的對流換熱；2）沿徑向與油管內(nèi)壁的強(qiáng)制對流換熱；3）流動產(chǎn)生的摩阻生熱。

油管壁的能量變化主要有3 個部分：1）油管內(nèi)壁沿徑向與油管內(nèi)流體的強(qiáng)制對流換熱；2）油管外壁沿徑向與環(huán)空流體的熱傳導(dǎo)；3）油管壁沿軸向和徑向的熱傳導(dǎo)。

測試期間，環(huán)空測試液為靜止?fàn)顟B(tài)，環(huán)空內(nèi)的能量變化主要有2 個部分：1）沿徑向與油管外壁的熱傳導(dǎo)；2）沿徑向與井壁的熱傳導(dǎo)。

將套管和水泥環(huán)統(tǒng)一簡化為井壁單元，綜合導(dǎo)熱系數(shù)為

井壁的能量變化主要有3 個部分：1）沿徑向與環(huán)空流體的熱傳導(dǎo)；2）沿徑向與地層的熱傳導(dǎo)；3）沿井壁徑向和軸向的熱傳導(dǎo)。

地層和海水段的能量變化主要有2 個部分：1）沿徑向的熱傳導(dǎo)；2）沿軸向的熱傳導(dǎo)。

1.1.1.2 輔助方程

井筒流體沿路徑的壓降包括重力壓降、 摩擦壓降和加速壓降，井筒壓降方程［22］為

摩擦因數(shù)u 是雷諾數(shù)和粗糙度的函數(shù)，根據(jù)雷諾數(shù)范圍，確定摩擦因數(shù)［23］：

1.1.2 初始條件和邊界條件

1.1.2.1 初始條件

初始時刻，井筒-地層整個傳熱系統(tǒng)的初始溫度均為原始地層溫度。

初始時刻，海水溫度等于油管和環(huán)空流體的初始溫度。海水溫度數(shù)據(jù)不完整時，根據(jù)Levitus 模型計算不同深度處的海水溫度。

1.1.2.2 邊界條件

油管內(nèi)的流體、 油管壁和環(huán)空的流體在井底處溫度相同。

1.1.3 數(shù)值求解方法

溫度控制方程離散化時，采用Crank-Nicolson 全隱式格式。徑向空間選用變密度網(wǎng)格，近井壁網(wǎng)格較密，遠(yuǎn)井壁網(wǎng)格稀疏，徑向步長基本服從指數(shù)規(guī)律變化［24］。

根據(jù)Crank-Nicolson 全隱式格式，所有的能量方程可寫成：

各節(jié)點的離散方程組成的線性方程組可以由矩陣形式表示

1.2 組合體力學(xué)模型

水泥漿凝固后，將套管、水泥環(huán)和地層看作復(fù)合圓筒［25］。由于它們的物性參數(shù)不同，當(dāng)套管內(nèi)壓、地層壓力和復(fù)合圓筒的溫度變化時，水泥環(huán)在第一、二界面會產(chǎn)生接觸壓力或拉應(yīng)力［26-27］。假設(shè)組合體界面完全膠結(jié)，根據(jù)組合體的溫度變化和界面處連續(xù)位移條件計算出水泥環(huán)的徑向應(yīng)力和周向應(yīng)力。簡化后的模型受力情況如圖1c 所示。

模型假設(shè)如下：1）套管、水泥環(huán)、地層均視為厚壁圓柱體，套管無幾何缺陷，水泥環(huán)2 個界面完全膠結(jié)，即徑向位移和徑向應(yīng)力在2 個膠結(jié)面上保持連續(xù)性。2）套管、水泥環(huán)、地層巖石看作均質(zhì)各向同性材料，其熱力學(xué)參數(shù)均不考慮徑向變化且水泥環(huán)內(nèi)無初始應(yīng)力。3）復(fù)合圓筒為平面應(yīng)變變形。

結(jié)合溫度變化這個條件，圓環(huán)的切向應(yīng)變和軸向應(yīng)變表示為

由于井眼深度較大，忽略軸向應(yīng)變，將圓環(huán)受力假設(shè)為平面應(yīng)變，滿足圓環(huán)的徑向變形量為

套管在第一界面的徑向變形量為

水泥環(huán)在第一界面處的徑向變形量為

由界面連續(xù)條件可知，式（19）和式（22）中2 個徑向形變量相等，則有

水泥環(huán)在第二界面處的徑向變形量為

地層巖石分別受接觸壓力和地層壓力的作用，其在第二界面處的徑向變形量為

由界面連續(xù)條件可得式（24）和式（25）中2 個變形量相等，從而有：

將溫度場模型計算得到的井口溫度差值，聯(lián)立上述組合體力學(xué)模型方程組，計算出水泥環(huán)在任意半徑r 處的井周應(yīng)力。

2 模型驗證

為了驗證本文模型的準(zhǔn)確性和可靠性，分別采用文獻(xiàn)［28］（井1）和文獻(xiàn)［29］（井2）中的直井PIPESIM模擬和實測2 組數(shù)據(jù)，結(jié)合本文模型進(jìn)行對比分析，井1 和井2 的計算參數(shù)見表1。

表1 計算參數(shù)Table 1 Calculation parameters

圖2 為本文模型與商業(yè)軟件、 實測數(shù)據(jù)及經(jīng)典模型模擬數(shù)據(jù)的對比。由圖2a 可知，李勇模型［16］和宋戈模型［28］的模擬結(jié)果均低于商業(yè)軟件計算結(jié)果，本文模型計算結(jié)果與PIPESIM 模擬結(jié)果的吻合度更高，平均誤差僅為0.84%，而李勇模型和宋戈模型的平均誤差分別為3.13%和4.03%。氣井產(chǎn)量為50×104m3/d 時，溫度從井底到井口逐漸降低，穩(wěn)定后測得單點井口溫度為82.3 ℃。李勇模型［16］和宋戈模型［28］的模擬結(jié)果分別為79.5 ℃和75.8 ℃，本文的模擬結(jié)果為80.9 ℃，相對誤差僅為1.7%。

圖2 模型與商業(yè)軟件、實測數(shù)據(jù)及經(jīng)典模型計算結(jié)果對比Fig.2 Comparison of calculation results of model with commercial software,measured data and classical model

圖2b 給出了本文模型與文獻(xiàn)［29］實測數(shù)據(jù)及經(jīng)典模型的對比結(jié)果。由圖可知，相比于Ramey 模型和Hassan 模型，本文模型的計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)的吻合度更高，平均誤差僅為1.65%，具有更高的精度。綜上所述，結(jié)合已有文獻(xiàn)中PIPESIM 模擬溫度和實測溫度2 組數(shù)據(jù)驗證，充分表明本文中模型具有較高的精度與準(zhǔn)確性。

3 實例分析

在模型驗證的基礎(chǔ)上，以南海高溫高壓氣井X 井為例開展模擬分析，計算所需基礎(chǔ)參數(shù)見表2。

表2 X 井基礎(chǔ)參數(shù)Table 2 Basic parameters of Well X

3.1 計算結(jié)果分析

3.1.1 測試產(chǎn)量對井筒溫度的影響

當(dāng)產(chǎn)氣量分別為20×104，40×104，60×104，80×104，100×104，140×104，160×104m3/d 時，井筒內(nèi)的溫度變化情況如圖3 所示。由圖3 可以看出，產(chǎn)量不變時，測試時間越長，井口溫度越高，井口溫度在測試初期變化較大，但總體變化幅度逐漸趨于平緩。主要原因是測試初期，氣井產(chǎn)氣時帶有巨大的熱量，瞬態(tài)傳熱系數(shù)較大，氣體從井底流向井口的過程中損失的熱量較大； 隨著測試時間增大，無因次生產(chǎn)時間越大，瞬態(tài)傳熱系數(shù)逐漸減小。在氣體從井底流向井口的過程中，損失的熱量逐漸減小。當(dāng)測試時間到達(dá)一定值后，瞬態(tài)傳熱系數(shù)保持穩(wěn)定，井口溫度趨于一個恒定值。

圖3 產(chǎn)量對井口溫度的影響Fig.3 Influence of yield on wellhead temperature

3.1.2 不同產(chǎn)量下溫差對水泥環(huán)應(yīng)力的影響

測試產(chǎn)量對于井筒溫度場分布的影響較大。由表2 的基礎(chǔ)數(shù)據(jù)計算得出，當(dāng)產(chǎn)量分別為20×104，40×104，60×104，80×104，100×104，140×104，160×104m3/d 時，井口溫差分別為55，86，103，114，122，130，134 ℃。近井口處水泥環(huán)周向應(yīng)力的分布情況如圖4 所示。圖4表明，水泥環(huán)切向上為拉應(yīng)力，最大拉應(yīng)力位于第一界面。井口溫度升幅越大，水泥環(huán)周向應(yīng)力越大，水泥環(huán)切向受拉失效風(fēng)險也越大。因此，高溫高壓氣井測試和產(chǎn)能期間需要考慮產(chǎn)量和溫度變化對水泥環(huán)整體力學(xué)性能的影響。

圖4 井口溫差對水泥環(huán)周向應(yīng)力的影響Fig.4 Influence of wellhead temperature difference on circumferential stress of cement sheath

3.1.3 最佳測試產(chǎn)量

水泥環(huán)第一界面周向應(yīng)力隨井深和井口溫差變化的剖面如圖5 所示。由井底向井口隨井深變淺，水泥環(huán)周向應(yīng)力增加，并從壓應(yīng)力向拉應(yīng)力轉(zhuǎn)變。井口溫度升幅越大，水泥環(huán)周向應(yīng)力越大。由圖5 可知，當(dāng)產(chǎn)氣量為100×104m3/d 時，井口溫差為122 ℃，第一界面水泥環(huán)周向應(yīng)力接近其抗拉強(qiáng)度極限值2.5 MPa［30］，為測試最佳日氣量。當(dāng)產(chǎn)氣量達(dá)到120×104m3/d 時，井口溫度升幅為130 ℃，水泥環(huán)周向應(yīng)力為2.62 MPa，該值已超過水泥環(huán)的抗拉強(qiáng)度，此時水泥環(huán)自井口向下近100 m 井段發(fā)生拉張破壞，井口水泥環(huán)封固失效。在現(xiàn)場工藝中，可以提前分析井筒內(nèi)溫度和應(yīng)力場的變化，并考慮改變測試液的保溫性能，以降低井口溫度升幅或提升水泥環(huán)的抗高溫性能。

圖5 井深和溫差變化對水泥環(huán)第一界面周向應(yīng)力的影響Fig.5 Influence of well depth and temperature difference on circumferential stress at the first interface of cement sheath

3.2 影響因素分析

3.2.1 氣油比對組合體溫度和應(yīng)力的影響

設(shè)置生產(chǎn)氣油比分別為9.0，4.0，2.5，1.5，1.0 m3/m3，測試產(chǎn)氣量為100×104m3/d 時，計算不同氣油比下組合體溫度和水泥環(huán)周向應(yīng)力的變化情況（見圖6）。由圖6a 可知，氣油比越大，井筒溫度越高，在井深較淺處溫度變化較大。圖6b 表明，氣油比越大，井口處水泥環(huán)的周向應(yīng)力越大，最大值出現(xiàn)在第一界面。考慮氣油比時的井筒溫度和水泥環(huán)周向應(yīng)力將低于純氣時的井筒溫度和水泥環(huán)周向應(yīng)力。增大氣油比，井筒溫度和水泥環(huán)周向應(yīng)力也隨之增大，水泥環(huán)受拉失效的風(fēng)險越大。因此，高溫高壓氣井測試期間，應(yīng)考慮氣油比對井筒溫度及水泥環(huán)力學(xué)性能的影響。

圖6 氣油比對井筒溫度和水泥環(huán)周向應(yīng)力的影響Fig.6 Influence of gas-oil ratio on wellbore temperature and circumferential stress of cement sheath

3.2.2 水泥環(huán)性能參數(shù)對其周向應(yīng)力的影響

為了確保復(fù)雜條件下水泥環(huán)的密封性和有效封堵性，通常需要對水泥環(huán)的性能參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化［31］。當(dāng)產(chǎn)氣量為100×104m3/d 時，研究水泥環(huán)的彈性模量和泊松比對其周向應(yīng)力的影響（見圖7）。由圖7a 可知，彈性模量越大，水泥環(huán)沿切向受拉且拉應(yīng)力逐漸增大。距離井筒中心越遠(yuǎn)，周向拉應(yīng)力逐漸減小，水泥環(huán)第一界面易受到拉張破壞，為危險界面。由圖7b 可知，泊松比和徑向距離越大，水泥環(huán)的周向應(yīng)力越小，第一界面承受最大周向拉應(yīng)力。相比于彈性模量，泊松比對水泥環(huán)周向應(yīng)力的影響較小。為了降低第一界面水泥環(huán)拉伸破壞風(fēng)險，建議在進(jìn)行固井作業(yè)前優(yōu)化水泥漿的配方，添加適量的韌性材料，以降低水泥石的彈性模量并提高其韌性［32］。

圖7 水泥環(huán)的性能參數(shù)對其周向應(yīng)力的影響Fig.7 Influence of performance parameters of cement sheath on its circumferential stress

3.2.3 套管壁厚對水泥環(huán)應(yīng)力的影響

當(dāng)產(chǎn)氣量為100×104m3/d 時，套管壁厚對水泥環(huán)周向應(yīng)力的影響如圖8 所示。由圖可知，隨套管壁厚和徑向距離的增加，水泥環(huán)的第一界面承受最大的周向拉應(yīng)力，且拉應(yīng)力逐漸減小。現(xiàn)場工藝允許的情況下，為了減小水泥環(huán)第一界面的拉伸破壞風(fēng)險，宜選用壁厚較大的套管。

圖8 水泥環(huán)周向應(yīng)力隨套管壁厚的變化Fig.8 Change of circumferential stress of cement sheath with wall thickness of casing

4 結(jié)論

1）基于彈塑性力學(xué)和傳熱學(xué)等基礎(chǔ)理論，建立了深水高溫高壓氣井測試期間井筒溫度應(yīng)力場耦合模型。用PIPESIM 模擬和實測2 組數(shù)據(jù)進(jìn)行模型驗證，模型與PIPESIM 的平均誤差為0.84%，與實測數(shù)據(jù)的平均誤差為1.65%，表明本文模型具有較高的精度和準(zhǔn)確性。

2）產(chǎn)氣量越大，井口溫度升幅越高，水泥環(huán)周向拉應(yīng)力越大，第一界面具有最大周向拉應(yīng)力。井底向井口隨井深變淺，水泥環(huán)周向應(yīng)力增加，并從壓應(yīng)力逐漸轉(zhuǎn)向拉應(yīng)力。計算不同產(chǎn)氣量和井口溫度升幅下水泥環(huán)的周向應(yīng)力剖面，并與其抗拉強(qiáng)度比較，得出存在測試最佳量，即為100×104m3/d。當(dāng)產(chǎn)氣量為120×104m3/d 時，井口以下約100 m 井段發(fā)生拉張破壞，水泥環(huán)密封失效。

3）深水高溫高壓氣井測試過程中，井筒溫度和應(yīng)力分布受多個因素的影響。研究表明，氣油比越大，井筒溫度越高，水泥環(huán)周向應(yīng)力越大，第一界面封隔失效風(fēng)險越大。工程上采用壁厚較大的套管、較大導(dǎo)熱系數(shù)的環(huán)空測試液、 低彈性模量及高泊松比的彈韌性固井水泥等措施，更能在井口溫度升幅較大時保證近井口段的水泥環(huán)完整性。

5 符號注釋

T 為溫度，℃；i，j，n 分別為徑向、軸向和時間節(jié)點；Δz 為軸向上最短距離，m；rpi為油管內(nèi)壁半徑，mm；rpo為油管外壁半徑，mm；rci為套管內(nèi)壁半徑，mm；rco為套管外壁半徑，mm；rse為水泥環(huán)半徑，mm；rf為地層半徑，mm；p 為壓力，MPa；pin為套管內(nèi)壓，MPa；pm為套管和水泥環(huán)接觸壓力，MPa；pn為水泥環(huán)和地層接觸壓力，MPa；pf為地層壓力，MPa；ρ 為密度，kg/m3；φ 為流體的體積分?jǐn)?shù)；c 為比熱容，J/（kg·℃）；t 為時間，s；q 為流體流量，L/s；z 為軸向坐標(biāo)，m；r 為徑向坐標(biāo)，m；λ 為導(dǎo)熱系數(shù)，W/（m2·℃）；Q 為黏性摩擦力功率，W/m；h 為強(qiáng)制對流換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；pi 為油管內(nèi)壁；p 為油管；l 為液相；g 為氣相；po 為油管外壁；pw 為油管壁整體；a 為環(huán)空；k 為環(huán)空內(nèi)液體靜止時與表面的換熱系數(shù)，W/（m2·℃）；g 為重力加速度，m/s2；v 為流體流動速度，m/s；u 為摩擦因數(shù)；vm為氣液混合速度，m/s；D 為水力直徑，mm；ε 為絕對粗糙度；Reg為廣義雷諾數(shù)；n′為廣義流性指數(shù)；Deff為有效直徑，mm；H 為井深，m；G 為地溫梯度，℃/100 m；H1為海水深度，m；Tin為油管內(nèi)流體溫度，℃；Aij，Bij，Cij，Dij，Eij，Uij為常數(shù)項矩陣；A 為系數(shù)矩陣；R 為溫度向量；εθ為切向應(yīng)變；E 為彈性模量，GPa；σθ為切向應(yīng)力，MPa；ν 為材料泊松比；σz為軸向應(yīng)力，MPa；σr為徑向應(yīng)力，MPa；α 為材料熱膨脹系數(shù)，℃-1；ΔT 為井口溫差，℃；εz為切向應(yīng)變；δr為徑向變形量，mm；δrco為套管在第一界面徑向變形量，mm；σrse為水泥環(huán)徑向應(yīng)力，MPa；σθse為水泥環(huán)周向應(yīng)力，MPa；rm為套管平均半徑，mm；ts為套管厚度，mm；δrsei為水泥環(huán)在第一界面處的徑向變形量，mm；δrseo為水泥環(huán)在第二界面處的徑向變形量，mm；δrfi為地層在第二界面處的徑向變形量，mm；ci 為套管內(nèi)壁；s 為井壁；c 為套管；se 為水泥環(huán)；co 為套管外壁；f 為地層；b 為海水。