從“問題解決”到“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”
——國(guó)際視野下的中國(guó)數(shù)學(xué)教育(1)

鄭毓信

(南京大學(xué)哲學(xué)系 210093)

“問題解決”是國(guó)際數(shù)學(xué)教育界在20世紀(jì)80年代的主要口號(hào),認(rèn)為應(yīng)當(dāng)“以‘問題解決’作為數(shù)學(xué)教育的中心”．與此相對(duì)照,“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”則是我國(guó)在近十年來(lái)以一線數(shù)學(xué)教師為主體的一個(gè)“民間創(chuàng)造”．就相關(guān)思想的實(shí)際產(chǎn)生而言,兩者應(yīng)當(dāng)說沒有什么直接聯(lián)系;但從邏輯的角度看,前者可被看成為后者提供了重要的背景,后者則代表了認(rèn)識(shí)的重要進(jìn)步．本文旨在讓讀者更好地認(rèn)識(shí)“問題引領(lǐng)”對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性,包括這方面工作應(yīng)當(dāng)特別注意的一些問題,還可獲得這樣一個(gè)普遍性的認(rèn)識(shí):理論與實(shí)際工作、教學(xué)與教研的密切結(jié)合正是促進(jìn)認(rèn)識(shí)發(fā)展,包括做出高質(zhì)量研究工作,最重要的一條途徑．

1 “問題解決”的再認(rèn)識(shí)

對(duì)于“問題解決”這一數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng),筆者曾多次撰文進(jìn)行過介紹和分析,特別是指明了這樣一個(gè)基本的指導(dǎo)思想:“學(xué)數(shù)學(xué),做數(shù)學(xué).”換言之,我們應(yīng)讓學(xué)生主要通過實(shí)際參與各種數(shù)學(xué)活動(dòng),特別是解決問題,來(lái)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)．在一些學(xué)者看來(lái),我們可以直接將其命名為“沉浸式學(xué)習(xí)”,后者更具有這樣一個(gè)明顯的優(yōu)點(diǎn):除了具體知識(shí)與技能的學(xué)習(xí),還十分有益于學(xué)生能力的提升,包括思維與方法的了解與應(yīng)用,以及相關(guān)情感、態(tài)度與價(jià)值觀的養(yǎng)成．

盡管這一最早源自美國(guó)的改革運(yùn)動(dòng)在世界范圍內(nèi)曾引起過極大反響,人們更在這一方面進(jìn)行了廣泛實(shí)踐,包括教材編寫與教學(xué)實(shí)踐,但是所有這些努力似乎都未能夠取得理想的效果,特別是,即使我們僅僅著眼于學(xué)生解決問題能力的提升,相關(guān)實(shí)踐提供的似乎也只是失敗的記錄．這也意味著,盡管學(xué)生已掌握了相關(guān)的基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能,對(duì)于所謂的“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”或解題策略也有了一定的了解,但仍然不能順利地解決所面對(duì)的新問題．

當(dāng)然,有付出就會(huì)有收獲,成功有時(shí)就在再堅(jiān)持一下的努力之中．具體地說,這就是人們通過總結(jié)反思與深入的理論研究獲得的一個(gè)重要認(rèn)識(shí):決定人們解決問題能力的因素不只是知識(shí)和技能的貯備及對(duì)于解題策略的足夠了解,還涉及更多的方面或因素,特別是所謂的“元認(rèn)知”與“觀念”．從理論研究的角度看,這直接導(dǎo)致了“對(duì)于波利亞的超越”,這當(dāng)然是一個(gè)重要的進(jìn)步[1-2]．

但是,作為一次改革運(yùn)動(dòng),“問題解決”涉及了更多方面,我們應(yīng)從更廣泛的角度對(duì)此做出總結(jié)分析．例如,當(dāng)時(shí)人們已經(jīng)從數(shù)學(xué)教育的角度看出這次改革運(yùn)動(dòng)的一些問題:

(1)我們不應(yīng)單純地強(qiáng)調(diào)“問題解決”,而應(yīng)將“問題提出”也考慮在內(nèi)．事實(shí)上,這是傳統(tǒng)的“傳授-接受”型教學(xué)的一個(gè)具體體現(xiàn),總是要求學(xué)生去求解由其他人(教師、教材編寫者、考試設(shè)計(jì)者)所提出的各種問題;另外,我們對(duì)提升學(xué)生提出問題的能力應(yīng)予以高度的重視,提出問題的能力應(yīng)當(dāng)被看成創(chuàng)造性能力十分重要的一個(gè)組成成分．

具體地說,這是相關(guān)教學(xué)實(shí)踐中十分常見的一個(gè)現(xiàn)象,學(xué)生甚至包括教師都滿足于問題的求解,卻未能認(rèn)識(shí)到還應(yīng)通過提出新的問題和進(jìn)一步的研究取得新的進(jìn)步．這促使人們明確地提出了這樣一個(gè)新的口號(hào):“求得解答,繼續(xù)前進(jìn)(get the answer,and move on)．”

(2)除“問題的提出與解決”以外,數(shù)學(xué)活動(dòng)還包含更多的內(nèi)容,特別是應(yīng)將“概念的生成、分析與組織”看成數(shù)學(xué)活動(dòng)的又一基本形式．顯然,就我們當(dāng)前的論題而言,可以清楚地表明以下主張的局限性,即認(rèn)為學(xué)校的全部數(shù)學(xué)課程都應(yīng)采取“問題解決”這樣一種形式．

進(jìn)一步說,這直接涉及到這樣一個(gè)問題:問題發(fā)展的內(nèi)在邏輯是否必然地與數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯結(jié)構(gòu)相一致?在筆者看來(lái),這是現(xiàn)實(shí)中為什么會(huì)出現(xiàn)以下變化的一個(gè)重要原因:與單純強(qiáng)調(diào)“問題解決”相比較,我們應(yīng)當(dāng)更加強(qiáng)調(diào)“數(shù)學(xué)地思維”．例如,作為“問題解決”現(xiàn)代研究的主要代表人物之一,美國(guó)的舍費(fèi)爾德教授就曾明確地提及:“現(xiàn)在讓我回到‘問題解決’這一論題．盡管我在1985年出版的書用了《數(shù)學(xué)問題解決》這樣一個(gè)名稱,但我現(xiàn)在認(rèn)識(shí)到這一名稱的選用不很恰當(dāng)．我所考慮的是,單純的問題解決的思想過于狹窄了．我所希望的并非僅僅是教會(huì)我的學(xué)生解決問題——特別是由別人所提出的問題,而是幫助他們學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維．”[3]

對(duì)于“問題解決”這一改革運(yùn)動(dòng)的上述弊端,筆者在先前的文章中也已有過集中分析[4]．在此再?gòu)?qiáng)調(diào)這樣一點(diǎn):這一運(yùn)動(dòng)的最大弊病就是未能對(duì)教師在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中所應(yīng)發(fā)揮的作用予以足夠的重視,或者說,將教師局限于“組織者”和“(平等的)參與者”這樣一個(gè)定位,卻忽視了教師在這一過程中還應(yīng)發(fā)揮重要的引領(lǐng)作用．更一般地說,這事實(shí)上也是“學(xué)數(shù)學(xué),做數(shù)學(xué)”這一類主張,包括對(duì)于“數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)的積累”或“熟能生巧”的片面強(qiáng)調(diào)所共有的一個(gè)弊病．更為深入地說,這直接涉及到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì):學(xué)生數(shù)學(xué)水平的提升主要依靠后天的學(xué)習(xí),并且主要是一種文化繼承的行為,教師應(yīng)在這一過程中發(fā)揮重要的引領(lǐng)作用．由此可見,為了做好數(shù)學(xué)教學(xué),除了落實(shí)好學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的能動(dòng)作用外,我們應(yīng)深入研究教師應(yīng)當(dāng)如何發(fā)揮應(yīng)有的引領(lǐng)作用．

在筆者看來(lái),我們可以從后一角度很好地理解“問題引領(lǐng)”對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性,以及我們?yōu)槭裁从挚蓪ⅰ皢栴}引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”看成對(duì)于“問題解決”這一改革運(yùn)動(dòng)的重要發(fā)展．

2 聚焦“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”

對(duì)我國(guó)數(shù)學(xué)教育的現(xiàn)實(shí)情況進(jìn)行分析,“問題引領(lǐng)”顯然是一個(gè)新的熱點(diǎn)．從思想的淵源這一角度進(jìn)行分析,筆者認(rèn)為以下一些工作為此提供了重要的理論基礎(chǔ).

第一,對(duì)教學(xué)工作啟發(fā)性的高度重視,是“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)”十分重要的一個(gè)內(nèi)涵,對(duì)廣大教師具有十分重要的影響,盡管人們對(duì)此未必具有清醒的認(rèn)識(shí)．具體地說,盡管“講授”可以視為中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)的基本形式,但這并不等同于知識(shí)的簡(jiǎn)單傳遞與被動(dòng)接受,因?yàn)橹袊?guó)教師在充分發(fā)揮主導(dǎo)作用的同時(shí),也十分重視學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位,特別是通過增強(qiáng)教學(xué)的“啟發(fā)性”,即用適當(dāng)?shù)奶釂栆龑?dǎo)學(xué)生積極進(jìn)行思考,從而真正讓學(xué)生成為學(xué)習(xí)的主人[5]．

當(dāng)然,前文所說的“傳統(tǒng)”應(yīng)被看成一種素樸的認(rèn)識(shí)．與此相對(duì)照,現(xiàn)今所論及的“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”則不僅包含更多的內(nèi)容,也已經(jīng)歷了由簡(jiǎn)單的“經(jīng)驗(yàn)總結(jié)”到深入理論研究的重要轉(zhuǎn)變．對(duì)此我們將在以后作出進(jìn)一步的分析論述．

第二,著名數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家波利亞在20世紀(jì)50～60年代圍繞“問題解決”所展開的研究不僅是“問題解決”現(xiàn)代研究的直接先驅(qū),對(duì)于“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”的實(shí)際形成也具有十分重要的影響,特別是這樣一個(gè)思想:我們可以將一些定型的問題或建議看成“數(shù)學(xué)啟發(fā)法”的核心．

還應(yīng)提及的是,同樣以波利亞的研究作為直接起點(diǎn),一些中國(guó)學(xué)者從20世紀(jì)80年代起積極從事了“數(shù)學(xué)方法論”的研究,特別是明確提出了這樣一個(gè)思想:應(yīng)以思維方法的分析帶動(dòng)具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí),從而真正地做到“教懂、教法、教深”[6]．就當(dāng)前的論題而言,這也為我們?nèi)绾翁幚硭枷敕椒ǖ膶W(xué)習(xí)與具體知識(shí)的學(xué)習(xí)之間的關(guān)系提供了基本的原則．

再者,應(yīng)當(dāng)強(qiáng)調(diào)的是,相對(duì)于“問題解決”這一國(guó)際性的數(shù)學(xué)教育改革運(yùn)動(dòng),“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”是一個(gè)重要的進(jìn)步．因?yàn)?不同于唯一地強(qiáng)調(diào)學(xué)生對(duì)于數(shù)學(xué)活動(dòng)的積極參與,后者最基本的一個(gè)指導(dǎo)思想是:在落實(shí)好學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中的主體地位的同時(shí),教師也應(yīng)很好地發(fā)揮自身在教學(xué)過程中的主導(dǎo)作用．

具體地說,教師如何針對(duì)教學(xué)內(nèi)容提出適當(dāng)?shù)膯栴}引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行思考和探究,就集中體現(xiàn)了其在教學(xué)過程中的主導(dǎo)作用;另外,要求學(xué)生圍繞問題積極地進(jìn)行思考和探究,而不是被動(dòng)地接受各種現(xiàn)成的結(jié)論,就很好地體現(xiàn)了學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位．

關(guān)于如何做好“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”,還應(yīng)特別強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn):

(1)“核心問題”的提煉與加工．

具體地說,這是上述我們應(yīng)當(dāng)如何處理數(shù)學(xué)思維與具體數(shù)學(xué)知識(shí)的學(xué)習(xí)之間關(guān)系的相關(guān)認(rèn)識(shí)的一個(gè)合理推廣.我們應(yīng)當(dāng)通過深入的分析研究如何實(shí)現(xiàn)“知識(shí)的問題化”,并以此引導(dǎo)學(xué)生積極地進(jìn)行思考和探究,包括相關(guān)認(rèn)識(shí)的必要強(qiáng)化與深入發(fā)展,最終實(shí)現(xiàn)“問題的知識(shí)化”,從而幫助學(xué)生較好地掌握相應(yīng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能．

當(dāng)然,“核心問題”不僅要少而精,而且對(duì)于學(xué)習(xí)活動(dòng)要有重要的引領(lǐng)作用,包括具有足夠的探究空間,這正是我們將此稱為“核心問題”的主要原因．另外,為了切實(shí)發(fā)揮核心問題的引領(lǐng)作用,我們應(yīng)十分重視其對(duì)于學(xué)生而言是否具有足夠的吸引力,應(yīng)當(dāng)針對(duì)學(xué)生的情況對(duì)此做出必要的加工,從而使之由單純的“有意義”變成“有意思”(儲(chǔ)東升語(yǔ))．

還應(yīng)提及的是,盡管我們明確肯定提升學(xué)生提出問題能力的重要性,但這顯然也是我們關(guān)于數(shù)學(xué)本質(zhì)分析的又一直接結(jié)論,即無(wú)論就學(xué)生解決問題還是提出問題的能力而言,都有一個(gè)后天提升的過程,更離不開教師的指導(dǎo)．對(duì)于這一方面的具體教學(xué)工作,我們不應(yīng)片面強(qiáng)調(diào)所謂的“生問”(圍繞學(xué)生所提的問題開展學(xué)習(xí)),而應(yīng)注重如何能使全體學(xué)生的注意力集中于所設(shè)定的“核心問題”．當(dāng)然,我們?cè)诮虒W(xué)中也應(yīng)處理好學(xué)生所提出的各種問題,不僅要做好必要的聚焦,而且也要保護(hù)學(xué)生提問的積極性．

(2)“問題串”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用．

數(shù)學(xué)教學(xué)當(dāng)然不應(yīng)局限于具體知識(shí)和技能的學(xué)習(xí),還應(yīng)幫助學(xué)生在思維方法的學(xué)習(xí)以及情感、態(tài)度與價(jià)值觀的培養(yǎng)等方面也有一定的收獲,這是教學(xué)中我們十分重視“問題串”的設(shè)計(jì)與應(yīng)用的主要原因．教師應(yīng)當(dāng)通過“問題串”進(jìn)一步地提問、追問,引導(dǎo)學(xué)生更深入地進(jìn)行思考,并能超出具體知識(shí)與技能的學(xué)習(xí)上升到更高的層面．

如何通過適當(dāng)?shù)膯栴}和建議等幫助學(xué)生很好地解決學(xué)習(xí)中所遇到的困難,這是我們教學(xué)中應(yīng)十分重視的一項(xiàng)工作．更一般地說,這也是我們?yōu)槭裁从痔岢鲞@樣一項(xiàng)要求的主要原因,即“問題串”的設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)努力做到“淺入深出”(吳正憲語(yǔ))．

再則,對(duì)“問題串”的強(qiáng)調(diào)很好地體現(xiàn)了這樣一個(gè)思想,即與單純強(qiáng)調(diào)“學(xué)生的主動(dòng)探究”相對(duì)照,我們應(yīng)充分肯定教師示范的重要性,包括如何針對(duì)實(shí)際情況不斷提出新的問題促進(jìn)學(xué)生更深入地思考研究,從而實(shí)現(xiàn)認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展與深化,這也十分有益于提升學(xué)生提出問題的能力．

當(dāng)然,從落實(shí)好學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中的主體地位這一角度進(jìn)行分析,“問題串”的運(yùn)用應(yīng)當(dāng)具有較大的開放性,這是教學(xué)中應(yīng)十分重視的又一問題．特別是,教師應(yīng)當(dāng)依據(jù)具體的教學(xué)情況,包括學(xué)習(xí)過程中學(xué)生所提出的各種新問題,對(duì)自己原先設(shè)定的問題作出必要的調(diào)整．

最后,應(yīng)當(dāng)提及的是,這方面工作的一個(gè)重要進(jìn)展主要?dú)w因于一線教師的“民間創(chuàng)造”,這在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2022年版)》(下稱“新課標(biāo)”)中也得到了明確的肯定．盡管無(wú)論從實(shí)踐或是理論的角度看,相關(guān)論述仍有不少問題需要我們深入地進(jìn)行分析研究．對(duì)此我們將在“國(guó)際視野下的中國(guó)數(shù)學(xué)教育(2)”中聯(lián)系“情境學(xué)習(xí)”與“情境設(shè)置”等論題作出具體論述．

3 理論研究與實(shí)際工作、教學(xué)與教研密切結(jié)合的一個(gè)范例

由以下工作我們可以看出相關(guān)思想在中國(guó)一線教師中的廣泛影響,包括我們?yōu)槭裁磻?yīng)當(dāng)明確肯定后者在這一方面的重要貢獻(xiàn),如[7][8]等．除此以外,正如前述所表明的,我們應(yīng)充分肯定理論研究在這一方面所發(fā)揮的重要作用,這既是指我們應(yīng)當(dāng)如何理解“問題引領(lǐng)”對(duì)于數(shù)學(xué)教學(xué)的特殊重要性,還包括關(guān)于什么是這一方面教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)特別重視的一些問題的具體分析．

在此我們還應(yīng)特別提及由《小學(xué)數(shù)學(xué)教師》編輯部與江蘇省太倉(cāng)市教育局在2017年聯(lián)合舉辦的關(guān)于“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”的一次專門研討會(huì),這不僅為各界人士充分交流這一方面的研究成果提供了很好契機(jī),而且也起到了總結(jié)和引領(lǐng)的作用,特別是,什么是這方面實(shí)際教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)特別重視的一些問題,我們又應(yīng)如何更深入地去開展研究?

當(dāng)然,這方面的認(rèn)識(shí)會(huì)有一個(gè)不斷發(fā)展和深化的過程．在筆者看來(lái),這是促進(jìn)認(rèn)識(shí)深入發(fā)展最重要的一個(gè)途徑,我們應(yīng)當(dāng)密切聯(lián)系實(shí)際教學(xué),積極地去開展研究,包括理論研究與教學(xué)研究．以下圍繞上面所提及的兩個(gè)基本問題對(duì)此作出具體說明．

第一,由于“生問”具有一些明顯的優(yōu)點(diǎn),因此有不少教師堅(jiān)持在這一方向上進(jìn)行了探索研究．當(dāng)然,相對(duì)于簡(jiǎn)單地認(rèn)定“學(xué)生的提問有其天然的合理性”,或是認(rèn)為“教師只需通過直接示范就可幫助學(xué)生自然而然地學(xué)會(huì)提問”這樣的簡(jiǎn)單化認(rèn)識(shí),我們應(yīng)更深入地研究如何才能更有效地提升學(xué)生提出問題的能力,包括在教學(xué)中如何很好地處理“生問”與“教師的必要引導(dǎo)”之間的關(guān)系等．以下是這方面特別重要的一些認(rèn)識(shí):

(1)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)特別重視對(duì)學(xué)生所提出的各種問題的處理,特別是,如果我們?cè)诮虒W(xué)中采用了“生問”這樣一種教學(xué)方式．例如,面對(duì)學(xué)生提出的大量問題,我們應(yīng)切實(shí)做好分析與組織的工作,包括“梳理問題的解決次序”和“適時(shí)解決常規(guī)問題”等,從而使學(xué)生的注意力真正集中于“核心問題”,同時(shí)也能很好地保護(hù)學(xué)生提問的積極性[9]．

(2)“問題”的引領(lǐng)作用不應(yīng)僅僅體現(xiàn)于課程的“引入環(huán)節(jié)”,也應(yīng)貫穿、落實(shí)于全部的教學(xué)過程．具體地說,在教學(xué)的全部過程中都應(yīng)對(duì)“核心問題”予以必要的強(qiáng)化,并幫助學(xué)生清楚地認(rèn)識(shí)其在學(xué)習(xí)過程中所發(fā)揮的重要作用;進(jìn)而,在課程的結(jié)束部分我們也應(yīng)注意引導(dǎo)學(xué)生從同一角度作出回顧、總結(jié)與反思,以便更清楚地認(rèn)識(shí)“問題引領(lǐng)”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí),乃至一般學(xué)習(xí)活動(dòng)的特殊重要性．

第二,“問題串”的設(shè)計(jì)和應(yīng)用事實(shí)上也可被看成“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)”十分重要的一項(xiàng)涵義,從而就具有更大的普遍意義:中國(guó)的數(shù)學(xué)教師“在課堂上不僅對(duì)同一個(gè)問題的解答采取層層遞進(jìn)的方法,從復(fù)雜程度來(lái)說,也是層層遞進(jìn)的．”[10]例如,通過問題的“分解”將一個(gè)原先對(duì)學(xué)生而言比較困難的問題變得比較容易理解．還應(yīng)提及的是,所說意義上的“問題串”研究是與人們現(xiàn)今經(jīng)常提及的“學(xué)習(xí)路徑研究”十分一致的,在兩者之間存在一種相輔相成的密切聯(lián)系．

當(dāng)然,就我們當(dāng)前的論題而言,更應(yīng)重視如何通過“問題串”的設(shè)計(jì)和應(yīng)用對(duì)已獲得的結(jié)果作出推廣和拓展,從而促進(jìn)認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展與深化,特別是,超出知識(shí)和技能的學(xué)習(xí)上升到更高的層面．因此,這對(duì)于“中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)傳統(tǒng)”是一個(gè)重要發(fā)展．

從發(fā)展的角度進(jìn)行分析,我們不應(yīng)唯一強(qiáng)調(diào)相關(guān)問題對(duì)于學(xué)生而言的“自然性”,因?yàn)閷W(xué)生在這一方面的認(rèn)識(shí)必須經(jīng)歷一個(gè)發(fā)展的過程,我們應(yīng)將此看成“學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)地思維”的一項(xiàng)基本涵義,特別是,這直接關(guān)系到學(xué)生價(jià)值觀的養(yǎng)成,也即我們應(yīng)當(dāng)將哪些類型的問題看成真正有意義的問題．

從同一角度可以更好地認(rèn)識(shí)“教師示范”的具體涵義,或者說,應(yīng)當(dāng)更清楚地認(rèn)識(shí)什么是我們希望學(xué)生真正學(xué)到手的,以及如何通過自己的教學(xué)努力提升學(xué)生在這一方面的自覺性．例如,除去直接的示范以外,我們?cè)诮虒W(xué)中應(yīng)特別重視分析和評(píng)論的工作,幫助學(xué)生逐步地學(xué)會(huì)如何對(duì)于問題的好壞或意義作出自己的判斷．容易想到,我們事實(shí)上也應(yīng)從同一角度對(duì)于所謂的“四能”作出自己的解讀,或者說,我們?nèi)绾尾拍軒椭鷮W(xué)生真正地做到“四能”．

第三,相對(duì)于簡(jiǎn)單地論及努力提升學(xué)生提出問題的能力,我們應(yīng)當(dāng)更加重視學(xué)生“問題意識(shí)”的培養(yǎng),或者說,應(yīng)當(dāng)通過自己的教學(xué)努力創(chuàng)設(shè)這樣一種氛圍,讓所有學(xué)生都能積極地去思考:當(dāng)前的學(xué)習(xí)是圍繞什么問題展開的?所說的問題從何而來(lái),為什么值得研究?如何能夠順利地解決問題,包括什么是在這一過程中遇到的主要困難?如何對(duì)已有工作作出改進(jìn)和推廣,包括以此為基礎(chǔ)提出新的問題,從而促進(jìn)認(rèn)識(shí)的不斷發(fā)展與深化?等等．

這方面的工作應(yīng)努力追求這樣一個(gè)更高的境界:不僅原先設(shè)計(jì)的問題已經(jīng)成了學(xué)生自己的問題,學(xué)生的關(guān)注也不再局限于原先的問題,他們所追求的更已超出了單純意義上的“問題解答”[11]．人們顯然已不會(huì)再去關(guān)注原先的問題究竟是由學(xué)生還是教師提出的,學(xué)生的學(xué)習(xí)能力,包括合作能力也會(huì)有很大的提高,這當(dāng)然是全部教育教學(xué)工作應(yīng)當(dāng)努力實(shí)現(xiàn)的一項(xiàng)目標(biāo)[12-13]．

最后,由上述的發(fā)展可以清楚地認(rèn)識(shí)到這樣一點(diǎn):處理好理論研究與實(shí)際工作、教學(xué)與教研之間的關(guān)系正是促進(jìn)數(shù)學(xué)教育事業(yè)深入發(fā)展最重要的一個(gè)因素和主要途徑,我們可將“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”看成這方面的一個(gè)范例．應(yīng)當(dāng)提及的是,后者事實(shí)上也可被看成“問題解決”的現(xiàn)代研究給予我們的一個(gè)重要啟示:盡管從20世紀(jì)60年代起就一直有人積極地在從事“問題解決”的現(xiàn)代研究,但只有通過20世紀(jì)80年代以“問題解決”為主要口號(hào)的改革運(yùn)動(dòng),包括理論研究與實(shí)際教學(xué)工作的密切結(jié)合,特別是,如何針對(duì)后一方面的實(shí)際情況積極地去開展理論研究,我們才能真正實(shí)現(xiàn)“對(duì)于波利亞的超越”．

再者,“問題引領(lǐng)的數(shù)學(xué)教學(xué)”的實(shí)際發(fā)展過程清楚地表明了以國(guó)際相關(guān)研究為背景積極開展獨(dú)立研究的重要性,包括對(duì)已有工作的認(rèn)真總結(jié)與分析,從而很好地弄清進(jìn)一步的工作方向．“國(guó)際視野下的中國(guó)數(shù)字教育(2)”將為此提供又一具體的例子．