中美高中數(shù)學(xué)教材中三角函數(shù)內(nèi)容的比較研究

易琳萱

(華東師范大學(xué)教師教育學(xué)院 200062)

鄭 婕

(廣東省汕頭金中海灣學(xué)校 515000)

1 引言

中國(guó)和美國(guó)分別作為亞洲與美洲的代表性國(guó)家,在國(guó)際教育領(lǐng)域都具有較強(qiáng)的影響力,中國(guó)嚴(yán)謹(jǐn)且扎實(shí),美國(guó)自由而重個(gè)性,這其中的差異使我們能夠從不同的視角探尋教育可能的發(fā)展方向,尋求可借鑒之處,在相互融合中相得益彰.

新的課程標(biāo)準(zhǔn)自推出以來,教材改版被拉上日程,最新人教版教材也在這兩年被投入使用.三角函數(shù)部分在改革前后都是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重中之重,在教材中擁有較大的占比.對(duì)中美教材這部分內(nèi)容的橫向比較,可以幫助我們從另一個(gè)角度對(duì)我國(guó)的數(shù)學(xué)教育進(jìn)行更深入的反思與改進(jìn)[1].

2 研究對(duì)象

為了使研究結(jié)果更具代表性,本文選取我國(guó)2019年出版的人教A版(以下簡(jiǎn)稱“人教A版”)與美國(guó)Glencoe版高中數(shù)學(xué)教材為研究對(duì)象.美國(guó)Glencoe版教材遵循加利福尼亞州的數(shù)學(xué)課程要求編制而成,主要面向加州的高中學(xué)生,同時(shí)在紐約等主要城市是教師首選的教材之一,具有較大的代表性.本文以“三角函數(shù)”(Trigonometric Functions)內(nèi)容為切入點(diǎn),對(duì)教材的教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法等進(jìn)行半定量分析.

3 教學(xué)內(nèi)容比較

3.1 設(shè)計(jì)思路

三角函數(shù)部分內(nèi)容位于人教A版必修第一冊(cè)第五章,該章內(nèi)容共7個(gè)小節(jié);其在美國(guó)Glencoe版中位于第五單元第十三章的三角函數(shù)(Trigonometric Function)以及第十四章的三角函數(shù)圖象與三角恒等式(Trigonometric Graphs and Identities)的14個(gè)小節(jié)中.

依據(jù)兩套教材的章節(jié)目錄對(duì)三角函數(shù)知識(shí)的編排設(shè)計(jì)進(jìn)行比較,具體內(nèi)容如下表所示.

表1 兩版教材三角函數(shù)部分知識(shí)結(jié)構(gòu)

整體來說,人教A版以“概念→圖象與性質(zhì)→公式→一般情形推廣”的邏輯順序進(jìn)行編排,前后連貫性較強(qiáng),邏輯性較為明顯,為學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)提供了足夠的固著點(diǎn).相較之下,美國(guó)Glencoe版教材所涵括的知識(shí)點(diǎn)雖更加廣泛,內(nèi)容更加豐富,卻僅是將與三角函數(shù)相關(guān)的知識(shí)堆砌起來,平鋪直敘地展開,在知識(shí)的篩選與精簡(jiǎn)上相對(duì)粗糙,顯得較為雜糅,層次感、邏輯性較為模糊.

3.2 知識(shí)聯(lián)結(jié)

為了了解兩套教材教學(xué)內(nèi)容的深度和廣度,利用Cmaptools軟件分別繪制出兩套教材三角函數(shù)知識(shí)的概念圖(concept mapping)[2].以“三角函數(shù)”作為概念圖的根節(jié)點(diǎn),其他不同層級(jí)的概念作為節(jié)點(diǎn),節(jié)點(diǎn)間的連線表示概念間的聯(lián)系,與根節(jié)點(diǎn)直接連接的節(jié)點(diǎn)位置為第一層,與第一層節(jié)點(diǎn)直接連接的節(jié)點(diǎn)位置為第二層,以此類推.其中,除根節(jié)點(diǎn)外的所有節(jié)點(diǎn)數(shù)即為知識(shí)點(diǎn)個(gè)數(shù),各層節(jié)點(diǎn)數(shù)的最大值即為知識(shí)的廣度,概念圖層數(shù)即最長(zhǎng)鏈的節(jié)點(diǎn)數(shù)即為知識(shí)的深度,將廣度與深度之和記為知識(shí)點(diǎn)的復(fù)雜度.

圖1 人教A版教材三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)概念圖

圖2 Glencoe版教材三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)概念圖

按照設(shè)定的統(tǒng)計(jì)方法,根據(jù)圖1、圖2對(duì)兩套教材三角函數(shù)知識(shí)點(diǎn)的各項(xiàng)指標(biāo)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),結(jié)果如表2所示.

表2 知識(shí)點(diǎn)各項(xiàng)指標(biāo)統(tǒng)計(jì)

在知識(shí)點(diǎn)的廣度以及深度上,Glencoe版教材的廣度較大,這是由于其知識(shí)點(diǎn)覆蓋面更廣,涉及到了余切、正割、余割函數(shù)和反三角函數(shù)等知識(shí),且欄目設(shè)置較為豐富,但其在知識(shí)點(diǎn)的深度上卻不及人教A版.由此可以看出,Glencoe版更注重知識(shí)的橫向延伸,人教A版則更注重對(duì)知識(shí)的深入了解.

4 教學(xué)方法比較

4.1 教材編排

圖3 人教A版教材章節(jié)結(jié)構(gòu)

圖4 美國(guó)Glencoe版教材章節(jié)結(jié)構(gòu)

由圖3、圖4可以看出,兩套教科書均按照總分總的結(jié)構(gòu)編排,在章首對(duì)本章內(nèi)容進(jìn)行總體介紹后進(jìn)行具體的單元學(xué)習(xí),在章末配有章節(jié)習(xí)題以幫助學(xué)生完成一章的學(xué)習(xí).

人教A版按照“章頭→章首語(yǔ)→節(jié)→小結(jié)→復(fù)習(xí)題”的大層面依次編排,在“節(jié)”的學(xué)習(xí)中又分為多個(gè)板塊,探究思考部分較多.在章首語(yǔ)部分,以生活現(xiàn)象引入三角函數(shù),并以陳述句或問句的形式對(duì)本章的教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行羅列;在“節(jié)”中,除正文與習(xí)題為固定板塊外,其他板塊視知識(shí)需要進(jìn)行編排,并不固定;在正文中,以平鋪直敘的方法將知識(shí)點(diǎn)展開講解;在復(fù)習(xí)題部分,按照習(xí)題類別、功能的不同將復(fù)習(xí)題分為復(fù)習(xí)鞏固、綜合運(yùn)用、拓廣探索三個(gè)板塊,層層遞進(jìn)[3];在章末進(jìn)一步對(duì)知識(shí)進(jìn)行了系統(tǒng)的回顧.總體而言,人教A版遵循教師主導(dǎo)、學(xué)生主體的原則,給師生留下了較大的發(fā)揮空間,多個(gè)板塊的設(shè)計(jì)不僅給教師的教學(xué)設(shè)計(jì)提供了思路,也能讓學(xué)生對(duì)新知識(shí)有更完善的理解,促進(jìn)思維的發(fā)展.

美國(guó)Glencoe版教材按照“章頭→章首頁(yè)→章前準(zhǔn)備→探索→節(jié)→章中小測(cè)→學(xué)習(xí)指導(dǎo)與復(fù) 習(xí)→章節(jié)檢測(cè)→標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè)”的順序展開.相比之下,其板塊設(shè)計(jì)豐富了許多,設(shè)計(jì)了教學(xué)目標(biāo)(Big Ideas)、主要概念(Main Ideas)、新詞匯(New Vocabulary)、數(shù)學(xué)閱讀(Reading Math)、學(xué)習(xí)竅門(Study Tip)、聯(lián)系實(shí)際(Real-World Link)等小板塊,形式多樣,趣味性十足,為進(jìn)行自學(xué)的學(xué)生提供了更牢固的腳手架.例如,本章的引入部分就是通過Real-World Link板塊呈現(xiàn)的,通過“利用三角函數(shù)測(cè)量建筑高度”這一數(shù)學(xué)問題來引入.另外,教材還在Big Ideas板塊中對(duì)教學(xué)目標(biāo)進(jìn)行分條羅列,在Key Vocabulary板塊中將本章的重點(diǎn)數(shù)學(xué)名詞單列出來并標(biāo)注相應(yīng)頁(yè)碼,條理有序,一目了然.

圖5 美國(guó)Glencoe版教材章首頁(yè)板塊

此外,該套教材的檢測(cè)設(shè)計(jì)相對(duì)來說更為完善,除了章前、章中、章后檢測(cè)外,還設(shè)置了標(biāo)準(zhǔn)檢測(cè),與標(biāo)準(zhǔn)考試(SAT/ACT)直接掛鉤,加強(qiáng)了高中與大學(xué)的銜接.整體而言,美國(guó)Glencoe版教材的體例結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)更加多元,學(xué)生的主體性更強(qiáng),對(duì)教師的需求性較小,內(nèi)容較為豐富,系統(tǒng)性較強(qiáng).

綜上所述,兩套教材在體例結(jié)構(gòu)上既有相似之處也各有特點(diǎn)——人教A版結(jié)構(gòu)完整,較為中規(guī)中矩,開放性、靈活性都較強(qiáng),便于教師開展教學(xué);美國(guó)Glencoe版板塊設(shè)計(jì)豐富、色彩鮮艷、維度多樣、內(nèi)容多元.

4.2 教學(xué)素材

為了更好地在數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生思維,兩套教材均使用了很多思維活動(dòng)素材.

人教A版中該類素材主要包括節(jié)中穿插在正文之中的“探究”“思考”,以及每節(jié)后的“閱讀與思考”“探究與發(fā)現(xiàn)”板塊,對(duì)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行進(jìn)一步拓展與深入,將學(xué)生的思考維度進(jìn)一步拔高.

美國(guó)Glencoe版教材中思維活動(dòng)素材的使用則是借助思維板塊來呈現(xiàn).例如,在數(shù)學(xué)閱讀板塊中,常介紹一些數(shù)學(xué)史、數(shù)學(xué)“俚語(yǔ)”、數(shù)學(xué)習(xí)慣等,幫助學(xué)生擁有更高的數(shù)學(xué)素養(yǎng);學(xué)科交叉欄板塊內(nèi)的素材為學(xué)生架起了數(shù)學(xué)與其他學(xué)科間的橋梁,使其看到學(xué)科間的共通性,在不同學(xué)科知識(shí)的相互運(yùn)用之中對(duì)知識(shí)進(jìn)行更加牢固的記憶.

值得一提的是H.O.T Problem板塊,即“High-Order Thinking高層次思維”.這類板塊中通常含有“開放式問題”(Open Ended)、“理由敘述題”(Reasoning)及“數(shù)學(xué)寫作題”(Writing in Math),能夠有效提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和思維水平.

圖6 美國(guó)Glencoe版思維活動(dòng)類素材

如圖6中的Writing in Math例題,該題要求學(xué)生運(yùn)用課本中給出的信息對(duì)過山車上乘客的位置進(jìn)行建模.該題可以引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行跨學(xué)科思考,結(jié)合數(shù)學(xué)概念和物理知識(shí)建立合適的數(shù)學(xué)模型.同時(shí),也提高了學(xué)生的寫作和表達(dá)能力,培養(yǎng)了學(xué)生的批判思維和創(chuàng)造思維.

這類綜合靈活的題型正是響應(yīng)當(dāng)下對(duì)“以數(shù)學(xué)的眼光看世界”的呼喚,不僅能幫助學(xué)生提高數(shù)學(xué)能力,也能引導(dǎo)學(xué)生將數(shù)學(xué)技能遷移至日常生活的問題解決過程中,做到數(shù)學(xué)生活化、生活數(shù)學(xué)化,幫助學(xué)生形成自己的數(shù)學(xué)思維方式.以筆者之見,這正是我國(guó)教材編寫中值得借鑒的地方.

5 研究啟示

基于以上對(duì)兩套教材的比較研究,我們得到了一些關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的啟示．

第一,要豐富知識(shí)背景,加深數(shù)學(xué)理解．美國(guó)Glencoe版教材中有大量與生活實(shí)踐、其他學(xué)科、科技文化等領(lǐng)域接軌的素材,對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的問題解決能力大有裨益.因此,教師在教學(xué)中也可適當(dāng)補(bǔ)充一些背景知識(shí),在幫助學(xué)生習(xí)得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的同時(shí),也為發(fā)展學(xué)生興趣與進(jìn)行合理的職業(yè)發(fā)展路徑選擇提供幫助.

第二,要尋找知識(shí)關(guān)聯(lián),搭建自學(xué)框架．古人云:“授人以魚,不如授人以漁.”在學(xué)習(xí)過程中最重要的是學(xué)會(huì)如何學(xué)習(xí).美國(guó)Glencoe版教材中的螺旋式復(fù)習(xí)(Spiral Review)能夠幫助學(xué)生更好地將新知納入已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)中;旁注處的學(xué)習(xí)技巧(Study Tip)的巧記方法、口訣等,為學(xué)生搭建了更加牢固的腳手架.因此,教師不僅要讓學(xué)生在探索數(shù)學(xué)世界的過程中發(fā)展數(shù)學(xué)思維,還要注重引導(dǎo)學(xué)生如何借助教材發(fā)展學(xué)生的自學(xué)能力.

第三,要加強(qiáng)知識(shí)運(yùn)用,發(fā)展數(shù)學(xué)思維．知識(shí)不是為了儲(chǔ)存,而是為了流通,運(yùn)用知識(shí)不僅指利用標(biāo)準(zhǔn)化的模型正確地做例題、解習(xí)題,還應(yīng)包括解決復(fù)雜繁瑣的實(shí)際問題,做到學(xué)以致用,從而發(fā)展數(shù)學(xué)應(yīng)用思維[4].在教學(xué)中,教師可以參考多版本教材的設(shè)計(jì),通過課堂活動(dòng)提高學(xué)生對(duì)知識(shí)的運(yùn)用能力,在知識(shí)的流通過程中不斷加深學(xué)生的理解,在實(shí)踐與學(xué)習(xí)中發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維與數(shù)學(xué)素養(yǎng).