補(bǔ)償臺(tái)偏心輪機(jī)構(gòu)特性研究及優(yōu)化

尹海鵬 ，石志孝 ，金雅融

（1.甘肅工大舞臺(tái)技術(shù)工程有限公司，甘肅 蘭州 730050；2.蘭州理工大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，甘肅 蘭州 730050；3.甘肅演藝裝備工程研究中心，甘肅 蘭州 730050）

0 引言

補(bǔ)償臺(tái)廣泛應(yīng)用于常規(guī)劇場(chǎng)和室外秀場(chǎng)，主要用于補(bǔ)平演出臺(tái)面、運(yùn)載車臺(tái)、協(xié)助完成場(chǎng)景轉(zhuǎn)換等功能[1]，也是演出時(shí)使用最頻繁的臺(tái)下安全設(shè)備之一。補(bǔ)償臺(tái)傳動(dòng)形式主要有螺旋頂升式、剪刀撐式、柔性升降柱式和偏心輪式，上述傳動(dòng)形式各有優(yōu)缺點(diǎn)，其對(duì)使用條件的限制也各不相同。偏心輪機(jī)構(gòu)因其結(jié)構(gòu)緊湊、制造簡(jiǎn)單、成本較低等特點(diǎn)在行程較小的補(bǔ)償臺(tái)傳動(dòng)方案中被廣泛應(yīng)用。

偏心輪機(jī)構(gòu)從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律反應(yīng)諸多信息，如從動(dòng)件行程、機(jī)構(gòu)運(yùn)行平穩(wěn)性、偏心輪的輪廓曲線等，所以解析運(yùn)動(dòng)學(xué)規(guī)律顯得尤為重要。王東菱[2]、李雪軍[3]考慮偏心輪周期性運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，采用有限傅里葉級(jí)數(shù)解析偏心輪從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)規(guī)律，獲得無剛、柔性沖擊偏心輪機(jī)構(gòu)；吳孟麗[4]利用五次多項(xiàng)式解析運(yùn)動(dòng)規(guī)律并修正，設(shè)計(jì)出無沖擊偏心輪機(jī)構(gòu)；王薪鑒[5]基于B樣條函數(shù)設(shè)計(jì)高速運(yùn)動(dòng)偏心輪從動(dòng)件的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，明顯降低了偏心輪機(jī)構(gòu)正弦規(guī)律運(yùn)動(dòng)時(shí)的最大運(yùn)行加速度和噪聲，韓炬[6]利用Creo Parametric機(jī)構(gòu)模塊的軌跡曲線功能構(gòu)造偏心輪的輪廓曲線。諸多學(xué)者也注重偏心輪輪廓的優(yōu)化，陳子俠[7]基于有限元分析并優(yōu)化了偏心輪定子，有效降低了電機(jī)的摩擦力和內(nèi)泄漏；安磊[8]通過動(dòng)力學(xué)分析改善高速開盒機(jī)偏心輪機(jī)構(gòu)運(yùn)行平穩(wěn)性；沈浩[9]通過在漸開線-圓弧曲線中插入高階曲線的方法優(yōu)化偏心輪泵轉(zhuǎn)子，有效提高了偏心輪泵的輸出介質(zhì)的平均速度。

本文以演藝裝備工程領(lǐng)域補(bǔ)償臺(tái)的偏心輪機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，考慮補(bǔ)償臺(tái)的功能特點(diǎn)，將偏心輪設(shè)計(jì)為偏心輪機(jī)構(gòu)。首先分析從動(dòng)承載輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律[10,11]獲得承載輪和偏心輪的最大接觸力，并以此位置的結(jié)構(gòu)參數(shù)建立優(yōu)化模型，獲得偏心輪結(jié)構(gòu)參數(shù)的最優(yōu)Pareto解集，通過應(yīng)力檢查動(dòng)力學(xué)特性[12,13]進(jìn)一步論證優(yōu)化結(jié)果的合理性。

1 運(yùn)動(dòng)分析

補(bǔ)償臺(tái)偏心輪機(jī)構(gòu)示意簡(jiǎn)圖如圖1所示，其中，Rb為偏心輪基圓半徑，R為偏心輪半徑，r為承載輪半徑、s為承載輪位移、θ為任意時(shí)刻偏心輪的角位移，ω為偏心輪角速度，α為偏心輪機(jī)構(gòu)的壓力角，Re為偏心距，n-t為過接觸點(diǎn)的正交系。易知，偏心輪與承載輪中心距。ΔOMA和ΔOMB中由相等列式可得壓力角與偏心輪角位移的關(guān)系：

圖1 偏心輪機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)示意簡(jiǎn)圖

式中，θ(t)為偏向輪不同時(shí)刻時(shí)的角位移，由式（1）得壓力角

運(yùn)動(dòng)周期的任意時(shí)刻，偏心輪推力下承載輪的位移可表達(dá)為：

對(duì)位移求導(dǎo)，可得承重輪的速度：

式中，

聯(lián)立式（1）、式（5）、式（6）帶入式（4），化簡(jiǎn)得承載輪任意時(shí)刻的升降速度：

對(duì)式（7）求導(dǎo)可得承重輪任意時(shí)刻承載輪的運(yùn)動(dòng)加速度：

化簡(jiǎn)整理得：

任意時(shí)刻承重輪起升推力或下降阻力可表達(dá)為：

式中，“＋”表示推程，“-”表示回程，M為補(bǔ)償臺(tái)最惡劣工況下折算到承重輪上的等效質(zhì)量，取M=5 500 kg整理得：

任意時(shí)刻承重輪和偏心輪接觸正壓力可表達(dá)為：

設(shè)計(jì)中，取Re=115.5 mm，Rb=84.5 mm，r=61.5 mm，R=200 mm，rad/s，并設(shè)起升方向?yàn)檫\(yùn)動(dòng)正方向，考慮到補(bǔ)償臺(tái)的運(yùn)動(dòng)特點(diǎn)，只解析偏心輪機(jī)構(gòu)推程運(yùn)動(dòng)時(shí)的承重輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，如圖2所示。由“θ-α”曲線分析可知，推程運(yùn)動(dòng)偏心輪角位移θ(t)=90°時(shí)偏心輪機(jī)構(gòu)的壓力角最大為αmax＝±26.21°，此位置偏心輪機(jī)構(gòu)的傳動(dòng)效率最低。從“θ-υ”曲線分析可知，承重輪在偏心輪角位移θ(t)=110°時(shí)獲得最大速度υmax＝256.51 mm/s。從“θ-a”曲線分析可知，推程時(shí)承重輪先做加速度增大的加速運(yùn)動(dòng)，后做加速度減小的加速運(yùn)動(dòng)，最后做加速反向持續(xù)增大的減速運(yùn)動(dòng)到達(dá)推程最高點(diǎn)，在偏心輪運(yùn)動(dòng)起始、結(jié)束位置所需加速度a＝±264.91 mm/s2，在角位移θ(t)=180°時(shí)運(yùn)行加速度最大amax＝684.05 mm/s2。由于補(bǔ)償臺(tái)在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)運(yùn)動(dòng)不連續(xù)，承重輪在推程和回程內(nèi)的起始、結(jié)束時(shí)速度為0、加速度均不為0，故該偏心輪機(jī)構(gòu)雖無剛性沖擊，但存在柔性沖擊，優(yōu)化偏心輪輪廓曲線并獲得性能更好的組合運(yùn)動(dòng)規(guī)律是本課題下一步研究?jī)?nèi)容。

圖2 偏心輪機(jī)構(gòu)承重輪的運(yùn)動(dòng)規(guī)律

考慮補(bǔ)償臺(tái)臺(tái)面p＝550 kg/m2的平均載荷以及車臺(tái)和側(cè)車臺(tái)的隨機(jī)載荷，折算到每套偏心輪機(jī)構(gòu)上的等效載荷G=55 kN以此參數(shù)解析偏心輪機(jī)構(gòu)的力學(xué)特性。由“θ-F”曲線分析可知，運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，在偏心輪角位移角位移θ(t)=60°時(shí)，承重輪受最大起升力Fmax=56.88 kN。由“θ-Fn”曲線分析可知，運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)偏心輪和承重輪的最大法向接觸力發(fā)生在偏心輪角位移處，其最大值為Fnmax=62.91 kN推程、回程運(yùn)動(dòng)中所需最大功耗近似，發(fā)生在偏心輪角位移分別為θ(t)=110°處，需要電機(jī)功率約為Pmax＝±14.12 kW（不考慮傳動(dòng)損失），其中“＋”表示釋放功率，“-”表示吸收功率?？紤]到一個(gè)運(yùn)動(dòng)周期T內(nèi)，補(bǔ)償臺(tái)運(yùn)動(dòng)并不連續(xù)，即實(shí)際應(yīng)用中，當(dāng)t＝T／2時(shí)，補(bǔ)償臺(tái)運(yùn)行至最大位移處停車并參與演出，根據(jù)力平衡條件，此時(shí)有F＝G，但理論解析值并不相等，這是因?yàn)槠鹗?、停車、結(jié)束位置處的加速度均不為0，此結(jié)論也很好地解釋了起始、停車、結(jié)束位置處存在的沖擊和振動(dòng)。

圖3 偏心輪機(jī)構(gòu)力學(xué)特性分析

2 優(yōu)化分析

實(shí)踐中，承重輪采用45鋼，為便于成型并取得較好的抗振性，偏心輪采用ZG310-570，其材料參數(shù)如表1所示。按上文設(shè)計(jì)中給定的結(jié)構(gòu)尺寸進(jìn)行靜力學(xué)分析發(fā)現(xiàn)強(qiáng)度、剛度富裕，材料浪費(fèi)嚴(yán)重，并給安裝過程帶來不便。針對(duì)這些問題，本節(jié)以質(zhì)量最小為目標(biāo)進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化[14]，尋求設(shè)計(jì)參數(shù)的最優(yōu)組合。

表1 材料屬性參數(shù)設(shè)置

2.1 優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

偏心輪可靈活設(shè)計(jì)的參變量如圖4所示，考慮優(yōu)化參數(shù)應(yīng)用方便，優(yōu)化變量設(shè)計(jì)為離散變量。其中，R1為開孔位置中心半徑、D1為開孔直徑、D2為偏心輪切除部分直徑、t1為偏心輪厚度、t2偏心輪切除部分厚度，建立優(yōu)化模型時(shí)考慮設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)稱性，狀態(tài)變量為局部最大等效應(yīng)力σ(x)和局部最大總變形d(x)，目標(biāo)函數(shù)為m(x)min。上述優(yōu)化過程可描述為：尋求滿足給定約束條件的參數(shù)組合[R1，D1，D2，t1，t2]，使其滿足全局質(zhì)量最小，其優(yōu)化數(shù)學(xué)模型表達(dá)為式（13）。

圖4 優(yōu)化變量設(shè)置

2.2 參數(shù)敏感性分析

不同優(yōu)化參數(shù)對(duì)優(yōu)化目標(biāo)的貢獻(xiàn)不同，取優(yōu)化參數(shù)為連續(xù)參數(shù)，樣本容量N＝1 000對(duì)設(shè)計(jì)參數(shù)進(jìn)行敏感性分析，結(jié)果如圖5所示。分析可知，偏心輪的總質(zhì)量受偏心輪厚度t1和切除厚度t2影響較大，受開孔直徑D1、偏心輪切除部分直徑D2影響次之；最大等效應(yīng)力受偏心輪厚度t1影響較大，受偏心輪切除部分直徑D2和切除厚度t2次之；最大總變形受偏心輪切除部分直徑D2影響較大，受偏心輪厚度t1和切除厚度t2影響次之。

圖5 參數(shù)敏感性分析

結(jié)合參數(shù)敏感性分析結(jié)論，并考慮本課題的優(yōu)化目的和實(shí)際應(yīng)用時(shí)尺寸的工藝特點(diǎn)，優(yōu)化約束條件可表達(dá)為：

2.3 優(yōu)化結(jié)果

根據(jù)第2.2節(jié)中邊界約束條件下的離散參數(shù)個(gè)數(shù)，優(yōu)化樣本容量，考慮不同設(shè)計(jì)因素，以偏心輪質(zhì)量最小篩選樣本，并給出不同強(qiáng)度安全系數(shù)下的6組最優(yōu)Pareto解，如表2所示，結(jié)論對(duì)進(jìn)一步深化研究提供重要指導(dǎo)意義。

表2 不同安全系數(shù)下的Pareto解

考慮到設(shè)備低速重載及間歇性載荷特點(diǎn)，基于工程經(jīng)驗(yàn)，本文建議工程實(shí)踐中取強(qiáng)度安全系數(shù)k=1.1時(shí)的屈服強(qiáng)度為許用強(qiáng)度，即［σ］＝282 MPa，并以此許用強(qiáng)度為失效準(zhǔn)則取優(yōu)化結(jié)果k＝2.26的Pareto解為本文參數(shù)最優(yōu)組合并討論優(yōu)化結(jié)果，如表3所示。研究結(jié)果表明，在偏心輪質(zhì)量減重率為43.55%且強(qiáng)度安全系數(shù)顯著提高的同時(shí)，剛度依然滿足許用值，優(yōu)化結(jié)果顯著。

表3 安全系數(shù)k=2.26時(shí)優(yōu)化前后對(duì)比

3 討論

3.1 特殊位置等效應(yīng)力檢查

優(yōu)化參數(shù)R1和D1的組合影響偏心輪有效徑向尺寸，該尺寸過小可能會(huì)導(dǎo)致特殊位置接觸應(yīng)力過大。圖6分析了起始位置（θ＝0°）、最大法向接觸力位置（θ＝80°）、近端切除孔位置（θ＝113.6°）、遠(yuǎn)端切除孔位置（θ＝180°）處的最大等效應(yīng)力。研究表明，隨著偏心輪軸向厚度的減小，遠(yuǎn)端切除孔位置處的承載能力逐漸減弱，最大接觸應(yīng)力σ＝263.33 MPa滿足許用強(qiáng)度。

圖6 特殊位置等效應(yīng)力檢查

3.2 優(yōu)化模型抗振能力檢查

優(yōu)化參數(shù)t1和t2的組合影響偏心輪的有效軸向尺寸，該尺寸過小可能會(huì)導(dǎo)致偏向輪的動(dòng)態(tài)剛度不足，圖7分析了優(yōu)化后模型最大法向接觸力處的自由振動(dòng)特性。研究表明，偏心輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu)一階振型表現(xiàn)為180°位置處沿Z軸正向振動(dòng)，二階振型與一階振型運(yùn)動(dòng)相反，三階振型表現(xiàn)偏心輪0~180°范圍內(nèi)沿Z軸負(fù)向和180°~360°范圍內(nèi)沿Z軸正向的振動(dòng)，四階振型表現(xiàn)為165°~210°范圍內(nèi)沿Z軸正向的振動(dòng)和120°~165°及210°~255°范圍內(nèi)沿Z軸負(fù)向的振動(dòng)，且一階頻率為148.08 Hz，滿足工程需要。

圖7 優(yōu)化后偏心輪的低價(jià)振型

4 結(jié)論與展望

本研究以演藝裝備領(lǐng)域補(bǔ)償臺(tái)的偏心輪機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，通過運(yùn)動(dòng)分析獲得了補(bǔ)償臺(tái)偏心輪機(jī)構(gòu)的最大壓力角、補(bǔ)償臺(tái)升降的最大運(yùn)行速度和最大運(yùn)行加速度以及運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)最大耗損功率，為偏心輪的設(shè)計(jì)提供可靠的理論依據(jù)。進(jìn)而以載荷最惡劣處的參數(shù)建立優(yōu)化模型對(duì)主動(dòng)偏心輪進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，獲得偏心輪“最優(yōu)”結(jié)構(gòu)參數(shù)組合，主要結(jié)論如下：

（1）偏心輪角位移θ＝90°時(shí)，壓力角最大αmax＝±26.21°，小于許用壓力角[α]＝30°，即設(shè)計(jì)的偏心輪機(jī)構(gòu)有較高的傳動(dòng)效率；偏心輪角位移θ＝180°時(shí)，承載輪位移最大smax＝231 mm滿足臺(tái)面行程要求。

（2）位 移 最 大 位 置處（θ＝180°），承重輪速度υ＝0，加速度amax＝±684.05 mm/s2，運(yùn)動(dòng)高副無剛性沖擊但存在柔性沖擊，并且在運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)θ＝110°時(shí)，起升、下降速度達(dá)到最大υmax＝±256.51 mm/s。

（3）運(yùn)動(dòng)周期內(nèi)，偏心輪角位移θ（t）＝80°時(shí)偏心輪與承重輪法向接觸力最大Fn＝62.91 kN。偏心輪角位移θ＝110°時(shí)，承重輪所需外部功率最大Pmax＝±14.12 kW。

（4）給出不同強(qiáng)度安全系數(shù)k時(shí)的多目標(biāo)優(yōu)化函數(shù)的Pareto解集，可供設(shè)計(jì)人員靈活選用。文中選用強(qiáng)度安全系數(shù)k＝2.26時(shí)的Pareto解x＝[100,120,34,370,11]為最優(yōu)參數(shù)組合。該優(yōu)化參數(shù)下，結(jié)構(gòu)的最大變形dmax＝0.093 mm，最大應(yīng)力δmax＝137 MPa，mmax＝21.045 kg，輕量化比率為43.55%。

（5）該優(yōu)化模型中，優(yōu)化參數(shù)t2對(duì)質(zhì)量影響最為敏感；優(yōu)化參數(shù)t1對(duì)最大等效應(yīng)力影響最為敏感；優(yōu)化參數(shù)D2對(duì)最大變形影響最為敏感，優(yōu)化后模型特殊位置處最大等效應(yīng)力和動(dòng)態(tài)剛度滿足許用值。

（6）通過研究承重輪運(yùn)動(dòng)學(xué)問題和運(yùn)動(dòng)過程中的力學(xué)問題發(fā)現(xiàn)該偏心輪機(jī)構(gòu)雖無剛性沖擊但仍存在柔性沖擊，設(shè)計(jì)并優(yōu)化出性能更好的偏心輪輪廓曲線將是本課題進(jìn)一步的研究?jī)?nèi)容。

致謝：感謝魏發(fā)孔教授的指導(dǎo)。