凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì) 形成整體結(jié)構(gòu)
——以“反比例函數(shù)”教學(xué)為例*

劉志昂

(江蘇省蘇州高新區(qū)第五初級(jí)中學(xué)校 215151)

1 基本情況

1.1 授課對(duì)象

學(xué)生來(lái)自江蘇省普通初中,生源處于中等水平,有函數(shù)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn),具備一定的數(shù)學(xué)觀察力、思維力和表達(dá)力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力．

1.2 教材分析

所用教材為江蘇鳳凰科技版《義務(wù)教育教科書(shū)·數(shù)學(xué)(八年級(jí)下冊(cè))》.“反比例函數(shù)”是第11章第1節(jié)內(nèi)容,它是在反比例關(guān)系、函數(shù)、一次函數(shù)和正比例函數(shù)的基礎(chǔ)上,學(xué)生學(xué)習(xí)的又一類(lèi)函數(shù)．教材從生活問(wèn)題入手,依據(jù)諸多例證,結(jié)合函數(shù)的概念和兩個(gè)變量間的反比例關(guān)系,抽象出反比例函數(shù)的概念,并得出它的一般形式．在反比例函數(shù)概念同化的過(guò)程中,強(qiáng)化代數(shù)推理,凸顯反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)．在與一次函數(shù)學(xué)習(xí)的類(lèi)比中,進(jìn)一步感悟函數(shù)學(xué)習(xí)的一般觀念,體會(huì)函數(shù)的整體結(jié)構(gòu),為后續(xù)學(xué)習(xí)二次函數(shù)以及高中階段學(xué)習(xí)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)等知識(shí)積累寶貴的基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)．

教學(xué)目標(biāo) (1)能理解反比例函數(shù)的概念,能判斷一個(gè)給定函數(shù)是否為反比例函數(shù),能根據(jù)實(shí)際問(wèn)題中的條件確定反比例函數(shù)的表達(dá)式;(2)經(jīng)歷反比例函數(shù)概念的習(xí)得過(guò)程,感悟函數(shù)概念學(xué)習(xí)的一般觀念和一般策略,形成和完善函數(shù)的整體結(jié)構(gòu);(3)在反比例函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中,體會(huì)數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)抽象、代數(shù)推理、類(lèi)比與化歸等數(shù)學(xué)思想方法,發(fā)展數(shù)學(xué)觀察力、思維力和表達(dá)力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力．

教學(xué)重點(diǎn) 反比例函數(shù)概念的習(xí)得與理解．

教學(xué)難點(diǎn) 理解反比例函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),感悟數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般觀念．

2 教學(xué)過(guò)程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境引入概念,構(gòu)建概念類(lèi)比學(xué)習(xí)

活動(dòng)1 南京與上海相距300 km,一輛汽車(chē)從南京出發(fā),以100 km/h的速度勻速行駛．

問(wèn)題1在這個(gè)問(wèn)題中,有哪幾個(gè)量?它們分別是什么樣的量?它們之間有什么樣的數(shù)量關(guān)系?

生:汽車(chē)行駛的路程s(km)、汽車(chē)行駛的速度v(100 km/h)、汽車(chē)行駛的時(shí)間t(h),其中速度v是常量,路程s與時(shí)間t是變量,它們之間的數(shù)量關(guān)系是s=100t．

問(wèn)題2在上述的數(shù)量關(guān)系中,變量路程s與時(shí)間t之間是函數(shù)關(guān)系嗎?是哪種函數(shù)關(guān)系?為什么?

生:在這個(gè)變化過(guò)程中,路程s隨著時(shí)間t的變化而變化,并且對(duì)于t的每一個(gè)值,s都有唯一的值與它對(duì)應(yīng),所以s是t的函數(shù)．又因?yàn)閟與t的商是定值,所以s與t是正比例關(guān)系,故s是t的正比例函數(shù)．

問(wèn)題3南京與上海相距300 km這個(gè)量有什么作用?除了正比例函數(shù),我們還學(xué)習(xí)了什么函數(shù)?它們之間有什么關(guān)系?

生:300 km這個(gè)量決定了自變量t的取值范圍(0≤t≤3)．我們還學(xué)習(xí)了一次函數(shù),正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．

問(wèn)題4對(duì)于一次函數(shù),我們學(xué)習(xí)了哪些內(nèi)容?

生:我們學(xué)習(xí)了一次函數(shù)的概念,一次函數(shù)的圖象和性質(zhì),用一次函數(shù)解決問(wèn)題,一次函數(shù)與二元一次方程的關(guān)系,一次函數(shù)與一元一次方程、一元一次不等式的關(guān)系等．

活動(dòng)2 南京與上海相距300 km,一輛汽車(chē)從南京出發(fā),以速度v(km/h)開(kāi)往上海,全程所用時(shí)間為t(h)．

問(wèn)題5根據(jù)在活動(dòng)1的學(xué)習(xí)中積累的經(jīng)驗(yàn),你能提出什么問(wèn)題?可以得出什么結(jié)論?

2.2 借助典型具體例證,進(jìn)行概念屬性歸納

活動(dòng)3 用函數(shù)表達(dá)式表示下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的關(guān)系:

(1)計(jì)劃修建一條長(zhǎng)為500 km的高速公路,完成該項(xiàng)目的天數(shù)y隨日完成量x(km)的變化而變化;

(2)一家銀行為某社會(huì)福利廠提供了20萬(wàn)元的無(wú)息貸款,該廠的平均還款額y(萬(wàn)元)隨還款年限x(年)的變化而變化;

(3)游泳池的容積為5 000 m3,向池內(nèi)注水,注滿(mǎn)水所需時(shí)間t(h)隨注水速度v(m3/h)的變化而變化;

(4)實(shí)數(shù)m與n的積為-200,m隨n的變化而變化．

生:在這些函數(shù)表達(dá)式中,等號(hào)右邊都是關(guān)于自變量的分式,并且分母均是關(guān)于自變量的一次單項(xiàng)式．

2.3 抽象概念共同屬性,形成概念明確表示

活動(dòng)4 反比例函數(shù)的概念．

問(wèn)題7你能類(lèi)比正比例函數(shù)的定義,歸納出反比例函數(shù)的定義嗎?

問(wèn)題8你能說(shuō)一說(shuō)反比例函數(shù)表達(dá)式中k的取值范圍嗎?

生:我們小學(xué)學(xué)過(guò)反比例關(guān)系,是指兩個(gè)相關(guān)聯(lián)的量,如果它們的乘積等于一個(gè)非零的定值,那么它們成反比例關(guān)系．所以反比例函數(shù)中的比例系數(shù)k的值不等于零．

問(wèn)題9你能說(shuō)一說(shuō)上述反比例函數(shù)表達(dá)式中自變量x和函數(shù)值y的取值范圍嗎?

2.4 抓住概念數(shù)學(xué)本質(zhì),開(kāi)展概念明晰辨析

活動(dòng)5 下列函數(shù)表達(dá)式中,哪些y是關(guān)于x的反比例函數(shù)?

(7)y=3x-1;(8)y=200x2-250x．

問(wèn)題10(3)(4)(5)(6)(8)中的y為什么不是關(guān)于x的反比例函數(shù)?

生:(3)和(5)中的y是關(guān)于x的一次函數(shù),(4)沒(méi)有規(guī)定a≠0,(8)中的y是關(guān)于x的二次函數(shù),(6)中的表達(dá)式可以化為y(x+1)=1,即xy+y=1,這里y與x不是反比例關(guān)系,所以y不是關(guān)于x的反比例函數(shù)．

問(wèn)題11(1)(2)(7)中的y為什么是關(guān)于x的反比例函數(shù)?其中的比例系數(shù)k分別是什么?

問(wèn)題12你認(rèn)為判定一個(gè)函數(shù)是不是反比例函數(shù)的一般方法是什么?

生:將函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行變形和化簡(jiǎn),如果能化為xy≠k(k≠0)的形式就是反比例函數(shù),否則就不是反比例函數(shù)．

2.5 設(shè)置開(kāi)放問(wèn)題事例,強(qiáng)化概念鞏固應(yīng)用

活動(dòng)6 寫(xiě)出下列問(wèn)題中兩個(gè)變量之間的函數(shù)表達(dá)式,并判斷它們是否為反比例函數(shù):

(1)面積是50(cm2)的矩形,一邊長(zhǎng)y(cm)隨另一邊長(zhǎng)x(cm)的變化而變化;

(2)體積是100(cm3)的圓錐,高h(yuǎn)(cm)隨底面面積S(cm2)的變化而變化．

問(wèn)題13解決這類(lèi)問(wèn)題的一般思路和方法是什么?

活動(dòng)7 請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)反比例函數(shù)表達(dá)式,并賦予它實(shí)際意義．

問(wèn)題14通過(guò)這個(gè)開(kāi)放性的問(wèn)題,你有哪些感悟和體會(huì)?

生:同一個(gè)反比例函數(shù)表達(dá)式,可以表示不同的實(shí)際問(wèn)題．

2.6 建立相關(guān)概念聯(lián)系,形成概念視域體系

活動(dòng)8 課堂回顧與總結(jié)．

問(wèn)題15根據(jù)今天的學(xué)習(xí),你能說(shuō)一說(shuō)反比例函數(shù)與正比例函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別嗎?

生:它們都是描述現(xiàn)實(shí)生活的數(shù)學(xué)模型,都是反映兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系,即函數(shù)關(guān)系;兩者的函數(shù)值與對(duì)應(yīng)的自變量之間的關(guān)系不一樣(正比例關(guān)系與反比例關(guān)系),圖象和性質(zhì)也應(yīng)該有不同的地方,可以用它們解決不同的數(shù)學(xué)問(wèn)題與生活問(wèn)題等．

問(wèn)題16你還想研究反比例函數(shù)的哪些內(nèi)容?

生:反比例函數(shù)的圖象與性質(zhì),用反比例函數(shù)解決問(wèn)題……

問(wèn)題17你覺(jué)得學(xué)習(xí)函數(shù)的一般觀念和方法是什么?

生:從生活實(shí)際問(wèn)題出發(fā),歸納出函數(shù)的概念,然后畫(huà)圖象找性質(zhì),再運(yùn)用函數(shù)的圖象與性質(zhì)去解決問(wèn)題．

3 回顧與反思

3.1 教學(xué)設(shè)計(jì)的立意

本著“事實(shí)—概念—關(guān)系—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用”的學(xué)習(xí)路徑,遵循數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)的一般觀念與一般規(guī)程,在函數(shù)概念體系中去學(xué)習(xí)反比例函數(shù)．通過(guò)對(duì)生活中成反比例關(guān)系的兩個(gè)變量函數(shù)關(guān)系的認(rèn)知、對(duì)諸多反比例關(guān)系例證的數(shù)學(xué)抽象,概括歸納出反比例函數(shù)的定義,并將之符號(hào)化．教學(xué)中努力揭示反比例函數(shù)概念的數(shù)學(xué)本質(zhì),探尋其與一次函數(shù)及其他函數(shù)的關(guān)系,進(jìn)而豐富學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的函數(shù)概念域與概念系,形成整體結(jié)構(gòu)．

3.2 教學(xué)反思

(1)在函數(shù)概念教學(xué)中凸顯數(shù)學(xué)本質(zhì)

數(shù)學(xué)概念是具體性與抽象性的辯證統(tǒng)一,是一類(lèi)事物的空間形式和數(shù)量關(guān)系的關(guān)鍵屬性的抽象,且往往用形式化語(yǔ)言來(lái)表達(dá),因而它是高度抽象的[1]．

函數(shù)揭示的是兩個(gè)變量在某一變化過(guò)程中的對(duì)應(yīng)關(guān)系,而反比例函數(shù)首先是函數(shù),其次其函數(shù)值與自變量成反比例關(guān)系．如活動(dòng)2中時(shí)間t與速度v既是函數(shù)關(guān)系又是反比例關(guān)系,所以時(shí)間t是速度v的反比例函數(shù),活動(dòng)3中的5個(gè)問(wèn)題亦是如此．活動(dòng)5中,從對(duì)y是關(guān)于x的反比例函數(shù)的判斷,總結(jié)出判斷的依據(jù)是“xy=k(k≠0)”,這便是反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì)．如上的設(shè)計(jì)凸顯了反比例函數(shù)的數(shù)學(xué)本質(zhì),也加深了學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí),促進(jìn)了學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)及函數(shù)的深度理解．

(2)在函數(shù)概念教學(xué)中感悟一般觀念

反比例函數(shù)概念學(xué)習(xí),既是概念形成也是概念同化．根據(jù)函數(shù)形成的心理過(guò)程分析,曹一鳴教授認(rèn)為數(shù)學(xué)概念形成的教學(xué)模式一般包括以下 4個(gè)步驟[2]:①對(duì)同一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象的不同例子的外部特征的辨認(rèn);②抽象出各個(gè)例子的共同的本質(zhì)屬性;③將概括出的本質(zhì)屬性與原有的概念聯(lián)系起來(lái),擴(kuò)大或者重建原有的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu);④將本質(zhì)屬性推廣到同類(lèi)數(shù)學(xué)對(duì)象中去,明確新概念的內(nèi)涵和外延．

根據(jù)函數(shù)同化的心理過(guò)程分析,曹一鳴教授認(rèn)為數(shù)學(xué)概念同化的教學(xué)模式一般包括以下5個(gè)步驟:①揭示數(shù)學(xué)的關(guān)鍵屬性,給出定義、名稱(chēng)及符號(hào);②通過(guò)對(duì)數(shù)學(xué)概念特例的討論分析,突出概念的本質(zhì)屬性;③使新的數(shù)學(xué)概念與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的概念建立聯(lián)系,把新的數(shù)學(xué)概念納入到已有數(shù)學(xué)概念體系中去,同化新的數(shù)學(xué)概念;④通過(guò)正、反例的辨認(rèn),使新的數(shù)學(xué)概念與已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的數(shù)學(xué)概念分化;⑤把新的數(shù)學(xué)概念納入到相應(yīng)的數(shù)學(xué)概念體系中去,使數(shù)學(xué)概念融會(huì)貫通,形成一個(gè)整體．

據(jù)此,本課例的反比例函數(shù)概念學(xué)習(xí)設(shè)計(jì)為如圖1所示的過(guò)程．本課例的設(shè)計(jì)中,活動(dòng)2～4是以學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)中的兩個(gè)變量間的反比例關(guān)系、函數(shù)關(guān)系和一次函數(shù)(含正比例函數(shù))關(guān)系等直接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),用歸納的方式抽取出這類(lèi)事物的共同屬性,從而達(dá)到概念的理解;活動(dòng)5和活動(dòng)6則是以學(xué)生間接經(jīng)驗(yàn)為基礎(chǔ),以數(shù)學(xué)語(yǔ)言為工具,依靠新舊概念的相互作用去理解概念[3]．

圖1

(3)在函數(shù)概念教學(xué)中形成整體結(jié)構(gòu)

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱(chēng)《標(biāo)準(zhǔn)2022》)指出:在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析,幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來(lái)學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系．[4]我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)該跳出細(xì)節(jié),也即各個(gè)具體的學(xué)習(xí)內(nèi)容和每一節(jié)課,從更大的范圍進(jìn)行分析思考．我們應(yīng)當(dāng)幫助學(xué)生由局部性的認(rèn)識(shí),逐漸過(guò)渡到整體性、結(jié)構(gòu)性的問(wèn)題．[5]

本課例的設(shè)計(jì)中,蘊(yùn)含了如下幾個(gè)整體結(jié)構(gòu)方面的思考:

·數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體結(jié)構(gòu) 事實(shí)—概念—關(guān)系—結(jié)構(gòu)—應(yīng)用．即從數(shù)學(xué)研究的對(duì)象出發(fā)抽象出數(shù)學(xué)概念,探究發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)概念之間的關(guān)系從而形成數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu),再運(yùn)用如上的數(shù)學(xué)概念、知識(shí)和結(jié)構(gòu)來(lái)解決問(wèn)題．

·函數(shù)學(xué)習(xí)的整體結(jié)構(gòu) 概念—圖象—性質(zhì)—應(yīng)用．

·函數(shù)概念的分類(lèi)與代數(shù)式的關(guān)系 如圖2所示．

圖2

(4)在函數(shù)概念教學(xué)中強(qiáng)化代數(shù)推理

初中代數(shù)的教學(xué)中,普遍存在重運(yùn)算輕推理的現(xiàn)象．《標(biāo)準(zhǔn)2022》中新增了“了解代數(shù)推理”的要求,同時(shí)指出“要關(guān)注基于代數(shù)的邏輯推理”．這充分表明,初中數(shù)學(xué)應(yīng)加強(qiáng)代數(shù)推理．代數(shù)推理就是通過(guò)簡(jiǎn)單的歸納類(lèi)比得到初步的結(jié)論后,通過(guò)法則的運(yùn)用,感悟從一般到特殊的推理過(guò)程．[6]在“數(shù)與代數(shù)”的學(xué)習(xí)中,運(yùn)算是學(xué)習(xí)的重心,依據(jù)公式、法則、運(yùn)算律等進(jìn)行運(yùn)算,其本質(zhì)就是一種代數(shù)推理;用代數(shù)式、方程、不等式、函數(shù)探究數(shù)量關(guān)系也是代數(shù)推理活動(dòng)[7]．

(5)在函數(shù)概念教學(xué)中啟迪理性思維

喻平教授從概念學(xué)習(xí)的心理過(guò)程劃分,把數(shù)學(xué)概念學(xué)習(xí)分為概念獲得、概念在知覺(jué)水平的應(yīng)用、概念表征、概念在思維水平的應(yīng)用等四個(gè)階段[8],其認(rèn)知模式如圖3所示．

圖3

抽象在概念的形成過(guò)程中起了關(guān)鍵的作用．從諸多生活問(wèn)題中列出函數(shù)表達(dá)式,并抽象出反比例函數(shù)概念,其中對(duì)于諸多例證共同屬性的歸納,既是數(shù)學(xué)觀察力的表現(xiàn),也反映了思維的概括性特征:在大量感性材料的基礎(chǔ)上,把一類(lèi)事物的共同特征和規(guī)律抽取出來(lái),加以概括[9]．活動(dòng)7中開(kāi)放性問(wèn)題的設(shè)計(jì),鼓勵(lì)學(xué)生沿著不同的方向思考,重新組織當(dāng)前的信息和記憶系統(tǒng)中存儲(chǔ)的信息,產(chǎn)生大量獨(dú)特的新思想．教學(xué)中鼓勵(lì)學(xué)生用自己的語(yǔ)言敘述反比例函數(shù)概念,以及用符號(hào)語(yǔ)言描述反比例函數(shù)的概念,是數(shù)學(xué)表達(dá)力的體現(xiàn)．如上的設(shè)計(jì),促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)觀察力、思維力和表達(dá)力等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)力的發(fā)展．