基于“懷特海三段論”的一元二次方程概念教學(xué)設(shè)計研究

[摘? 要] “教育三段論”是懷特海在《教育的目的》中提出的一種學(xué)習(xí)理論，他把個體智力發(fā)展節(jié)奏分為浪漫、精確與綜合運用三個階段，體現(xiàn)了基于個體智力發(fā)展特征的進階規(guī)律. 以教育節(jié)奏論為理論基礎(chǔ)對中學(xué)一元二次方程概念進行教學(xué)設(shè)計，能引導(dǎo)學(xué)生感受、獲得、應(yīng)用概念，實現(xiàn)有效概念教學(xué). 在教學(xué)中運用該理論時，教師還應(yīng)積極轉(zhuǎn)變教育教學(xué)理念、靈活處理各個教學(xué)環(huán)節(jié)、注重理論與現(xiàn)實的關(guān)系.

[關(guān)鍵詞] 懷特海節(jié)奏論;概念教學(xué);一元二次方程;教學(xué)設(shè)計

數(shù)學(xué)是一門以現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系和空間形式為研究對象的科學(xué)，由概念和命題等組成. 作為一門科學(xué)，嚴密的邏輯性和高度的抽象性使數(shù)學(xué)成為一門抽象性極強的學(xué)科，而數(shù)學(xué)概念正是表達這種思維的特殊語言. 在數(shù)學(xué)中，每個概念都有其存在的價值和意義，都能為問題的解決和應(yīng)用提供堅實的理論依據(jù)和經(jīng)驗. 因此，對數(shù)學(xué)概念的正確理解與把握是學(xué)習(xí)個體認識和學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的重要前提. 在數(shù)學(xué)概念教學(xué)時，教師要善于轉(zhuǎn)變教育教學(xué)觀念，積極探索合理的教學(xué)模式，通過情境創(chuàng)設(shè)將客觀實例引入教學(xué)，引導(dǎo)學(xué)生抽象出某類事物或某種關(guān)系的共性特點，歸納和推導(dǎo)出數(shù)學(xué)概念的本質(zhì)屬性，讓學(xué)生在自我探究過程中感受數(shù)學(xué)與生活的密切聯(lián)系，提高應(yīng)用觀念，為日后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)奠定堅實的基礎(chǔ).

懷特海關(guān)于“教育節(jié)奏”的思想

懷特海發(fā)現(xiàn)，當時英國教育界一直持有一種錯誤的觀點，即個體學(xué)習(xí)過程是步調(diào)一致、勻速前進的. 而產(chǎn)生這種錯誤觀點的主要原因是教育者不能正確把握學(xué)生個體智力發(fā)展的特點，教育過程過于注重速度. 懷特?；趥€體智力發(fā)展節(jié)奏的特點，創(chuàng)見性地提出了教育節(jié)奏循環(huán)理論，提倡教師應(yīng)依據(jù)學(xué)生智力發(fā)展不同階段所呈現(xiàn)的不同需求，提供相應(yīng)的教學(xué)內(nèi)容和方法. 他指出，生命本質(zhì)上是周期性的，而智力發(fā)展過程也同樣如此，只不過比較難以察覺而已，它們會循環(huán)往復(fù)地出現(xiàn)且有各自不同的特點. 這種特點是一種旋渦式的循環(huán)，每一循環(huán)由浪漫、精確和綜合運用三階段組成.

浪漫階段是個體開始領(lǐng)悟的階段. 在這一階段，知識不受系統(tǒng)程序的支配[1]. 學(xué)生對所接觸新事物的認識處于一種一知半解的模糊狀態(tài)，不可能有清晰的領(lǐng)會，有時也會進行一定的系統(tǒng)分析. 這樣，事實本身就具備種種聯(lián)系，同時以豐富的內(nèi)容為學(xué)生提供了種種若隱若現(xiàn)的可能性，于是浪漫的情感油然而生. 而浪漫的情感本質(zhì)上屬于這樣一種興奮，即事物通過一種不清晰的、混沌的狀態(tài)展示在個體眼前. 例如：通過現(xiàn)實情境引導(dǎo)學(xué)生模糊地感知一元二次方程在現(xiàn)實生活中的存在性，引發(fā)學(xué)生進行浪漫的遐想，這個階段就是浪漫階段.

精確階段是對浪漫階段所獲得的事實內(nèi)容進行系統(tǒng)的分析和闡述，使事物間模糊的關(guān)系變得清晰化、明了化，并呈現(xiàn)在眼前. 在這一階段，教學(xué)應(yīng)更加注重知識的系統(tǒng)性和精確性，而知識的廣泛性則處于次要地位. 此外，在這一階段，教師還應(yīng)不斷著力，使學(xué)生逐漸形成一定的分析事實的能力. 由此，學(xué)生不僅獲得了更多、更新的事實，還可以將其納入分析之中. 例如，在精確階段教師引導(dǎo)學(xué)生對浪漫階段所獲得的感性內(nèi)容進行系統(tǒng)分析，歸納一元二次方程的基本屬性：①等式兩邊都是整式;②未知數(shù)的最高次數(shù)為2;③只含有一個未知數(shù). 并讓學(xué)生找到一元二次方程的一般形式（即ax2+bx+c=0），以及運用數(shù)學(xué)語言準確地描述出一元二次方程的概念，將此概念進行數(shù)學(xué)化.

綜合運用階段是舍棄細節(jié)而靈活使用原理的階段，此時的知識已經(jīng)來到無意識的習(xí)慣之中[1]. 在這一階段，個體已經(jīng)具備探索世界的體系化理論知識，且有了思考能力，此時的學(xué)生宛如一個個摩拳擦掌、躍躍欲試的戰(zhàn)士，他們迫切地希望拿起手中的武器重歸浪漫階段的自由冒險，此時新一輪的學(xué)習(xí)循環(huán)周期即將拉開序幕. 例如，學(xué)生已經(jīng)理解與掌握了一元二次方程的相關(guān)概念，此階段教師需要帶領(lǐng)學(xué)生回歸到浪漫階段并靈活運用所學(xué)的知識解決實際問題.

依懷特?？矗ㄈ鐖D1所示），浪漫、精確及綜合運用組成了一個完整的學(xué)習(xí)循環(huán)周期，每一次循環(huán)都始于浪漫，歷經(jīng)精確，最終抵達綜合運用階段. 這是一種富有動態(tài)性和節(jié)奏性的教學(xué)進程，帶有一種周期性往復(fù)的“節(jié)奏”，并朝著和諧的目標前進. 懷特海指出，這個節(jié)奏性特點的一些主要規(guī)律可以在教育實踐中得到驗證，適用于大多數(shù)學(xué)生. 在教育實踐中，我們就可以根據(jù)這個節(jié)奏規(guī)律來進行教學(xué)，改變教學(xué)方式，提高教學(xué)質(zhì)量，促進學(xué)生發(fā)展，從根本上啟發(fā)學(xué)生的心智[2].

教學(xué)設(shè)計：以初中“一元二次

方程”的概念教學(xué)為例

1. 一元二次方程概念的相關(guān)內(nèi)容及其解析

一元二次方程是學(xué)生在學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程等內(nèi)容的基礎(chǔ)上學(xué)習(xí)的內(nèi)容. 作為初中階段重要的方程之一，一元二次方程在中學(xué)數(shù)學(xué)知識體系中有著承上啟下的關(guān)鍵作用——不但能為日后二次函數(shù)、不等式等內(nèi)容的學(xué)習(xí)做好必要的準備，而且能成為日后學(xué)習(xí)其他學(xué)科知識（如物理、化學(xué)）的有力工具. 同時，“一元二次方程”模型的建立對我們處理日常實際問題也有重要的幫助.

本文以蘇科版初中數(shù)學(xué)教材為例. 蘇科版“一元二次方程”的概念安排于九年級上冊第21章. 下面以教育節(jié)奏論為理論基礎(chǔ)對一元二次方程概念進行教學(xué)設(shè)計：通過客觀實例的引入，引導(dǎo)學(xué)生探究問題中存在的數(shù)量關(guān)系及規(guī)律，概括一元二次方程的概念及一般形式，正確辨析各項系數(shù)，讓學(xué)生意識到一元二次方程是解決問題的有效模型，形成“方程模型”思想，提高應(yīng)用觀念.

2. 教學(xué)過程

（1）浪漫階段：激活學(xué)生的原有經(jīng)驗，引發(fā)浪漫遐想

問題1：請用方程描述以下問題中存在的數(shù)量關(guān)系.

①印度古算書中記載了這樣一道數(shù)學(xué)題：“一群猴子被分成兩組快樂地玩耍，八分之一再平方在森林里玩游戲，剩下的十二只在觀望，請說說一共有多少只猴子. ”如果設(shè)猴子的總數(shù)為x只，你能列出怎樣的方程？

②某中學(xué)要組織一場籃球比賽，參賽的每兩支球隊都要比賽一場，每天比賽4場，預(yù)計賽程為7天，則學(xué)校應(yīng)邀請多少支球隊參加比賽？如果設(shè)學(xué)校應(yīng)邀請x支球隊參加比賽，你能列出怎樣的方程？

③如圖2所示，一根長約10 m的木梯斜靠在墻上，工人師傅通過卷尺丈量出木梯的頂端與地面之間的距離約為8 m，則當工人師傅每將梯子的頂端向下移動1 m時，梯子的底端就會向右移動幾米？如果設(shè)梯子的底端向右移動x m，你能列出怎樣的方程？

設(shè)計意圖三個問題均由多媒體課件給出，其中第①題為數(shù)學(xué)史問題，第③題的模型通過播放動態(tài)圖加以展示，點燃學(xué)生探究數(shù)學(xué)的熱情. 列出方程后學(xué)生會發(fā)現(xiàn)他們所列的方程是他們不熟悉的，但又真實地存在，這既能觸發(fā)他們浪漫的遐想，又能為后續(xù)精確階段的探究埋下伏筆.

（2）精確階段：借助學(xué)生的探索經(jīng)歷，誘發(fā)精確表達

問題2：請同學(xué)們觀察所列方程，思考以下問題.

①這三個方程是整式方程嗎？是分式方程嗎？是一元一次方程嗎？

②請類比一元一次方程的學(xué)習(xí)過程，從“式”“元”“次”三個維度探究這些新方程的異同點.

③類比一元一次方程的概念，猜想它們是什么方程.

師生互動：教師將所列方程展示在黑板上，引導(dǎo)學(xué)生觀察，讓學(xué)生充分感受所列方程的特點，接著讓學(xué)生小組合作，從“式”“元”“次”三個維度研究所列的方程. 通過逐層思考，學(xué)生歸納出了新方程的3個基本屬性，即都是整式，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，只有一個未知數(shù). 在此基礎(chǔ)上，教師給予此類方程一個新名稱——一元二次方程.

設(shè)計意圖在浪漫階段學(xué)生已初步形成了對一元二次方程的感性認識，在這一階段，教師的主要任務(wù)是引導(dǎo)學(xué)生對浪漫階段所獲得的相關(guān)內(nèi)容進行系統(tǒng)化、精確化的分析. 在對比學(xué)習(xí)與研究一元一次方程的基礎(chǔ)上，學(xué)生初步感知到所列的方程是一元二次方程，并理性地分析出了一元二次方程的三個本質(zhì)屬性.

問題3：你能用數(shù)學(xué)符號表示一元二次方程的一般形式嗎？

師生活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回顧一元一次方程的一般形式，在此基礎(chǔ)上組織學(xué)生小組討論，讓他們通過觀察與分析一元二次方程的結(jié)構(gòu)特征，概括出其一般形式——ax2+bx+c=0，其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù);bx是一次項，b是一次項系數(shù);c是常數(shù)項. 在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生對ax2+bx+c=0中的a，b，c參量進行討論.

①a，b，c是已知數(shù)，還是未知數(shù)？

②二次項系數(shù)a能等于0嗎？請說明理由.

③一項系數(shù)b和常數(shù)項c能等于0嗎？請說明理由.

設(shè)計意圖探究數(shù)學(xué)問題就像日常生活剝洋蔥一樣，需要對問題的表面進行層層剖析，然后加以解決. 通過分析與思考以上問題串，學(xué)生能清晰地意識到ax2+bx+c=0中的a，b，c參量均為常數(shù)，且二次項系數(shù)a≠0. 若a=0，b≠0，c≠0，則方程變?yōu)閎x+c=0，即一元一次方程;當b=0，a≠0，c≠0時，方程變?yōu)橐辉畏匠痰奶厥庑问絘x2+c=0;當a≠0，b≠0，c=0時，方程又變成另一種特殊形式ax2+bx=0. 在對問題進行不斷剖析的過程中，學(xué)生能加深對一元二次方程本質(zhì)特征的認識，并在整個探討過程中體會從特殊到一般的思想.

問題4：你能否給一元二次方程下一個定義？

師生活動：在學(xué)生討論的基礎(chǔ)上，教師通過完整、精確的語言給出一元二次方程的定義，即等號兩邊都是整式，只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的方程叫一元二次方程.

設(shè)計意圖語言對個體智力發(fā)展和形成概念有著不可忽視的作用. 語言是思維的載體，而數(shù)學(xué)語言為思維表達提供了有效工具. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過簡潔、精確的數(shù)學(xué)語言給出一元二次方程的定義，能加深學(xué)生對一元二次方程的理性認識，能讓學(xué)生深刻地感受到數(shù)學(xué)語言的邏輯性及嚴謹性.

設(shè)計意圖經(jīng)過浪漫和精確階段，學(xué)生已經(jīng)掌握了一元二次方程的相關(guān)內(nèi)容. 在此階段，教師需要帶領(lǐng)學(xué)生回歸到浪漫階段并靈活運用所學(xué)知識進行實際問題的解決. 通過問題辨析一元二次方程的定義、抓住一元二次方程的本質(zhì)特征、明確一元二次方程的一般形式及二次項系數(shù)不為零，能幫助學(xué)生理清概念的形成過程，能促進學(xué)生對概念內(nèi)涵和外延的認知[3].

問題8：請同學(xué)們說一說本節(jié)課你學(xué)到了什么.

設(shè)計意圖教師引導(dǎo)學(xué)生從知識、方法和思想三個角度歸納本節(jié)課所學(xué)習(xí)的內(nèi)容，合理布置課后習(xí)題作業(yè).

教學(xué)反思

從知識角度看，概念是知識組成的最小細胞單位，對每一個數(shù)學(xué)概念進行正確理解與掌握是學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的前提. 數(shù)學(xué)概念具有“對象—過程”的雙重性，即數(shù)學(xué)概念是邏輯分析的對象，過程也蘊含著現(xiàn)實背景與豐富寓意. 在“懷特海教育三段論”的指導(dǎo)下，一元二次方程概念的教學(xué)過程遵循由“浪漫”到“精確”再到“綜合運用”的三重過程，教學(xué)中教師引導(dǎo)學(xué)生感受、獲得、應(yīng)用概念，從而實現(xiàn)有效的概念教學(xué).

懷特海的教育節(jié)奏三段論對我國目前的數(shù)學(xué)教學(xué)很有啟發(fā)性，但在教學(xué)中要想運用好該理論，還需要注意以下三點.

1. 積極轉(zhuǎn)變教育教學(xué)理念

一名優(yōu)秀的數(shù)學(xué)教師不但要具備扎實的學(xué)科知識和豐厚嚴謹?shù)慕虒W(xué)經(jīng)驗，而且必須不斷地汲取先進的數(shù)學(xué)教育理論知識，讓理論與實踐相結(jié)合，這樣才能有效地把控課堂，達到教學(xué)相長的目的. 懷特海的教育節(jié)奏論提出從實踐到理論的教學(xué)思路，即從現(xiàn)實世界和學(xué)生的日?；顒映霭l(fā)，創(chuàng)設(shè)教學(xué)情境，激發(fā)學(xué)生的興趣點，讓學(xué)生迸發(fā)浪漫的遐想;接著，對浪漫階段半掩遮面的事物進行具體分析，使事物間模糊的關(guān)系變得清晰、明了化，使其呈現(xiàn)在眼前，最后，在綜合運用階段引導(dǎo)學(xué)生運用所掌握的知識去解決新的問題，內(nèi)化能力，增強應(yīng)用意識. 懷特海的教育三段論是以其過程哲學(xué)為基礎(chǔ)建立起來的一種新的理論模式，為我國當前數(shù)學(xué)教育理論注入了新鮮的血液. 因此，教師應(yīng)當積極轉(zhuǎn)變教學(xué)理念，以這些優(yōu)秀的教育思想作為價值引領(lǐng)指導(dǎo)自己的教學(xué)實踐，從而真正做到理論與實踐相結(jié)合.

2. 靈活處理各個教學(xué)環(huán)節(jié)

首先，懷特海的“教育節(jié)奏三段論”教學(xué)過程分為浪漫、精確及綜合運用階段. 在實際的教學(xué)過程中，教師需要正確掌握各個階段的具體內(nèi)容，靈活處理各個教學(xué)環(huán)節(jié). 例如，浪漫階段的任務(wù)主要是通過具體的客觀實例激發(fā)學(xué)生浪漫的遐想，此時教師需要在所教內(nèi)容的基礎(chǔ)上選擇恰當?shù)慕虒W(xué)實例;其次，具體的教學(xué)環(huán)節(jié)還可以選擇靈活的形式推進進程;最后，在整個教學(xué)過程中，教師要充分調(diào)動學(xué)生的主觀能動性，讓學(xué)生在輕松、愉快的探究過程中收獲愉悅感、成就感.

3. 注重理論與現(xiàn)實的關(guān)系

以懷特海節(jié)奏論為基礎(chǔ)所構(gòu)建的“三重節(jié)奏”教學(xué)模式是一種動態(tài)的、開放式的教學(xué)模式，對教師駕馭教育理論的能力提出了較高的要求. 這就要求教師不能簡單地停留在理論層面，而應(yīng)以這些優(yōu)秀的教育思想為價值引領(lǐng)，并將其內(nèi)化到自己的教學(xué)實踐中. 因此，在具體的教學(xué)實施過程中，我們要根據(jù)教材內(nèi)容，以現(xiàn)實問題為出發(fā)點，尋找學(xué)生的興趣點，點燃學(xué)生的興趣，讓整個課堂教學(xué)過程變得生動有趣，使教育過程從教師主動轉(zhuǎn)變?yōu)閷W(xué)生主動，不斷地提高課堂教學(xué)的實效性，實現(xiàn)理論與實踐的完美結(jié)合.

參考文獻：

[1]A.N.Whitehead. The Aim of Education[M]. New York：The Free Press，1929.

[2]阿爾弗雷德·諾斯·懷特海. 教育的目的（第一版）[M]. 靳玉樂，劉富利，譯. 北京：中國輕工業(yè)出版社，2017.

[3]張敏，李軍，孫迪. 基于APOS理論下數(shù)學(xué)史融入一元二次方程概念教學(xué)設(shè)計[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（35）：12-14.

作者簡介：韓婧（1994—），碩士研究生，中學(xué)二級教師，從事初中數(shù)學(xué)教學(xué)工作.