對一道2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽北京預賽試題的探究*

豐 魁

(云南師范大學 650500)

吳元永

(云南師范大學附屬中學 650106)

1 試題呈現(xiàn)

這是2023年全國高中數(shù)學聯(lián)賽北京預賽一道三角函數(shù)最值問題,形式簡潔優(yōu)美,作為一試填空題第10題,難度中等,有多種切入角度,除了高中數(shù)學聯(lián)賽外,也比較適合高考層面的要求,有一定的研究價值．

2 解法探究

2.1 思路1:運用導函數(shù)

導數(shù)法是求解函數(shù)最值問題一般的思維方法,思路自然,無需過多的技巧,且該問題的導函數(shù)運算并不復雜,故可求導后依據(jù)導函數(shù)與0的關(guān)系,判斷函數(shù)單調(diào)性,求取最值．

2.2 思路2:運用均值不等式

2.3 思路3:運用柯西不等式

二維柯西不等式為(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2,當且僅當ad=bc時取等號．題目中所給的是分式型最值問題,考慮乘(mcosx+nsinx),m,n均為正實數(shù),湊出常數(shù),再結(jié)合取等條件求m,n．

2.4 思路4:運用權(quán)方和不等式

2.5 思路5:運用平方平均值和調(diào)和平均值

2.6 思路6:運用拉格朗日乘數(shù)法

3 一般情形與幾何背景

3.1 一般情形

3.2 幾何背景

圖1

4 變式探究

4.1 類比替換夯基礎(chǔ)

4.2 幾何建模探本質(zhì)

變式2 已知直線l過第一象限內(nèi)的定 點P(8,1)與x,y軸的正半軸分別交于A,B兩點,O為坐標原點,則△OAB周長的最小值為．

命制意圖將三角函數(shù)與幾何問題相融合,體現(xiàn)了數(shù)學建模思想.在具體解決問題過程中,設角和設線在函數(shù)形式、處理技巧、運算量等方面又有較大差別,方法的取舍、最佳解題路徑判斷,皆需要較強的數(shù)學素養(yǎng)．

4.3 特殊一般亦精彩

命制意圖將原題中特殊的sin2x+cos2x=1,即單位圓的形式推廣到圓心在原點、半徑為r的一般的圓的形式,看似摒棄三角函數(shù)外殼,變?yōu)椴坏仁絾栴},實則方法本質(zhì)依舊同上．

命制意圖保留三角函數(shù),而將原題中特殊的正余弦的一次式推向n次式,適當增加運算量與思維量．

4.4 直曲交點藏玄妙

命制意圖引入直線,改編為直線曲線交點問題,看似與原題毫不相關(guān),實則一本同源,綜合考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的思想,對學生挖掘題目隱藏條件、充要條件推理等能力的考查更為深入．

5 啟示

對于函數(shù)和不等式最值問題,要善于觀察目標表達式的特點,在掌握換元、求導等通法的同時,亦要靈活配湊,合理放縮,結(jié)合均值不等式鏈Qn≥An≥Gn≥Hn巧解、妙解,也要學會追本溯源,運用特殊到一般的數(shù)學思想,深究背后幾何意義,不拘泥于題干表征形式,不斷提升數(shù)學歸納和數(shù)學建模的能力．