點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)中任意相切型問題速度分析的一種特殊解法1)

占旺龍 * 方燕飛

*(深圳技術(shù)大學(xué)中德智能制造學(xué)院，廣東深圳 518118)

?(華僑大學(xué)機(jī)電與自動(dòng)化學(xué)院，福建廈門 361021)

理論力學(xué)是研究機(jī)械運(yùn)動(dòng)規(guī)律的科學(xué)，具有理論性強(qiáng)、學(xué)習(xí)難度大的特點(diǎn)。同時(shí)，理論力學(xué)也是工科類專業(yè)中量大面廣的基礎(chǔ)課程，是工科機(jī)械、土木和車輛等許多專業(yè)的重要技術(shù)基礎(chǔ)課，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)后續(xù)相關(guān)專業(yè)課程的基礎(chǔ)。以機(jī)械專業(yè)為例，理論力學(xué)的后續(xù)課程有材料力學(xué)和機(jī)械原理。在日常教學(xué)過程中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生往往沒有歸納總結(jié)和再?gòu)?fù)習(xí)已學(xué)習(xí)知識(shí)的習(xí)慣，造成學(xué)期結(jié)束，對(duì)本課程知識(shí)內(nèi)容的認(rèn)知是“課程知識(shí)點(diǎn)相互割裂，內(nèi)容多且雜亂”。[1-2]。

在點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)這一章中，欲求動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度、牽連運(yùn)動(dòng)(平移時(shí))的速度或牽連運(yùn)動(dòng)(轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí))的角速度，通常需要選擇兩個(gè)不同的參考系，即：定參考系和動(dòng)參考系[3]。動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于定參考系的運(yùn)動(dòng)可以看成動(dòng)點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)參考系運(yùn)動(dòng)(相對(duì)運(yùn)動(dòng))和動(dòng)參考系相對(duì)于定參考系運(yùn)動(dòng)(牽連運(yùn)動(dòng))的疊加，從而可以把一個(gè)復(fù)雜運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)簡(jiǎn)單的運(yùn)動(dòng)來進(jìn)行研究[4]。在實(shí)際例題講解過程中，通常將問題分為3 種類型，即：相接型、相切型和相交型，如圖1 所示[5]。相接型的典型特征是剛體1 的一端始終與剛體2 接觸，此時(shí)選擇剛體2 作為動(dòng)系，剛體1 上與剛體2 接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)；相切型的典型特征是剛體1 靠在剛體2 上，兩運(yùn)動(dòng)剛體的邊緣相切，此時(shí)選擇剛體1為動(dòng)系，剛體2 的輪心為動(dòng)點(diǎn)；相交型的典型特征是兩剛體獨(dú)立運(yùn)動(dòng)，但有相交點(diǎn)，以相交點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，分別以剛體1 和剛體2 為動(dòng)系，利用動(dòng)點(diǎn)的絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度相同，進(jìn)行兩次點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析。

圖1 點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)中常見的3 類問題

相較于相切型問題，學(xué)生更容易理解相接型和相交型中動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇過程。相切型問題的主要難點(diǎn)在于動(dòng)點(diǎn)及動(dòng)系的選擇，教材中給出的例題都是利用圓心到圓周距離不變的特性進(jìn)行分析，也就是說解決此類問題通常要求其中一個(gè)構(gòu)件是圓形，而另一個(gè)構(gòu)件的邊緣必須足夠簡(jiǎn)單。然而，在實(shí)際機(jī)構(gòu)中，如圖2 所示的平底從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)(凸輪作定軸轉(zhuǎn)動(dòng))，為了確保從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律滿足給定的速度和加速度要求，凸輪的輪廓可能不是圓形，而是任意可能的封閉曲線。在這種情況下，需要根據(jù)凸輪的外形及運(yùn)動(dòng)規(guī)律計(jì)算推桿的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。根據(jù)點(diǎn)的速度合成定理，絕對(duì)速度va，相對(duì)速度vr和牽連速度ve之間滿足

圖2 平底從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)

在教材中通常會(huì)給出這樣的說明：“若選擇一個(gè)剛體上的切點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，另一個(gè)剛體為動(dòng)系，由于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡為未知的平面曲線，導(dǎo)致相對(duì)運(yùn)動(dòng)速度的大小和方向亦難以確定，這樣方程(1)中便含有3 個(gè)未知量，無法通過點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)方法進(jìn)行求解?！钡魞H做瞬時(shí)速度分析，選擇一個(gè)剛體上的切點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，另一個(gè)剛體為動(dòng)系，速度分析依然可以完成。盡管相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，但是相對(duì)速度總是沿兩個(gè)相切剛體輪廓線在切點(diǎn)的公切線方向上，從而式(1)亦僅有2 個(gè)未知量[6]。

傳統(tǒng)分析方法既然無法求解，是否可以采用另外一種策略？問題根源在于相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡未知，導(dǎo)致相對(duì)速度大小和方向都未知而無法求解，那么能否避開相對(duì)速度？即是否可以找到一個(gè)特殊的動(dòng)點(diǎn)，在選擇合適的動(dòng)系后，使得相對(duì)速度vr=0 ，此時(shí)式(1)變?yōu)関a=ve。如果該方法可行，則任意相切型問題的求解就轉(zhuǎn)化為尋找這樣一個(gè)特殊動(dòng)點(diǎn)。

本文綜合應(yīng)用點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)和剛體的平面運(yùn)動(dòng)分析方法，可以求解任意相切型模型的速度問題。課程講授過程中讓學(xué)生在學(xué)習(xí)新內(nèi)容的同時(shí)復(fù)習(xí)前面章節(jié)的內(nèi)容，達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生注重課程知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)互通的能力，改變?nèi)粘W(xué)習(xí)“只見樹木而不見森林”的現(xiàn)狀，同時(shí)也為后續(xù)課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)。

1 特殊動(dòng)點(diǎn)的存在性

在理論力學(xué)剛體的平面運(yùn)動(dòng)這一章節(jié)，欲求作平面運(yùn)動(dòng)剛體上任意一點(diǎn)速度，有基點(diǎn)法、速度投影法和速度瞬心法。如圖3 所示，作平面運(yùn)動(dòng)的剛體，若角速度ω ?=0 ，則在每一瞬間，運(yùn)動(dòng)的平面圖形上均唯一存在絕對(duì)速度為零的點(diǎn)，此點(diǎn)即為速度瞬心(點(diǎn)P)，此時(shí)平面圖形上任意點(diǎn)B的速度大小為

圖3 速度瞬心

將上述平面圖形的運(yùn)動(dòng)問題進(jìn)行擴(kuò)展，如圖4 所示，兩個(gè)互相獨(dú)立運(yùn)動(dòng)的平面圖形，通過上述分析方法可以找到各自的速度瞬心O1和O2。平面圖形上其他任意點(diǎn)的速度大小可以通過角速度ω與點(diǎn)到速度瞬心的距離的乘積得到，即

圖4 兩個(gè)作平面運(yùn)動(dòng)的圖形分析

由此可得到如下推論：兩個(gè)互作獨(dú)立平面運(yùn)動(dòng)的圖形，在每一瞬時(shí)必存在一速度相同的重合點(diǎn)P12，且該點(diǎn)在兩速度瞬心的連線上。

首先可以證明其存在性，平面圖形上任意點(diǎn)的速度在該瞬時(shí)可以用式(3)表示，此時(shí)只要滿足

則A1和A2速度大小一定相等，所以速度大小相等的重合點(diǎn)一定存在。

再證明該點(diǎn)一定在兩速度瞬心的連線上，可用反證法得到。假設(shè)該瞬時(shí)速度大小相等的重合點(diǎn)為K，此時(shí)則滿足O1K/O2K=ω2/ω1。在平面圖形1 上，K點(diǎn)的速度大小vK1=ω1·O1K，方向垂直于O1K連線；在平面圖形2 上，K點(diǎn)的速度大小vK2=ω2·O2K，方向垂直于O2K連線。在圖示點(diǎn)雖然速度大小相等，但由于速度方向不同，所以該點(diǎn)不可能。若要滿足速度大小和方向均相同，則此重合點(diǎn)只能在O1O2的連線上，記為P12，該點(diǎn)的位置滿足O1P12/O2P12=ω2/ω1。

按照點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析方法，動(dòng)點(diǎn)選擇平面圖形1 上的P12點(diǎn)，動(dòng)系選擇平面圖形2，該瞬時(shí)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為以O(shè)1點(diǎn)為圓心、O1P12為半徑的瞬時(shí)圓周運(yùn)動(dòng)；牽連運(yùn)動(dòng)為繞O2點(diǎn)的瞬時(shí)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)。此時(shí)絕對(duì)速度和牽連速度的大小和方向都相同，由速度合成定理可知vr=0 ，即該動(dòng)點(diǎn)的相對(duì)速度為零。再進(jìn)一步分析可知，若ω1和ω2的方向相反，則特殊動(dòng)點(diǎn)P12在兩速度瞬心連線之間，反之則在兩速度瞬心的延長(zhǎng)線上。

2 特殊動(dòng)點(diǎn)位置的確定

通過直接接觸而相對(duì)運(yùn)動(dòng)的剛體，由于特殊動(dòng)點(diǎn)具備相對(duì)速度為零的特性，因此可以通過以下方法來確定其位置。即：當(dāng)兩個(gè)剛體通過光滑圓柱鉸鏈連接時(shí)，特殊動(dòng)點(diǎn)就在鉸接點(diǎn)處(圖5(a))；兩剛體處于純滾動(dòng)狀態(tài)時(shí)，特殊動(dòng)點(diǎn)在接觸點(diǎn)處(圖5(b))；兩剛體處于滾動(dòng)兼滑動(dòng)時(shí)，特殊動(dòng)點(diǎn)在過接觸點(diǎn)的公法線上(圖5(c))。對(duì)于其他情況，可以利用特殊動(dòng)點(diǎn)在兩平面圖形速度瞬心(特殊情況為定軸點(diǎn))連線上這一特性來確定。

圖5 特殊動(dòng)點(diǎn)位置的確定

特殊動(dòng)點(diǎn)位置確定后，便可以通過點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)分析方法，求解給定剛體的運(yùn)動(dòng)學(xué)量。

3 實(shí)例分析

下面通過相切型實(shí)例，利用找特殊動(dòng)點(diǎn)方法，求解點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)。

3.1 實(shí)例一

理論力學(xué)授課中經(jīng)常用圖6(a)所示的偏心輪機(jī)構(gòu)(偏心輪為圓形，半徑為R，以勻角速度繞定軸D轉(zhuǎn)動(dòng))來說明相切型問題“一點(diǎn)兩系”的選擇，由于此問題沒有持續(xù)接觸點(diǎn)，無論是選擇推桿2 還是偏心輪3 上的瞬時(shí)接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡都相當(dāng)復(fù)雜，需要借助計(jì)算機(jī)模擬或者解析求解。為了使得研究問題簡(jiǎn)單，需要利用推桿BC到偏心輪圓心O距離保持不變的特性，選擇偏心輪圓心O為動(dòng)點(diǎn)，推桿為動(dòng)系。此時(shí)絕對(duì)運(yùn)動(dòng)為繞D點(diǎn)的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)為豎直方向的直線平移，相對(duì)運(yùn)動(dòng)為圖中紅色線所示的直線運(yùn)動(dòng)，速度矢量圖如圖6(a)所示，利用點(diǎn)的速度合成定理

圖6 相切型問題速度分析

圖6(b)選擇偏心輪3 上與BC相切點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，推桿2 為動(dòng)系，相對(duì)速度方向?yàn)橄嗲悬c(diǎn)的公切線上，速度矢量圖如圖6(b)所示。根據(jù)速度合成定理

圖6(c)給出用本文方法求解過程，根據(jù)理論力學(xué)中速度瞬心的確定方法可知，D點(diǎn)為偏心輪3 的速度恒為零的點(diǎn)。推桿2 和偏心輪3 是直接接觸，它們之間的運(yùn)動(dòng)為滾動(dòng)兼滑動(dòng)，因此可知該特殊動(dòng)點(diǎn)在過接觸點(diǎn)E的公法線上，過定軸D點(diǎn)作該公法線的垂線可確定唯一交點(diǎn)，此即特殊動(dòng)點(diǎn)P23。選擇偏心輪3 上P23為動(dòng)點(diǎn)，推桿為動(dòng)系，由速度合成定理可知

得到的結(jié)果與用經(jīng)典分析方法一致。

從上述3 種速度分析方法可知，經(jīng)典解法需要利用切點(diǎn)到輪心距離不變的特性，對(duì)問題的要求較高；以一剛體上的切點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)的方法可以求解，此時(shí)需要繪制絕對(duì)速度、相對(duì)速度和牽連速度的矢量圖，并嚴(yán)格按照速度合成定理進(jìn)行分析；本文中的特殊動(dòng)點(diǎn)方法只要找到該動(dòng)點(diǎn)后，利用絕對(duì)速度與牽連速度相等的特性可以直接求出，求解過程簡(jiǎn)單且直觀。

3.2 實(shí)例二

圖7 所示為一般平底直動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)(凸輪為非圓形)，已知凸輪的角速度恒為ω，求該瞬時(shí)推桿的速度。

圖7 直動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)速度分析

該問題用理論力學(xué)中經(jīng)典分析方法無法得出，因?yàn)闊o論是選擇推桿2 還是凸輪3 上的瞬時(shí)接觸點(diǎn)為動(dòng)點(diǎn)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡都很難得到，這樣相對(duì)速度的大小和方向都是未知量。但利用本文中的分析方法很容易得到。選擇推桿2 為動(dòng)系，找凸輪3 上的特殊動(dòng)點(diǎn)，在該點(diǎn)上相對(duì)速度為零。尋找特殊動(dòng)點(diǎn)的方法可以參考3.1 節(jié)，得到該特殊動(dòng)點(diǎn)的位置為P23，如圖7 所示。最終推桿的速度大小為

方向如圖中所示。

3.3 實(shí)例三

圖8 所示為擺動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)(凸輪為非圓形)，已知凸輪的角速度恒為ω3，求該瞬時(shí)擺桿的角速度ω2。

圖8 擺動(dòng)從動(dòng)件凸輪機(jī)構(gòu)速度分析

該問題同樣因?yàn)橥馆啿皇翘囟ǖ膸缀涡螤睿捎媒?jīng)典點(diǎn)的復(fù)合運(yùn)動(dòng)分析方法無法得到結(jié)果。但可以將其轉(zhuǎn)化為尋找特殊動(dòng)點(diǎn)問題。擺桿2 與凸輪3 是滾動(dòng)兼滑動(dòng)，該特殊動(dòng)點(diǎn)一定在過接觸點(diǎn)C的公法線上，此外該特殊動(dòng)點(diǎn)還需要在AB的連線上，這兩條線交點(diǎn)可以唯一確定該特殊動(dòng)點(diǎn)P23，如圖8 所示。擺桿的角速度為

最終求得擺桿的角速度ω2=ω3·AP23/BP23，方向如圖所示。

4 結(jié)論

本文針對(duì)理論力學(xué)中任意形狀相切型利用經(jīng)典“一點(diǎn)兩系”方法難以確定相對(duì)運(yùn)動(dòng)軌跡的難題，提出通過尋找特殊動(dòng)點(diǎn)的方法，很好解決了任意形狀相切型點(diǎn)的速度合成分析求解。即通過“該瞬時(shí)絕對(duì)速度與牽連速度相等”的特性可以對(duì)該平面機(jī)構(gòu)進(jìn)行瞬時(shí)速度分析，并給出3 個(gè)應(yīng)用實(shí)例。

該方法相比于傳統(tǒng)方法，求解過程更加清晰且直觀，無需繪制速度矢量圖，對(duì)只需進(jìn)行速度分析的少學(xué)時(shí)工程力學(xué)教學(xué)有一定的參考價(jià)值。主要難點(diǎn)為如何尋找特殊動(dòng)點(diǎn)位置。特殊動(dòng)點(diǎn)的位置一定在兩平面圖形速度瞬心(特殊情況為定軸點(diǎn))的連線上，也在相切點(diǎn)公法線上；當(dāng)兩個(gè)相切剛體中一個(gè)剛體作直線平移，另一個(gè)剛體作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這個(gè)特殊動(dòng)點(diǎn)為定軸點(diǎn)作公法線的垂線，與公法線的交點(diǎn)。這一分析方法也為機(jī)械專業(yè)后續(xù)機(jī)械原理課程的學(xué)習(xí)打下基礎(chǔ)，改善不同科目間知識(shí)割裂或者跳躍性較大的現(xiàn)狀，讓學(xué)生更加注重課程知識(shí)體系的內(nèi)在聯(lián)系，注重知識(shí)的互通。

在理論力學(xué)日常的教學(xué)中一般是先講授點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)，然后再講授剛體的平面運(yùn)動(dòng)，本方法交叉應(yīng)用了點(diǎn)的合成運(yùn)動(dòng)及剛體平面運(yùn)動(dòng)中的速度瞬心法，對(duì)提高學(xué)生對(duì)整體知識(shí)的把握有益，在教學(xué)過程中取得了良好的效果。