考慮硫沉積影響的水平井穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測

王勇飛，劉言，梁中紅，向祖平

（1.中國石化西南油氣分公司采氣二廠，四川 南充 637000；2.中國石化西南油氣分公司，四川 成都 610095；3.重慶科技學(xué)院，重慶 400041）

0 引言

四川盆地高含硫氣藏儲量規(guī)模較大，大部分氣田產(chǎn)出流體中含有硫化氫氣體組分［1-2］。開采過程中，溶解在天然氣中的部分硫顆粒隨著壓力降低而析出，同時，由于井底附近壓力降低幅度比較大，井筒附近形成大量的硫堆積，降低了天然氣滲流能力［3-4］。為了合理地制定開發(fā)方案并對儲層進(jìn)行評價，需要建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型描述高含硫氣藏水平井滲流過程，以模擬氣井穩(wěn)產(chǎn)時間、井底壓力和地層壓力的變化。

目前，許多學(xué)者采用徑向復(fù)合模型來描述高含硫氣藏流動規(guī)律。2006 年，李成勇等［5］提出了無限大外邊界徑向復(fù)合高含硫氣藏井底壓力模擬模型。2008 年，張烈輝等［6］考慮硫沉積影響，建立了雙區(qū)復(fù)合穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型?？紤]儲層為雙重介質(zhì)模型，晏中平等［7］建立了雙孔介質(zhì)硫沉積影響的試井解釋數(shù)學(xué)模型。考慮流體在井筒中的相分離，王海濤等［8-9］分別建立了徑向復(fù)合滲流數(shù)學(xué)模型來描述氣滲流規(guī)律?？紤]大的縫洞性碳酸鹽巖氣藏，魏操等［10-11］建立了井洞相連的串珠狀縫洞型油藏試井模型。上述學(xué)者利用徑向復(fù)合模型對高含硫氣藏直井不穩(wěn)定滲流規(guī)律進(jìn)行了研究，但沒有基于不穩(wěn)定滲流模型開展穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測研究。

2013 年，黨勇杰等［12］基于穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能模型開展了帶狀高含硫氣藏分支水平井產(chǎn)能預(yù)測研究。李繼強等［13］基于實驗對高含硫氣藏PVT 屬性進(jìn)行了分析，結(jié)合數(shù)值模擬技術(shù)模擬高含硫氣藏動態(tài)變化特征。崔明月等［14］基于非穩(wěn)態(tài)橢圓流理論，建立了壓裂水平井高含硫氣藏非穩(wěn)態(tài)產(chǎn)能預(yù)測模型。同時，也有一部分學(xué)者對高含硫氣藏氣井見水時間、 水平段長度優(yōu)化和產(chǎn)能預(yù)測進(jìn)行了研究［15-17］。

然而，目前還沒有高含硫氣藏水平井穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測方面的研究。為了對高含硫氣藏水平井進(jìn)行準(zhǔn)確的穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測，本研究將高含硫氣藏分為內(nèi)、外2 個區(qū)域，建立了矩形復(fù)合水平井不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型，采用邊界元方法對其進(jìn)行求解，并分析了井底壓力變化規(guī)律；結(jié)合高含硫氣藏物質(zhì)平衡方程，建立了高含硫氣藏穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測模型，分析各參數(shù)對穩(wěn)產(chǎn)時間、井底壓力和地層壓力的影響，開展參數(shù)最優(yōu)化和合理配產(chǎn)研究。

1 氣藏數(shù)學(xué)模型的建立與求解

1.1 氣藏物理模型

高含硫氣藏開發(fā)過程中，井底壓力降低，導(dǎo)致水平井井筒周圍形成不規(guī)則的硫沉積區(qū)，由于硫沉積堵塞，部分水平井井筒單元沒有滲流能力。本文采用復(fù)合模型來描述硫沉積形成（見圖1）。其中：內(nèi)區(qū)為硫沉積區(qū)，滲透率和孔隙度分別為K1，?1；外區(qū)為非硫沉積區(qū)，滲透率和孔隙度分別為K2，?2；Γin為硫沉積區(qū)邊界，Γout為非硫沉積區(qū)邊界。為了更好地建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，基本假設(shè)條件如下：1）天然氣在儲層中的滲流為等溫滲流；2）氣井定產(chǎn)量生產(chǎn)，且投產(chǎn)前地層處處壓力相等；3）流體為單相流，且不考慮重力和毛細(xì)管力的影響；4）流體流動滿足達(dá)西滲流規(guī)律。

圖1 考慮硫沉積水平井物理模型示意Fig.1 Schematic diagram of physical model of horizontal well considering sulfur deposition

1.2 滲流數(shù)學(xué)模型

1.2.1 數(shù)學(xué)模型建立

根據(jù)實驗研究，地層發(fā)生硫沉積時滲透率下降，硫沉積區(qū)滲透率與含硫飽和度的關(guān)系［18］為

式中：a 為經(jīng)驗系數(shù)（負(fù)值）；S0為含硫飽和度。

為了線性化滲流微分，用擬壓力代表壓力分別建立硫沉積區(qū)和非硫沉積區(qū)的無因次滲流數(shù)學(xué)模型。

1）硫沉積區(qū)滲流微分方程

2）非硫沉積區(qū)滲流微分方程

3）初始條件和外邊界條件

4）界面銜接條件

式中：ψ 為擬壓力，MPa/（mPa·s）；T 為儲層溫度，K；q?為單位長度流量，104m3/d；h 為儲層厚度，m；x，y，z 為計算點坐標(biāo)，m；xw，yw，zw為滲流段中點坐標(biāo)，m；Ct為綜合壓縮系數(shù)，MPa-1；μ 為氣體黏度，mPa·s；t 為生產(chǎn)時間，h；n 為含硫區(qū)與非含硫區(qū)交界面法線向量；r 為平面徑向距離，m；δ（x）為δ 分段函數(shù)；Z 為天然氣偏差因子；p 為任意時刻的地層壓力，MPa；下標(biāo)1，2 分別表示硫沉積區(qū)和非硫沉積區(qū)；下標(biāo)i 代表原始狀態(tài)。

1.2.2 數(shù)學(xué)模型求解

為了方便方程求解，定義以下無因次變量：

式中：Q 為氣井產(chǎn)量，104m3/d；Lr為參考長度，m；l 為長度，m；ω12為硫沉積區(qū)、非硫沉積區(qū)導(dǎo)壓系數(shù)比；? 為儲層孔隙度；下標(biāo)D 代表無因次。

對式（2）—式（7）進(jìn)行無因次化處理，然后關(guān)于無因次時間進(jìn)行Laplace 變化之后為

根據(jù)相關(guān)文獻(xiàn)，式（8）和式（9）的通解［19-20］為

式中：K0（x）為零階第一類貝塞爾函數(shù)；G1D（x），G2D（x）分別為硫沉積區(qū)、 非硫沉積區(qū)Laplace 空間無因次壓力解；RD為三維空間下離散點與作用點的無因次距離。

根據(jù)邊界元求解思路，分別將井筒、儲層交界面和外邊界分別離散為Nw，Nin和Nout個離散單元（見圖2。其中：xmD為無因次水平井離散單元中點坐標(biāo)，xD為無因次水平井離散單元節(jié)點坐標(biāo)），詳細(xì)的推導(dǎo)過程這里不再贅述，相關(guān)文獻(xiàn)已經(jīng)給出［21-22］。

圖2 井筒和邊界離散示意Fig.2 Schematic diagram of wellbore and boundary dispersion

最終，基于邊界元求解思想，式（8）和式（9）離散之后的滲流微分方程即式（15）和式（16）。

式中：θ1k，θ2k分別為內(nèi)外區(qū)交界面、外邊界離散單元節(jié)點處幾何參數(shù)；為滲流離散單元無因次線流量；k 為離散單元節(jié)點編號；為離散單元節(jié)點在Laplace 空間下的導(dǎo)數(shù)；ξ 為邊界元離散單元局部坐標(biāo)［-1，1］內(nèi)的任意一點；i 為離散單元序號。

不考慮流體在井筒中的壓降，根據(jù)壓降疊加原理，離散后的井筒與儲層耦合方程為

式中：△xD為無因次水平井滲流段離散網(wǎng)格長度；ψwD為無因次井底壓力。

根據(jù)質(zhì)量守恒，得：

聯(lián)立式（15）—式（18）構(gòu)建矩陣，采用高斯消元法求解矩陣，最終得到無因次井底擬壓力。

2 穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測模型構(gòu)建

為了準(zhǔn)確評估水平井開發(fā)高含硫氣藏的穩(wěn)產(chǎn)時間，需要結(jié)合油氣藏物質(zhì)平衡方程對地層壓力和穩(wěn)產(chǎn)時間進(jìn)行評估。根據(jù)相關(guān)學(xué)者研究，定容高含硫氣藏物質(zhì)平衡方程［23-24］為

式中：G 為動態(tài)地質(zhì)儲量，104m3；Gp為累計產(chǎn)氣量，104m3；ρs為固體元素硫密度，g/m3；Rs為當(dāng)前壓力下硫在含硫氣體中的溶解度，g/m3。

氣井定產(chǎn)量生產(chǎn)時，物質(zhì)平衡擬時間（ta）為

具體模擬計算方法及步驟如下：1）給定氣井生產(chǎn)時間數(shù)組，設(shè)定氣井定產(chǎn)生產(chǎn)產(chǎn)量為qconst，計算任意時刻的累計產(chǎn)氣量；2）根據(jù)式（19），計算任意時刻的p/Z，通過p/Z 關(guān)系曲線插值計算p；3）根據(jù)已知地層壓力計算任意時刻的μ，Ct，Rs［14］，再根據(jù)式（20）計算任意時刻的ta；4）根據(jù)無因次時間定義，計算無因次物質(zhì)平衡擬時間；5）利用無因次物質(zhì)平衡擬時間，計算Laplace空間無因次井底壓力（式（15）—式（18））；6）利用Stehfest數(shù)值反演［25］得到實空間下無因次井底壓力，再根據(jù)無因次壓力定義、擬壓力與壓力關(guān)系曲線，得到任意時刻井底壓力pw；7）將計算得到的井底壓力與設(shè)定井底壓力pw_const對比，當(dāng)相對誤差絕對值小于1e-5 或模擬時間結(jié)束時停止計算。否則，重復(fù)步驟2）—6）。

3 參數(shù)敏感性分析

假定所有滲流段、堵塞段的長度相等，利用上述方法計算井底壓力和平均地層壓力，基本參數(shù)見表1。

表1 穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測基本參數(shù)Table 1 Parameters for prediction of stable production capacity

從圖3 可以看出：含硫飽和度越大，水平井井筒周圍越容易形成硫沉積，天然氣在井筒周圍的滲流阻力就越大，氣井穩(wěn)產(chǎn)時間越短。同時，受井筒周圍硫沉積的影響，定產(chǎn)量生產(chǎn)情況下儲層流體補給能力減弱，因此，含硫飽和度越大，定產(chǎn)階段井底壓力下降速度越快。通過回歸氣井穩(wěn)產(chǎn)時間與含硫飽和度數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)，含硫飽和度與穩(wěn)產(chǎn)時間呈指數(shù)遞減關(guān)系，表明含硫飽和度的增加對氣井穩(wěn)產(chǎn)時間的影響比較大。

圖3 含硫飽和度對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力的影響Fig.3 Effect of sulfur saturation on stable production time and bottom hole pressure

從圖4 可以看出： 堵塞段與滲流段長度比值對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力有比較明顯的影響，堵塞段與滲流段長度比值越大，說明硫沉積導(dǎo)致大部分水平井筒外部堵塞，流體流入井筒的通道越少，穩(wěn)產(chǎn)時間越短。同時，回歸穩(wěn)產(chǎn)時間和堵塞段與滲流段長度比值發(fā)現(xiàn)，兩者呈很好的負(fù)線性關(guān)系。

圖4 堵塞段與滲流段長度比值對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力的影響Fig.4 Effect of blocked and seepage section length ratio on stable production time and bottom hole pressure

從圖5 可以看出： 水平段長度對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力的影響較明顯，水平段越長，滲流段越長，井筒與儲層的接觸面積越大，井筒周圍滲流阻力越小，氣井穩(wěn)產(chǎn)時間越長。然而水平段長度與穩(wěn)產(chǎn)時間并不呈線性變化關(guān)系，而呈指數(shù)變化關(guān)系，說明增加水平段長度對延長高含硫氣藏穩(wěn)產(chǎn)時間具有明顯效果。

圖5 水平段長度對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力的影響Fig.5 Effect of horizontal section length on stable production time and bottom hole pressure

4 實例分析

以四川盆地元壩高含硫氣藏某水平井WH 為例。該井于2009 年3 月襯管完井，水平段長度為1 175.77 m。2010 年12 月該井開始投產(chǎn)，投產(chǎn)初期油壓為48.09 MPa，日產(chǎn)天然氣56.46×104m3，是一口典型的高產(chǎn)氣井，井深6 645.4 m。原始地層壓力為50 MPa，地層溫度為154.79 ℃。2014 年7 月24 日關(guān)井測量壓力恢復(fù)數(shù)據(jù)，關(guān)井前井底流壓為42.28 MPa，產(chǎn)氣量為60×104m3/d，壓力恢復(fù)測試時間為7 d。氣層有效厚度為108 m，孔隙度為0.057，井筒半徑為0.083 m，氣體相對密度為0.63。根據(jù)實驗數(shù)據(jù)，該井硫質(zhì)量濃度為2.098 g/m3，天然氣組分摩爾分?jǐn)?shù)見表2。

表2 元壩WH 井天然氣組分Table 2 Natural gas components in Well WH of Yuanba gas reservoir

首先，基于Levenberg-Marquart 算法，用本文所建立的考慮硫沉積影響的水平井分段滲流數(shù)學(xué)模型對該井進(jìn)行壓力恢復(fù)數(shù)據(jù)擬合，擬合雙對數(shù)曲線如圖6 所示。從擬合結(jié)果可以看出，本文模型與實測數(shù)據(jù)擬合效果極佳，驗證了模型的正確性。試井?dāng)M合得到水平井有效長度為912.30 m，堵塞段長度為263.47 m，滲流段個數(shù)為5，堵塞段個數(shù)為4，外推地層壓力為42.66 MPa，表皮系數(shù)為0.5，井儲系數(shù)為4.03 m3/MPa，等效硫沉積半徑為997 m，含硫飽和度為0.25，儲層滲透率為7.83×10-3μm2。

圖6 WH 井壓力恢復(fù)雙對數(shù)擬合結(jié)果Fig.6 Fitting results of pressure build-up log-log of Well WH

其次，基于同樣算法，采用定產(chǎn)氣量的方法對井底壓力進(jìn)行擬合，并預(yù)測地層壓力。擬合過程中，基于試井?dāng)M合得到的基本參數(shù)為初值，調(diào)整外邊界大小，最終求得動態(tài)地質(zhì)儲量為27.41×108m3（見圖7）。截至目前，地層壓力為11.85 MPa，產(chǎn)氣量基本維持在25×104m3/d。

圖7 WH 井生產(chǎn)歷史擬合結(jié)果Fig.7 Fitting results of production history of Well WH

最后，基于生產(chǎn)歷史擬合和試井?dāng)M合得到的基本參數(shù)，以當(dāng)前狀態(tài)進(jìn)行穩(wěn)產(chǎn)能力預(yù)測。預(yù)測當(dāng)前狀態(tài)下配產(chǎn)分別為25×104，20×104，15×104m3/d，目標(biāo)井底壓力為0.1 MPa 時氣井井底壓力和地層壓力的變化（見圖8）。

圖8 WH 井生產(chǎn)預(yù)測結(jié)果Fig.8 Precdicted production results of Well WH

基于此，插值統(tǒng)計目標(biāo)井底壓力分別為0.1，3.0，5.0，7.0 MPa 時的穩(wěn)產(chǎn)時間。從圖9 可以看出，目標(biāo)井底壓力對氣井穩(wěn)產(chǎn)時間有很大影響，目標(biāo)井底壓力越小，穩(wěn)產(chǎn)時間越長。在目前3 種配產(chǎn)方案下，氣井最長可穩(wěn)產(chǎn)440 d。

圖9 WH 井不同目標(biāo)井底壓力下的穩(wěn)產(chǎn)時間Fig. 9 Stable production period of Well WH under different bottom hole pressure

5 結(jié)論

1）結(jié)合邊界元與源函數(shù)，對高含硫氣藏水平井分段滲流數(shù)學(xué)模型進(jìn)行求解； 結(jié)合不穩(wěn)定滲流數(shù)學(xué)模型與高含硫氣藏物質(zhì)平衡方程，預(yù)測氣井穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力，為氣井穩(wěn)產(chǎn)時間預(yù)測提供了理論依據(jù)。

2）含硫飽和度、堵塞段與滲流段長度比值和水平段長度等對穩(wěn)產(chǎn)時間和井底壓力有著非常明顯的影響，含硫飽和度和水平段長度與氣井穩(wěn)產(chǎn)時間呈指數(shù)變化關(guān)系。

3）通過對元壩高含硫氣藏某水平井進(jìn)行實例分析，驗證了該方法的準(zhǔn)確性和適用性。

4）氣井整個生產(chǎn)周期都是定產(chǎn)生產(chǎn)與定壓生產(chǎn)相結(jié)合的，建議開展高含硫氣藏水平井變生產(chǎn)制度生產(chǎn)動態(tài)預(yù)測模型研究。