多結(jié)點力矩分配法精確計算研究

吳 昊

(西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，成都 610031)

力矩分配法是經(jīng)典位移法的一種派生方法，由Hardy Cross 于1930 年提出[1]，主要適用于連續(xù)梁和無側(cè)移超靜定剛架等，計算時采用與位移法相同的基本結(jié)構(gòu)，以桿端彎矩為目標(biāo)，通過逐次放松約束，逐步逼近精確解，而且由桿端累計分配彎矩能夠方便地估算結(jié)點角位移，概念直觀，方法實用，適于手算，目前在中小型結(jié)構(gòu)初步設(shè)計、定性分析和電算結(jié)果校核等場合仍發(fā)揮重要作用。電算技術(shù)的快速發(fā)展對結(jié)構(gòu)分析方法的精度和效率提出更高要求，研究表明[2]，力矩分配法是增量形式的Jacobi 迭代法在求解位移法線性方程組中的應(yīng)用，收斂性好，但用于多結(jié)點結(jié)構(gòu)時只能得到漸近解，與結(jié)構(gòu)力學(xué)的精確解不相符，且計算輪數(shù)一般不低于兩輪。

萬度[3]采用修正的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)對敞口剛架和連續(xù)梁的力矩一次分配法進行了研究，該方法可簡化力矩分配法的計算過程。劉茂燧等[4]以多跨連續(xù)梁作為單元，通過推導(dǎo)連續(xù)梁桿端轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)遞推公式，經(jīng)過一次分配即可得到任意跨連續(xù)梁桿端彎矩精確解。Dowell[5]根據(jù)桿端分配彎矩和傳遞彎矩的計算特點，基于收斂無窮幾何級數(shù)取極限的方法得到了力矩分配法求解一般連續(xù)梁和無側(cè)移剛架結(jié)構(gòu)的閉合解公式。劉天一等[6]利用等比數(shù)列求和的方法，推導(dǎo)了含有3 個剛結(jié)點結(jié)構(gòu)桿端彎矩的力矩分配法精確計算公式。朱曉江等[7]提出了力矩分配法的方程解法，將力矩分配法的漸近計算過程轉(zhuǎn)化為求解以各結(jié)點歷次分配力矩代數(shù)和為未知量的方程組，從而得到桿端彎矩精確解。以上研究對于完善多結(jié)點力矩分配法的應(yīng)用具有重要意義，但計算過程相對繁瑣，且對于一般多結(jié)點結(jié)構(gòu)缺少廣泛適用性。

本文在傳統(tǒng)力矩分配法基礎(chǔ)上提出一種以分配結(jié)點為約束對象、分層移除結(jié)點約束的計算策略，在不求解聯(lián)立方程條件下建立外載荷與桿端彎矩精確解之間的直接聯(lián)系，可為進一步考慮受彎桿軸向和剪切變形影響以及開展有側(cè)移結(jié)構(gòu)力矩分配法精確解研究等提供參考。

1 基本思路

多結(jié)點力矩分配法應(yīng)用的關(guān)鍵在于選取合理的放松策略以及確定相應(yīng)的力矩分配系數(shù)和傳遞系數(shù)，為保證結(jié)點放松時轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)已知，傳統(tǒng)力矩分配法要求相鄰結(jié)點不同時放松且力矩分配與傳遞完成后將結(jié)點在變形后的位置上再次固定，繼續(xù)放松相鄰結(jié)點時產(chǎn)生的傳遞彎矩會使固定結(jié)點再次獲得彎矩增量即新的結(jié)點不平衡力矩，相當(dāng)于每次放松結(jié)點只有一個或一組不相鄰剛結(jié)點滿足力矩平衡，由此可知，這種輪流放松結(jié)點的策略雖然能使結(jié)點不平衡力矩不斷減小，但有限次循環(huán)內(nèi)無法將其完全消除。

結(jié)點不平衡力矩產(chǎn)生的根本原因在于結(jié)點附加約束和結(jié)點協(xié)調(diào)變形，如果采取將附加約束移除的去約束方式，即結(jié)點放松后保持放松狀態(tài)至計算結(jié)束，繼續(xù)放松其他結(jié)點過程中已放松結(jié)點能夠時時處于平衡狀態(tài)，傳遞彎矩會使已放松結(jié)點產(chǎn)生轉(zhuǎn)角增量，但不會在其中引起新的不平衡力矩，當(dāng)放松最后一個或一組結(jié)點時，所有結(jié)點變形完全恢復(fù)至最終平衡位置，基本體系與原結(jié)構(gòu)的差異全部消除。因此，與單結(jié)點力矩分配法一樣，所得桿端彎矩為精確解。以下結(jié)合圖1(a)所示受一般載荷作用的連續(xù)梁進行說明。

圖1 兩結(jié)點力矩分配法計算示意

上述計算過程可總結(jié)為分配結(jié)點不平衡力矩反號后經(jīng)分配與傳遞使結(jié)點連續(xù)進入平衡狀態(tài)，各桿端通過結(jié)點協(xié)調(diào)變形獲得彎矩增量。放松結(jié)點1 時，因遠端結(jié)點2 處于放松狀態(tài)，桿端轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)均未知，有必要推導(dǎo)相應(yīng)的計算公式。

2 轉(zhuǎn)動剛度和約束剛度、分配系數(shù)和傳遞系數(shù)

等直桿AB轉(zhuǎn)動剛度SAB定義為A端發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時引起的A端彎矩，其大小與桿件線剛度i=EI/l和遠端支承情況有關(guān)，遠端結(jié)點固定以及遠端只與基礎(chǔ)相連的無側(cè)移桿轉(zhuǎn)動剛度為常數(shù)，當(dāng)遠端為可動剛結(jié)點時，結(jié)點受力變形過程中其他匯交桿由于變形協(xié)調(diào)會產(chǎn)生約束作用，這種彈性約束可采用轉(zhuǎn)動彈性支座進行等效，彈性支座轉(zhuǎn)動剛度系數(shù)可由同一剛結(jié)點其他匯交桿（以下稱結(jié)點余桿）轉(zhuǎn)動剛度進行計算并定義為約束剛度，記作kr，反映結(jié)點余桿對桿端轉(zhuǎn)動的約束作用大小。單剛結(jié)點（如連續(xù)梁剛結(jié)點等）的約束剛度即相應(yīng)的桿端轉(zhuǎn)動剛度。

遠端為轉(zhuǎn)動彈性支座且約束剛度kr的等直桿AB近端A發(fā)生單位轉(zhuǎn)角時的桿端彎矩，即形常數(shù)可由位移法或單結(jié)點力矩分配法進行計算，如圖2 所示。

表1 等直桿轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)

圖2 遠端轉(zhuǎn)動彈性支承等直桿彎矩形常數(shù)

3 計算要點

本文所提出的力矩分配精確計算方法采用與傳統(tǒng)力矩分配法相同的桿端內(nèi)力符號和計算假定，但在基本結(jié)構(gòu)選取、放松約束的方式以及力矩分配系數(shù)和傳遞系數(shù)確定方面有所不同。

（1）固定結(jié)點

附加剛臂將結(jié)點臨時固定，施加載荷計算固端彎矩。需要強調(diào)的是，不平衡力矩Rip=0 的結(jié)點，如相連各桿均無載荷且無集中力偶作用的結(jié)點等，無論是否附加約束，基本體系中其轉(zhuǎn)角位移均為0，因而可不作為分配結(jié)點，即選取基本結(jié)構(gòu)時可只對不平衡力矩不為0 的結(jié)點附加約束，而不影響計算結(jié)果，將原結(jié)構(gòu)等效為遠端固定、轉(zhuǎn)動彈性、鉸支或滑動等4 類基本桿件的組合。當(dāng)結(jié)構(gòu)中有懸臂、帶軸向支桿等彎矩靜定桿，或有對稱性可以利用時，先進行必要簡化。

（2）放松結(jié)點

為確保結(jié)點放松時轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)已知或可計算，將所有分配結(jié)點劃分為若干計算層，其中，遠端只與基礎(chǔ)相連桿件所連分配結(jié)點歸為首層，相鄰分配結(jié)點歸為新的一層，依次向內(nèi)分層，每層含1 個或多個分配結(jié)點。按照同層相鄰分配結(jié)點不同時放松但可間隔放松或依次放松、放松后不重新固定的原則，從首層結(jié)點（始結(jié)點）開始，由外向內(nèi)逐層移除結(jié)點約束，直到放松末層結(jié)點（終結(jié)點）。

始結(jié)點放松時，相鄰分配結(jié)點均處于固定狀態(tài)，可能有相鄰結(jié)點處于放松狀態(tài)；其他層結(jié)點放松時，至少有一個遠端結(jié)點處于放松狀態(tài)；終結(jié)點放松時，所有結(jié)點全部處于放松狀態(tài)。各分配彎矩使相應(yīng)遠端產(chǎn)生傳遞彎矩和轉(zhuǎn)角增量，其他匯交桿通過協(xié)調(diào)變形獲得彎矩增量，計算時將傳遞彎矩反號后按各匯交桿轉(zhuǎn)動剛度的比例分配，并繼續(xù)向同層和下一層相關(guān)放松結(jié)點傳遞和分配，經(jīng)過一系列的結(jié)點平衡后最終傳向支座。因此，分配彎矩向放松結(jié)點的傳遞過程為單向傳遞。

（3）疊加

將各桿端固端彎矩、分配和傳遞彎矩疊加得最終桿端彎矩，進而用疊加法作彎矩圖。

4 算例

例1：用力矩分配法計算圖3 所示三跨連續(xù)梁。

解：該結(jié)構(gòu)具有2 個剛結(jié)點，采用傳統(tǒng)力矩分配法計算時，所有結(jié)點均作為分配結(jié)點，基本結(jié)構(gòu)如圖3(b)所示，從C結(jié)點開始，通過輪流放松結(jié)點進行力矩分配與傳遞，主要過程及結(jié)果（計算三輪）列于表2 中，彎矩單位為kN·m。

表2 傳統(tǒng)力矩分配法計算

采用本文方法計算時，由載荷作用特點，可只取C結(jié)點作為分配結(jié)點，按單結(jié)點力矩分配法進行處理，基本結(jié)構(gòu)見圖3（c），而且，因結(jié)點B處不平衡力矩為0，無需計算相應(yīng)的轉(zhuǎn)動剛度和分配系數(shù)。計算C結(jié)點處分配系數(shù)時，B結(jié)點處于放松狀態(tài)，由kr=SBA=EI分別代入式（1）和 式（2）可 得SCB=8EI/7 和CCB=0.25 ，SCD為已知，相應(yīng)的分配系數(shù)μ，傳遞系數(shù)C，固端彎矩MF，分配與傳遞彎矩等主要結(jié)果見表3所示，彎矩單位為kN·m，各桿端最終彎矩均為精確解。

表3 精確力矩分配法計算

對比表2 和表3 可知，傳統(tǒng)力矩分配法盡管分配系數(shù)計算簡單、傳遞系數(shù)為常數(shù)，但過程繁瑣，計算量大，結(jié)果近似，而本文方法計算量小，結(jié)果精確。

例2：用力矩分配法計算圖4 所示六跨連續(xù)梁。

圖4 六跨連續(xù)梁結(jié)構(gòu)

解：由載荷作用特點，取全部結(jié)點作為分配結(jié)點并按順序分層，可選順序包括B→F（5 層）、F→B（5 層）和B→D←F（3 層）等，為減少力矩分配與傳遞次數(shù)，選B→D←F順序，即以結(jié)點D為中心將分配結(jié)點分為3 個計算層，結(jié)點B和F為首層，C 和E為第2 層，D為末層，同層分配結(jié)點均不相鄰，可同時放松，當(dāng)放松第2 層及末層結(jié)點時，轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)需計算確定。轉(zhuǎn)動剛度S，分配系數(shù)μ，傳遞系數(shù)C，固端彎矩MF，力矩分配和傳遞過程以及位移法結(jié)果等如表4 所示，彎矩單位為kN·m。

表4 六跨連續(xù)梁精確力矩分配法計算

由表4 可知，各層剛結(jié)點下方只有一條平衡線，即最終平衡時只經(jīng)歷一輪完整力矩分配和傳遞過程，結(jié)點約束全部移除，相應(yīng)的不平衡力矩全部消除，所得結(jié)果與位移法完全一致，為精確解。

例3：已知各桿EI為常數(shù)，用力矩分配法計算圖5 所示剛架，并作彎矩圖。

圖5 無側(cè)移超靜定剛架

解：由載荷作用特點，取所有剛結(jié)點作為分配結(jié)點并分為2 個計算層，結(jié)點A，C和E為首層，D為末層，其中，首層各結(jié)點均不相鄰可同時放松。由于E結(jié)點為復(fù)剛結(jié)點，D結(jié)點放松時的傳遞彎矩反號后按EF桿，EI桿的轉(zhuǎn)動剛度比例分配并向支座傳遞。具體計算過程和最終彎矩圖分別如圖6 和圖7 所示。

圖6 力矩分配與傳遞計算過程

圖7 彎矩圖（單位：kN·m）

5 結(jié)論

（1）將分配結(jié)點依次分層并按照同層相鄰結(jié)點不同時放松、放松后不重新固定的原則逐層移除約束的計算策略，一方面能夠使各分配彎矩直接或通過已放松結(jié)點向支座傳遞，從而快速消除結(jié)點不平衡力矩，另一方面各分配結(jié)點只經(jīng)過一輪完整力矩分配和連續(xù)傳遞變形即恢復(fù)至最終平衡位置，結(jié)果精確，計算量小。

（2）按順序放松結(jié)點時，分配彎矩和向各放松結(jié)點的傳遞彎矩可由遠端轉(zhuǎn)動彈性支承等直桿與約束剛度有關(guān)的轉(zhuǎn)動剛度和傳遞系數(shù)計算得到，公式形式簡潔，便于應(yīng)用。

（3）各分配彎矩向放松結(jié)點的傳遞是以支座為終點的單向連續(xù)傳遞過程，傳遞彎矩使結(jié)點產(chǎn)生轉(zhuǎn)角增量，結(jié)點余桿通過協(xié)調(diào)變形獲得彎矩增量，計算時將傳遞彎矩反號后按結(jié)點余桿轉(zhuǎn)動剛度的比例分配并向相鄰結(jié)點傳遞和分配，直至支座。