追求法則教學(xué)的自然高效

[摘? 要] 為了追求法則教學(xué)的自然高效，文章以“多項式乘多項式”的法則教學(xué)為例，從“追根溯源，探尋法則的生長點”“合作探究，感知法則形成過程”“實際應(yīng)用，建構(gòu)法則知識體系”三方面展開教學(xué)與分析，并針對法則教學(xué)談三點思考：關(guān)注導(dǎo)入方式，注重知識連貫性;滲透數(shù)學(xué)思想，多角度詮釋法則;放慢探究速度，暴露法則本質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 法則;多項式乘法;教學(xué)

隨著《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》的頒布，不少專家、學(xué)者對初中數(shù)學(xué)教學(xué)提出了不少源于實踐的建議，其中最關(guān)鍵的一點是“回歸”. 回歸主要存在兩方面的深意，一方面是期望學(xué)生能回歸教材，熟練掌握基礎(chǔ)知識與基本技能，并利用它解決一些基礎(chǔ)性的問題;另一方面是期望教學(xué)能回歸自然，讓課堂動態(tài)生成.

然而，遺憾的是，仍有些教師存在“重解題，輕過程”的心理，尤其是運算法則類的教學(xué)，他們只知道讓學(xué)生訓(xùn)練，對于運算技巧的來龍去脈與所蘊含的數(shù)學(xué)思想方法等則不做解釋，或者語焉不詳. 為此，本文以“多項式乘多項式”的教學(xué)為例，具體談?wù)勅绾巫非筮\算法則教學(xué)的自然高效.

教學(xué)簡錄

1. 追根溯源，探尋法則的生長點

法則的形成過程是本節(jié)課授課的重點，對幫助學(xué)生建構(gòu)完整的認(rèn)知結(jié)構(gòu)具有重要的作用. 引導(dǎo)學(xué)生追根溯源，探尋法則形成的合理性與必然性是教學(xué)的起點. 教師可基于學(xué)生原有認(rèn)知，帶領(lǐng)他們先回顧舊知，引出主題，為新知教學(xué)做鋪墊.

師：單項式的乘法我們大家都已經(jīng)接觸過，現(xiàn)在來做幾道題.

①（-2m2c）（-3nc）;②c（b+m）;③-6a（a3-3ab+1）.

生1：第一題的答案為6m2nc2.

師：很好！問題①是哪一類運算？依據(jù)是什么？

生2：問題①屬于單項式的乘法，計算依據(jù)為單項式的乘法法則.

師：不錯！單項式乘法法則的本質(zhì)就是乘法交換律的應(yīng)用.

生3：問題②的答案為cb+cm.

師：解答此問題應(yīng)用了哪一種運算？依據(jù)是什么？

生4：問題②屬于單項式和多項式相乘，運算依據(jù)為乘法分配律的應(yīng)用.

師：那么問題③呢？

生5：問題③的答案為-6a4+18a2b-6a，此問題同樣為單項式乘多項式，解題時應(yīng)用了乘法分配律.

師：非常好！遇到此類問題，我們既要關(guān)注不漏乘，又要注意符號. 從上面所給的答案可以看出，大家在細(xì)節(jié)方面處理得很好. 若將問題②中的c換為（a+n），問題就變成（a+n）（b+m），新的式子屬于哪種運算？

學(xué)生竊竊私語，教師趁學(xué)生興趣正濃，順勢引出本節(jié)課的教學(xué)主題——多項式的乘法.

分析課堂導(dǎo)入環(huán)節(jié)該用什么樣的方式切入教學(xué)主題，是每個教師每節(jié)課備課前都要思考的問題. 不論是豐富的情境創(chuàng)設(shè)，還是舊知的回顧，都要以激發(fā)學(xué)生的探索欲為前提. 筆者研究過不少課例，對于本節(jié)課，大部分教師選擇以廚房面積的生活實際問題來引入多項式和多項式相乘這一主題.

廚房面積問題的導(dǎo)入方式于學(xué)生而言，還是比較容易接受與理解的，但由于切入主題的方式過于直接，學(xué)生的思維缺乏一個循序漸進(jìn)的過程，因此這對學(xué)生發(fā)散思維不利. 同時，由于教師對學(xué)生的實際能力缺乏了解，學(xué)生只知道需要計算面積，卻不理解為什么要計算，因此這種導(dǎo)入方式忽略了知識建構(gòu)與方法遷移.

上述教學(xué)過程，教師從學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過單項式乘法的復(fù)習(xí)逐漸過渡到多項式乘法. 從單項式乘單項式、單項式乘多項式等角度回顧單項式的乘法法則，能從一定意義上夯實本節(jié)課的知識基礎(chǔ). 其中，教師提出將問題②中的c換成式子（a+n），此處則為多項式乘多項式的生長點，類比單項式乘法法則的應(yīng)用，學(xué)生不難理解多項式的乘法法則. 因此，這是一個成功的導(dǎo)入方式.

教師用幾個簡單的計算導(dǎo)入新課，不僅幫助學(xué)生再次梳理了單項式乘法法則的應(yīng)用規(guī)則，還讓學(xué)生學(xué)會了自主類比單項式乘法法則的研究方法，這就為建構(gòu)前后邏輯連貫的教學(xué)奠定了基礎(chǔ).

2. 合作探究，感知法則形成過程

新課標(biāo)強(qiáng)調(diào)以自主、合作、探究為課堂教學(xué)的主要模式. 法則的形成需要經(jīng)歷一個復(fù)雜的過程，若單純地憑借教師的講解，不僅會讓學(xué)生感到學(xué)習(xí)枯燥，還會浪費課堂不少時間. 事實證明，以合作探究的方式探索多項式與多項式相乘的法則形成過程，不僅能激發(fā)學(xué)生的潛能，激發(fā)學(xué)生的探索欲，還能有效地促進(jìn)學(xué)生創(chuàng)造性思維的成長.

師：對于式子（a+n）（b+m），該如何計算呢？請大家類比單項式乘法法則的研究過程進(jìn)行合作探究，最后各小組匯報成果. 探究內(nèi)容為“你是怎么想的？存在哪些研究方法”.

組1：我們小組將（a+n）（b+m）中的（a+n）視為一個整體，也就是回歸到c（b+m）的計算中去，通過分配律的應(yīng)用，獲得b（a+n）+m（a+n），再應(yīng)用乘法分配律進(jìn)行計算，最后獲得結(jié)論.

師：有點意思. 除此之外，同學(xué)們還有其他方法嗎？

組2：我們組將（b+m）視為整體，具體計算過程與組1類似.

師：很好！若從數(shù)形結(jié)合思想出發(fā)，將我們所熟悉的長方形面積應(yīng)用到此處，是否可行呢？

生6：應(yīng)該可行. 我們可以先構(gòu)造一個相鄰邊的長分別為（a+n）和（b+m）的長方形.

師：構(gòu)造的長方形的面積該如何表示？

生6：（a+n）（b+m）.

師：還有其他表示方法嗎？

（學(xué)生交流，認(rèn)為可以應(yīng)用分割法來計算圖形的面積）

師：同一個圖形的面積，不論用哪種方法進(jìn)行計算，結(jié)論都是一樣的. 割補(bǔ)法在我國有著悠久的歷史，最早出現(xiàn)在劉徽的出入相補(bǔ)原理中，即整體面積等于部分圖形面積之和. 該原理充分體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想、建模思想等. 于本題而言，哪位同學(xué)能具體談?wù)劯钛a(bǔ)法的應(yīng)用？

學(xué)生合作交流后，用圖1表述了割補(bǔ)法在這個計算中的應(yīng)用.

師：非常好！從大家展示的方法來看，本人覺得還有所欠缺，那就是圖形中的字母均表示邊的長，均為正數(shù)，但式子（a+n）（b+m）中的a，b，n，m表示的是任意實數(shù)，甚至可能為式子.

學(xué)生紛紛點頭表示贊同，這是他們沒有想到的.

師：現(xiàn)在請大家嘗試用文字語言和符號語言來表征多項式與多項式相乘的法則.

文字語言略，符號語言為：（a+n）（b+m）=ab+am+nb+nm.

分析本教學(xué)環(huán)節(jié)以（a+n）（b+m）為研究主題，教師首先鼓勵學(xué)生自主研究該式的計算方法，并交流計算結(jié)論，要求學(xué)生說說計算的思考過程與所運用的方法. 整個過程都建立在“以生為本”的基礎(chǔ)上，由教師主導(dǎo)，學(xué)生自主探索，這樣能使學(xué)生親身經(jīng)歷法則的形成過程，從根本上認(rèn)識到多項式與多項式相乘的本質(zhì)是基于單項式乘法運算而來的，從而對這種運算法則有更加深刻、清晰的認(rèn)識.

隨后，在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生嘗試從數(shù)與形兩個角度分別詮釋多項式與多項式相乘的運算法則. 分割法的引入不僅滲透了數(shù)學(xué)文化，激發(fā)了學(xué)生的愛國熱情，而且巧妙地讓學(xué)生感知到了構(gòu)造恒等式在運算中的神奇之處，為后續(xù)通過構(gòu)圖法驗證勾股定理、乘法公式等奠定了基礎(chǔ). 當(dāng)然，數(shù)形結(jié)合思想的滲透也是此環(huán)節(jié)的點睛之筆.

最后，教師鼓勵學(xué)生用文字語言與符號語言來總結(jié)多項式相乘的法則，這種師生、生生之間和諧、民主的互動方式，不僅營造了一種舒適的學(xué)習(xí)氛圍，而且讓學(xué)生親歷了法則的自然生成過程與發(fā)展過程. 隨著探究的深入，該法則由原本靜態(tài)的結(jié)論，轉(zhuǎn)化為動態(tài)的課堂自然生成內(nèi)容，因此這是一種淡化法則教學(xué)生硬規(guī)定的方法，值得大力提倡.

3. 實際應(yīng)用，建構(gòu)法則知識體系

任何知識的學(xué)習(xí)都是在為實際應(yīng)用做準(zhǔn)備，多項式相乘法則的學(xué)習(xí)自然也要為解決實際問題服務(wù). 為了鞏固學(xué)生的學(xué)習(xí)成果，夯實學(xué)生對法則的認(rèn)識，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，教師可帶領(lǐng)學(xué)生通過編題、解題等方式感知法則的實用性.

教師用PPT展示了六個單項式，分別為a，2b，m，n，c，1，要求學(xué)生從中任取若干個單項式，用“+”“-”符號連成多項式，并組成多項式與多項式相乘的式子，由同桌計算. 注意：每個單項式只能用一次.

教師在巡視過程中，挑出典型式子（a-n）（2b+c-1）進(jìn)行投影，并與學(xué)生一起探索.

師：現(xiàn)在我們一起來觀察式子（a-n）（2b+c-1）. 這個式子屬于多項式與多項式相乘這一類別嗎？

生（齊）：屬于.

師：那該式乘開后共有幾項？

生7：6項.

師：為什么是6項？具體是怎么思考的？

生7：可將（2b+c-1）視為一個整體，結(jié)合整體思想，將該式轉(zhuǎn)化成我們所熟悉的單項式與多項式相乘的情況，再結(jié)合分配律可得a（2b+c-1）-n（2b+c-1），此時再一次使用分配律，可發(fā)現(xiàn)最終得到6項.

師：不錯！除此之外，還可以從什么角度來分析？

生8：換個角度，可將（a-n）視為一個整體.

生9：根據(jù)以上對多項式的乘法公式的符號表述，其中a，b，n，c可為任意實數(shù)，因此根據(jù)多項式乘法法則，該式乘開后為6項.

分析自主編題、同桌互解互改的方式讓學(xué)生有了更多的自主發(fā)揮空間，教師將典型例題拿出來與學(xué)生一起探討，一方面能鞏固學(xué)生對多項式乘法的認(rèn)識，另一方面能讓學(xué)生充分感知到多項式乘法法則萬變不離其宗，即不論問題發(fā)生怎樣的變化，都可以從整體思想、數(shù)形結(jié)合思想等角度來分析并解決，這種認(rèn)識能為學(xué)生的后續(xù)學(xué)習(xí)夯實基礎(chǔ).

學(xué)生自主編題的模式，除了能凸顯出學(xué)生在課堂中的主體地位而外，還能活躍課堂氣氛，讓學(xué)生更加樂于探索問題，從而真正地吸收并內(nèi)化所學(xué)知識，建構(gòu)完整的知識網(wǎng)絡(luò). 因此，這是一種提升學(xué)生合作交流能力與數(shù)學(xué)思維能力、發(fā)展學(xué)生創(chuàng)新意識的教學(xué)方式.

幾點思考

1. 關(guān)注導(dǎo)入方式，注重知識連貫性

教材是實施有效教學(xué)的載體，讀懂教材并領(lǐng)悟編者的設(shè)計意圖是開展有效教學(xué)的關(guān)鍵. 但教材所呈現(xiàn)的內(nèi)容是靜止不變的，尤其是概念、公式、法則類信息，大部分直接以結(jié)論的形式呈現(xiàn). 這些內(nèi)容的來龍去脈以及蘊含的數(shù)學(xué)本質(zhì)等，需要教師通過動態(tài)的課堂教學(xué)活動加以展示，讓它們自然地呈現(xiàn)在學(xué)生面前.

課堂導(dǎo)入作為一節(jié)課的起始，對一節(jié)課的情感基調(diào)具有直接的影響. 若教師沒有認(rèn)真揣摩編者的意圖，也沒有充分了解學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”，那么教學(xué)就有可能流于形式，學(xué)生的思維也會因缺乏動態(tài)發(fā)展過程而難以建構(gòu)完整的認(rèn)知體系，各種數(shù)學(xué)能力的發(fā)展就更無從談起了.

教師在本節(jié)課的導(dǎo)入環(huán)節(jié)，通過幾道單項式乘法的計算題來幫助學(xué)生回顧與之相關(guān)的法則，這為本節(jié)課的研究指明了方向. 而且這種導(dǎo)入方式對初中生而言，充滿了“數(shù)學(xué)味”，學(xué)生在層層遞進(jìn)的問題引領(lǐng)下獲得了數(shù)學(xué)知識之間的聯(lián)系，不知不覺間就揭露了本節(jié)課研究的主題，從而自然地進(jìn)入自主探索狀態(tài).

2. 滲透數(shù)學(xué)思想，多角度詮釋法則

在法則的探索過程中，學(xué)生不僅學(xué)會了從“數(shù)”的角度探索多項式相乘的公式，還在教師的引導(dǎo)下從“形”的角度來分析法則. 這不僅能讓學(xué)生從多個維度理解該法則，還能滲透數(shù)形結(jié)合思想，為后續(xù)學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).

從研究方法上來看，除了明顯的數(shù)形結(jié)合思想，教學(xué)過程還涉及轉(zhuǎn)化與化歸思想、類比思想、整體思想等，這些豐富的數(shù)學(xué)思想方法能讓學(xué)生從多個角度感知到知識與方法之間的聯(lián)系，能深化對多項式乘法的理解.

3. 放慢探究速度，暴露法則本質(zhì)

不少教師為了響應(yīng)“雙減”政策，美其名曰“減負(fù)增效”，實際上在課堂上應(yīng)用“快餐式”教學(xué). 最典型的就是公式、法則類教學(xué)，這類教學(xué)減掉了與學(xué)生共同探索的過程，將結(jié)論直接呈現(xiàn)給學(xué)生，讓學(xué)生記住公式后反復(fù)進(jìn)行做題訓(xùn)練. 這種教學(xué)方式看似節(jié)約了時間，實際上省略了公式、法則的探究過程，阻礙了學(xué)生思維的發(fā)展.

多項式乘法的公式教學(xué)，若教師不將公式的來龍去脈交代清楚，學(xué)生在應(yīng)用時只能生搬硬套，無法真正地做到知其然且知其所以然. 而一旦對法則的本質(zhì)不理解，后續(xù)面對綜合性強(qiáng)的復(fù)雜問題時，學(xué)生只能束手無策. 本節(jié)課，教師鼓勵學(xué)生通過獨立思考、合作交流、自主編題等方式從多個角度研究多項式相乘的法則，看似耗費了不少時間，實際上卻能從真正意義上提升學(xué)生的能力.

總之，概念、公式、法則與定理類的教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)，教師應(yīng)在充分尊重學(xué)生的基礎(chǔ)上，鼓勵學(xué)生自主探索，喚醒學(xué)生的探究欲，讓他們獲得知識的本質(zhì)，建構(gòu)完整的認(rèn)知體系. 同時，教師還要不斷地總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，優(yōu)化教學(xué)手段，完善教學(xué)方法，只有讓課堂“活而不亂”，才能真正地促使法則教學(xué)自然、高效.

作者簡介：季霞（1981—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.