一道2023年北京聯(lián)賽試題的求解與推廣

張志剛

(山東省寧陽(yáng)縣復(fù)圣中學(xué) 271400)

1 試題呈現(xiàn)

本題探求三角函數(shù)的最值問題,重點(diǎn)考查考生分析問題的能力以及運(yùn)用函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式等知識(shí)解決問題的能力,考查數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理等核心素養(yǎng).試題呈現(xiàn)簡(jiǎn)潔精巧,解法靈動(dòng)多樣,具有良好的選拔功能,有利于檢測(cè)考生的理性思維、科學(xué)探索意識(shí).

2 試題溯源

本題改編自2010年第5屆聯(lián)盟杯數(shù)學(xué)競(jìng)賽預(yù)賽高二年級(jí)試題第7題:

3 試題解答

下面結(jié)合三角函數(shù)知識(shí),從不等式放縮、函數(shù)最值、拉格朗日乘數(shù)法等視角嘗試解答.

思路一 不等式放縮

解法1基本不等式法

基本不等式是求解最值問題的重要工具.應(yīng)用的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)定值條件,常用到添項(xiàng)、拆項(xiàng)、系數(shù)拼湊、消元代換等技巧.

思路二 轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)最值

解法2導(dǎo)數(shù)法

導(dǎo)數(shù)是關(guān)于瞬時(shí)變化率的數(shù)學(xué)表達(dá),定量刻畫了函數(shù)的局部變化規(guī)律.利用導(dǎo)數(shù)可以精確研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、增長(zhǎng)(衰減)率、增長(zhǎng)(減少)快慢等性質(zhì).考生可利用函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)來研究原函數(shù)的一般單調(diào)性,據(jù)此得到原函數(shù)的極值點(diǎn),再結(jié)合給定區(qū)間,得到該區(qū)間上原函數(shù)的最值.

解法3換元法、導(dǎo)數(shù)法(解法2的優(yōu)化)

注意到題設(shè)代數(shù)式包含sinx和cosx,聯(lián)想同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考慮換元以簡(jiǎn)化問題.

思路三 用高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)求解

解法4拉格朗日乘數(shù)法

評(píng)注拉格朗日乘數(shù)法理論上的優(yōu)越性顯而易見.然而,高中生理解拉格朗日乘數(shù)法的原理存有難度,對(duì)于求偏導(dǎo)數(shù)運(yùn)算也是陌生的,求解方程組對(duì)學(xué)生運(yùn)算能力要求也較高,故此法僅供參考,為避免死記硬背、生搬硬套結(jié)論的盲目機(jī)械訓(xùn)練,不宜對(duì)學(xué)生提出過高要求.

4 推廣與變式

4.1 常數(shù)推廣

將解析式中兩分子中的常數(shù)一般化,得結(jié)論1.

4.2 變換次數(shù)

將上述結(jié)論加以推廣,得結(jié)論2.

4.3 增加變量

將變式2加以推廣,得結(jié)論3.

5 結(jié)束語(yǔ)

三角函數(shù)的最值問題涉及函數(shù)、方程、不等式、三角代換等高中數(shù)學(xué)主干知識(shí).教師要挖掘其意境高深悠遠(yuǎn)、再生能力強(qiáng)、探究空間大的優(yōu)勢(shì),積極引導(dǎo)學(xué)生敏銳捕捉題設(shè)信息,剖析問題本質(zhì),展開豐富聯(lián)想,促進(jìn)思維遷移,尋求多方聯(lián)系,構(gòu)建解決方案.需要注意的是,不管強(qiáng)基計(jì)劃測(cè)試題、競(jìng)賽題或高考題的“檔次”多高,解決它們的知識(shí)都不是別出心裁的、讓人可望不可及的技巧[1],而是深深扎根在教材里的平凡知識(shí),和傳統(tǒng)成熟的基本知識(shí)、技能、方法、基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)有著千絲萬(wàn)縷的聯(lián)系,如前文中的基本不等式、導(dǎo)數(shù)等都是教材中的基礎(chǔ)內(nèi)容,是錘煉更高能力和素養(yǎng)的源頭活水.