多維度關(guān)聯(lián)　試誤中發(fā)現(xiàn)

[摘? 要] 文章嘗試突破一直以來“勾股定理”教學(xué)無法擺脫結(jié)論“束縛”的難點，專門設(shè)置了一節(jié)章前導(dǎo)學(xué)課. 這節(jié)章前導(dǎo)學(xué)課以選擇研究內(nèi)容、制定研究策略為主線，通過實驗操作讓學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)“拼圖”與“方格紙”是探索與驗證勾股定理的有效工具，最終讓學(xué)生在對比與歸納中得出相關(guān)結(jié)論，經(jīng)歷勾股定理“再發(fā)現(xiàn)”的過程.

[關(guān)鍵詞] 升維;試誤;勾股定理;方格紙;測量

問題的提出

勾股定理是歷史上第一個把數(shù)與形聯(lián)系起來的定理，其使得無理數(shù)得以發(fā)現(xiàn)，并引發(fā)世界第一次數(shù)學(xué)危機(jī)，讓人們對數(shù)有了新的理解. 勾股定理還是歐氏幾何的基礎(chǔ)，有巨大的實用價值，一度被譽(yù)為“幾何學(xué)基石”. 筆者結(jié)合以往的教學(xué)經(jīng)歷，相關(guān)隨堂課、研討課的經(jīng)驗，以及各大文獻(xiàn)網(wǎng)站上能查閱到的關(guān)于勾股定理教法設(shè)計的研究資料，發(fā)現(xiàn)教師教學(xué)“勾股定理”比較常見的引入方式是在方格紙中以直角三角形的三條邊為邊分別畫正方形，并讓學(xué)生觀察面積之間的關(guān)系，或是通過拼圖讓學(xué)生探索三條邊之間的數(shù)量關(guān)系. 但為什么選用方格紙，為什么研究的是面積，為什么想到拼圖，這些疑惑卻并沒有得到合理的解釋. 當(dāng)然，以上教學(xué)方案是可行的，因為一個定理的發(fā)現(xiàn)需要幾年、幾十年，甚至更久的時間，這背后的艱辛豈是一節(jié)課所能涵蓋的. 但筆者依然追求盡可能多地讓學(xué)生在課堂上經(jīng)歷這一定理的發(fā)現(xiàn)過程，所以筆者專門設(shè)計了一節(jié)“勾股定理”章前導(dǎo)學(xué)課，希望通過拓寬維度、實驗分析等手段突破一直以來“勾股定理”教學(xué)無法擺脫結(jié)論“束縛”的難點，下面便結(jié)合整體設(shè)計策略與課堂實際反饋闡述本節(jié)課的教學(xué)理念與思考[1].

關(guān)于勾股定理章前導(dǎo)學(xué)課的

整體設(shè)計

1. 根據(jù)知識的生長脈絡(luò)聚焦研究對象

勾股定理是關(guān)乎直角三角形及其三邊關(guān)系的定理，學(xué)生此前已經(jīng)研究過三角形中的一些基本元素，如關(guān)于邊的任意兩邊之和大于第三邊，關(guān)于角的三個內(nèi)角的和等于180°. 對于三角形，看似已沒有留下太多的研究空間，但此時卻是培養(yǎng)學(xué)生問題意識的最佳時機(jī). 學(xué)生平時習(xí)慣了解決已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的問題，而不主動提出問題，條件枯竭時他們更是望而卻步，那如何引導(dǎo)學(xué)生主動發(fā)現(xiàn)問題呢？參照數(shù)學(xué)研究的一般路徑，筆者認(rèn)為可以先選擇一個課題，在已有研究成果的基礎(chǔ)上窄化研究范圍，再從多個維度出發(fā)，將不同的觀點與該主題產(chǎn)生關(guān)聯(lián)，從而得到更多的子課題，讓學(xué)生在逐漸延伸的思維網(wǎng)絡(luò)中聚焦研究對象. 按照這樣的策略引導(dǎo)，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)教材介紹了任意三角形的邊、角定理后，開始以更特殊的等腰三角形與直角三角形為研究對象，并依次研究了等腰三角形的邊角關(guān)系（等腰三角形的兩腰相等、兩個底角相等）和直角三角形中角的關(guān)系（直角三角形的兩個銳角互余）. 若以此為主線追溯下去，會發(fā)現(xiàn)這里似乎存在一個知識缺口：直角三角形邊的關(guān)系還未被研究過. 而從知識的邏輯性與連貫性來看，研究直角三角形邊的關(guān)系具有一定的研究價值. 據(jù)此進(jìn)行教學(xué)設(shè)計，可以讓勾股定理的發(fā)現(xiàn)與探索更加流暢、自然，會使一切都是知識生長的必然結(jié)果，是“水到渠成”的，而非刻意為之[2].

2. 從特殊到一般地制定研究策略

事物的特殊性包含普遍性，普遍性也可以推廣到特殊性中去. 相對于“一般”而言，“特殊”往往更簡單、直觀、具體，切入的方式、發(fā)散的方向也更多元、更寬廣. 作為導(dǎo)學(xué)課，教師需要為學(xué)生呈現(xiàn)勾股定理的發(fā)現(xiàn)過程與研究路徑，但無論是發(fā)現(xiàn)還是研究，都必然要經(jīng)歷自下而上、以小見大的探索過程，所以教師只有引導(dǎo)學(xué)生從最簡單、最特殊的情況出發(fā)，才有可能以此為根基繼續(xù)生長，從而讓學(xué)生逐漸歸納出描述規(guī)律、刻畫關(guān)系的一般性結(jié)論. 若將直角三角形特殊化，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)等腰直角三角形是最特殊的直角三角形，但由于本節(jié)課的目標(biāo)是研究直角三角形中邊的數(shù)量關(guān)系，所以教師教學(xué)時還需要人為地設(shè)置一些與邊的長度有關(guān)的信息，而在這個方面，學(xué)生不難達(dá)成共識，即假定等腰直角三角形一腰的長為1是最簡單的. 在對最簡單、最特殊的直角三角形的三邊關(guān)系進(jìn)行研究之后，教師可逐漸更改條件，讓各邊的長之間的關(guān)系趨于復(fù)雜，使其循序漸進(jìn)地向一般情況靠近，最終得到能概括任意直角三角形三邊關(guān)系的結(jié)論.

幾個難點的突破

1. 高階視角：面積與拼圖的由來

蘇科版教材在整章設(shè)置了兩個重要的數(shù)學(xué)活動，一是在方格紙內(nèi)通過計算正方形的面積來引入勾股定理，二是通過直角三角形紙片拼正方形來驗證勾股定理. 可惜這兩個活動都是預(yù)設(shè)好的，對學(xué)生來說依舊只是接受任務(wù)后解決問題，至于為什么會想到用方格紙算面積以及用拼圖來探索直角三角形的三邊關(guān)系，依然是教學(xué)無法突破的難點. 一切方法的出現(xiàn)都不會是橫空出世的，一定是由一個源頭生根發(fā)芽，然后沿著脈絡(luò)順其自然生長出來的，所以教師要先理清楚前后知識的邏輯關(guān)系及其生長土壤，在此基礎(chǔ)上分析教學(xué)活動的依據(jù)與出發(fā)點. 本節(jié)課的主題是研究直角三角形的三邊關(guān)系，但目前只已知兩條直角邊的長均為1，第三條邊的長度未知，如此看來，要研究直角三角形的三邊關(guān)系，就要先求出第三條邊的長，而這正是研究勾股定理的起點.

教師要先讓學(xué)生理解根據(jù)“邊角邊”的全等判定方法這條斜邊的長度是可求的，接著讓學(xué)生充分挖掘圖形中的已有信息，嘗試與斜邊的長度產(chǎn)生聯(lián)系. 若按照正常的教學(xué)設(shè)計，此時教師會讓學(xué)生在方格紙上以直角三角形的三邊為邊分別作正方形，然后通過觀察面積之間的數(shù)量關(guān)系來計算斜邊的長，但從知識生長的角度出發(fā)，無法解釋這一方法是如何想到的. 有意義的學(xué)習(xí)應(yīng)該更關(guān)注素養(yǎng)的發(fā)展與能力的提升，此時教師可以引導(dǎo)學(xué)生跳出已有的思維框架，嘗試將思路拓寬一些，即雖然是求線段的長度，但如果只關(guān)注線段卻不一定能解決問題. 而三角形中有很多與線段維度平行或比線段維度高或比線段維度低的元素，例如角與線段是平行維度，點比線段低一個維度，面積比線段高一個維度，所以教師可引導(dǎo)學(xué)生嘗試從不同的維度去思考，再與該維度進(jìn)行關(guān)聯(lián)，或許能碰撞出不一樣的火花.

在實際教學(xué)中學(xué)生發(fā)現(xiàn)，腰長為1的等腰直角三角形的面積為0.5，但僅有此條件還不能求出斜邊的長，所以需要將等腰直角三角形改造為可以用斜邊表示面積的圖形才行，比如改造為以斜邊為一邊的正方形，或以斜邊為腰的等腰直角三角形. 此時學(xué)生會發(fā)現(xiàn)，光靠一個三角形肯定不夠，于是想到能否再添加一些與其全等的三角形，通過拼圖來構(gòu)造出理想的圖形. 這樣看來，用面積研究直角三角形的三邊關(guān)系看似唐突，實則是跳出已有的思維囹圄，用更高階的視角來看待問題. 教師在教學(xué)中處理這一環(huán)節(jié)時，要幫助學(xué)生將視野放寬，以小見大，切不能管中窺豹. 學(xué)生在實際拼圖時可選用的紙片張數(shù)是不定的，其中以2張、4張、8張為多數(shù)情況（如表1所示），從活動結(jié)果來看，部分學(xué)生雖然知道要拼圖，但在實踐過程中卻又未能與目標(biāo)結(jié)構(gòu)達(dá)成一致，這與現(xiàn)階段學(xué)生抽象能力不足有關(guān)，但只要教師適時引導(dǎo)，基本都能及時修正并求出直角三角形斜邊平方的值[3].

2. 實驗建構(gòu)：向上的研究路徑

在計算直角三角形斜邊的長度時，學(xué)生跨越了已有的維度，打破了思維定式，但對于直角三角形三邊關(guān)系的探索來說，依舊需要讓學(xué)生的思維進(jìn)一步發(fā)散. 為了保障研究的可操作性，教師可一開始就讓學(xué)生選擇最簡單、最特殊的情況為研究起點. 但由于過于特殊，所得結(jié)論也相對開放，所以若沒有大量、不同類別的實驗對象作為研究支撐，學(xué)生將很難得出普適性強(qiáng)、遷移性廣的有效概括. 此時教師可先保持等腰直角三角形的結(jié)構(gòu)特征，通過更改腰的長度來看結(jié)論有何變化，隨后將兩條直角邊由相等設(shè)置為不等，并更換兩條直角邊的長度來繼續(xù)歸納總結(jié). 表2為學(xué)生實驗操作的結(jié)果匯總. 在整個探究過程中，學(xué)生雖然未能求出斜邊的長度c，只得到了c2的值，但研究的最初目的就只是尋找直角三角形的三邊關(guān)系，所以教師要引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)c2與a，b之間的異同，注意到當(dāng)c的次數(shù)上升到二次時，a和b的次數(shù)也有可能隨之上升，從而想到保持字母次數(shù)的一致性. 由于初步選取的研究對象過于特殊，所以有很多學(xué)生得到了“斜邊的平方等于直角邊平方的2倍”這一結(jié)論. 當(dāng)學(xué)生把等腰直角三角形中腰的長換成2與3之后，結(jié)論依然不變（如表2中的組別1）. 此時得到的猜想雖然與目標(biāo)結(jié)論之間還存在差距，但反復(fù)實驗、不斷試錯、分析歸納的過程正是向真理不斷靠近的過程. 隨著探究的不斷深入，將直角三角形中兩直角邊的長換成1和2之后，有少部分學(xué)生會重犯第一輪拼圖時的錯誤（如表2中的組別2—A），但進(jìn)入計算階段他們就會發(fā)現(xiàn)問題所在，并能及時地優(yōu)化與調(diào)整（如表2中的組別2—B）. 接著將直角三角形中兩直角邊的長換成2和3之后，學(xué)生的拼圖方法基本正確（如表2中的組別3），且最終他們都能得到新的猜想c2=a2+b2.

3. 誤差優(yōu)化：方格紙的使用動機(jī)

一個數(shù)學(xué)結(jié)論的得出需要大量的例證才具備科學(xué)性，以上探索通過拼圖一共列舉了5種情況，最終發(fā)現(xiàn)直角三角形中的邊均符合a2+b2=c2這一關(guān)系，但所花費的時間較長. 而且因為一開始學(xué)生并不知道直角三角形中的三邊到底存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，所以用拼圖的方式去研究. 那在基本確定結(jié)論的情況下，有沒有更直接的驗證方法呢？課堂上立刻有學(xué)生提出可以通過測量直角三角形三條邊的長代入計算來驗證該結(jié)論是否正確. 表3是課堂上學(xué)生測量的五組數(shù)據(jù)（以3，4為直角三角形中兩條直角邊的長為例），分析數(shù)據(jù)后發(fā)現(xiàn)，由于測量線段本身存在一定的誤差，且該式子含有平方運算，所以運算后誤差又被放大了. 基于此，教師可以讓學(xué)生繼續(xù)思考：測量線段的工具是直尺，那測量面積應(yīng)該用什么工具呢？這里需要教師引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注待測量對象的維度發(fā)生了怎樣的變化——如果線段需要用線（直尺）來測量，那么面積自然需要用面來測量，而直尺的測量單位是刻度，所以面也需要有一個類似的測量單位. 經(jīng)過交流和討論，學(xué)生不難發(fā)現(xiàn)方格紙可以“擔(dān)此重任”，其中每個1×1的小方格就是一個基本測量單位. 可見，無論是研究對象還是測量工具，都一致地從一維躍遷至二維，且這樣的關(guān)聯(lián)過程不是一蹴而就的，是從問題解決以及策略選取的角度在不斷試誤中一步步優(yōu)化、改進(jìn)得來的. 這也很好地解釋了為什么所有教材都選用方格紙來探索勾股定理——二維測量應(yīng)該是方格紙在勾股定理探索活動中出現(xiàn)的唯一動機(jī). 學(xué)生在方格紙上分別再以4，4和3，4為直角三角形中兩直角邊的長作出直角三角形后，基本都能想到用割補(bǔ)法（如圖1所示）求出以斜邊為邊的正方形的面積，最終得到?jīng)]有誤差的兩個圖形的面積（即32與25）. 代入關(guān)系式后發(fā)現(xiàn)結(jié)論均成立.

幾點思考

1. 在多維度關(guān)聯(lián)中形成打破定式的發(fā)散思維

定式一般指由先前的活動造成的一種對活動的特殊心理狀態(tài)或傾向性，使人能夠應(yīng)用已掌握的方法迅速解決問題. 但當(dāng)情境發(fā)生變化時，定式則會妨礙人采用新的方法，導(dǎo)致其成為束縛思維的枷鎖. 要想打破定式，跳出已有的思維層級，我們需多維度地關(guān)聯(lián)事物，以尋求更多的可能性，建立更高階的問題觀念與研究視角. 在本課例的設(shè)計中，用于突破定式的維度關(guān)聯(lián)大致有三種：第一種是從知識結(jié)構(gòu)出發(fā)，自上而下的生長式關(guān)聯(lián)，比如研究的三角形是一個上位概念，可以先將其細(xì)化為研究等腰三角形與直角三角形這兩類特殊的三角形，再將其具體化為關(guān)于角與邊的研究，最終選定合適的研究對象，在“指定課題”到“發(fā)現(xiàn)問題”的轉(zhuǎn)變過程中打破接受式定式;第二種是在不同特例概括中的平行性關(guān)聯(lián)，比如在探索直角三角形中斜邊與其他兩直角邊的關(guān)系時，對兩直角邊的長均為1、兩直角邊的長為1和2、兩直角邊的長為2和3等各種不同的情況加以歸納、分析，以確保所得結(jié)論的普適性與合理性，并在這一過程中消除個例對結(jié)論誤導(dǎo)與遮蔽的特殊化定式;第三種是站在不同元素視角分析研究對象的結(jié)構(gòu)性關(guān)聯(lián)，這在本節(jié)課中有兩處殊途同歸的體現(xiàn)，一處是在求腰為1的等腰直角三角形的斜邊時，分別從邊、角、面積等不同維度去探究，最終選擇通過面積與幾何結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)，另一處是在得到a2+b2=c2的數(shù)量猜想后，聚焦字母指數(shù)從一次到二次的變化，從而由一維線性測量過渡到二維面積測量的代數(shù)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián). 由于初二的學(xué)生對線段關(guān)系的探索依然停留在一維層面，他們很難主動實現(xiàn)多維度躍遷，而一直困擾一線教師如何順其自然地融入勾股定理學(xué)習(xí)的面積視角正是跳出方法型定式并進(jìn)行多維度關(guān)聯(lián)的結(jié)果，本節(jié)課在這方面實現(xiàn)了巨大的突破.

2. 試誤是方案優(yōu)化與結(jié)論升華的必經(jīng)之路

勾股定理毋庸置疑是人類數(shù)學(xué)史上濃墨重彩的一筆，其體現(xiàn)的數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)家們智慧的結(jié)晶. 但當(dāng)這樣偉大的發(fā)現(xiàn)搬到課堂上以傳統(tǒng)方式進(jìn)行教學(xué)，還能否震撼學(xué)生的心靈，與智者對話形成思想共振，進(jìn)而發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng)呢？答案是不確定. 若教師不能給足學(xué)生自主探索的空間，在活動設(shè)計上不適當(dāng)留白，那學(xué)生就不會經(jīng)歷試誤后重建的過程，習(xí)得的也僅僅是專家結(jié)論而非專家思維，很難將知識內(nèi)化為自身素養(yǎng)的一部分. 如果說專家在得出結(jié)論的那一刻只是一瞬間，那么探索結(jié)論的過程卻是漫長而坎坷的，我們只有報以“潛心研究，正視挫折，靜待花開”的觀念，才會對數(shù)學(xué)知識產(chǎn)生敬畏之心，才能在實踐中逐漸完善自身研究問題的方法與策略. 本節(jié)課多處難以推進(jìn)的思維障礙正是通過試誤找到破局方向的，比如學(xué)生從面積角度切入，求直角三角形的斜邊時，拼出了一些無法進(jìn)行計算的平面圖形，經(jīng)歷失敗后，他們發(fā)現(xiàn)這些拼法確實存在代數(shù)表征與形狀表征之間的矛盾，從而積極尋求能融通這兩者的優(yōu)化拼法，并為后續(xù)發(fā)現(xiàn)平方結(jié)構(gòu)的數(shù)形一致性積累了活動經(jīng)驗. 再比如，驗證勾股定理時，學(xué)生通過測量直角三角形三邊的長計算出三個正方形的面積后，發(fā)現(xiàn)其與理想數(shù)據(jù)的誤差較大，于是覺得有必要使用直接、精準(zhǔn)測算面積的工具，接著在試誤基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)了“方格紙”對于探索勾股定理的重要意義，同時解決了為何各大教材都在方格紙上研究勾股定理卻不明方格紙從何而來的困惑.

3. 區(qū)別于傳統(tǒng)勾股定理教學(xué)的創(chuàng)新之處

經(jīng)過用拼圖探索勾股定理與用方格紙驗證勾股定理兩輪活動后，有學(xué)生發(fā)現(xiàn)有兩個圖形重復(fù)出現(xiàn)了兩次（見表2和圖1），雖然兩次出現(xiàn)的時機(jī)、用途不盡相同，但使用頻率之高迅速引發(fā)了學(xué)生的關(guān)注. 這一發(fā)現(xiàn)可謂本節(jié)導(dǎo)學(xué)課最精彩之處，也是在傳統(tǒng)勾股定理教學(xué)中難以出現(xiàn)的一次高潮. 因為這兩個圖形一個是美國總統(tǒng)加菲爾德證明勾股定理的自創(chuàng)圖形，另一個則是曾懸掛于人民大會堂的國際數(shù)學(xué)家大會會標(biāo)——趙爽弦圖，其象征著中國數(shù)學(xué)的驕傲，被人們稱為“最美數(shù)學(xué)圖形”. 學(xué)生在沒有事先了解弦圖結(jié)構(gòu)特征及其歷史意義的情況下，僅僅以探索直角三角形三邊關(guān)系為起點，通過拼圖、嘗試、猜想等過程，就在課堂上實現(xiàn)了“趙爽弦圖”“總統(tǒng)證法圖”的再創(chuàng)造與勾股定理的再發(fā)現(xiàn)，仿佛錯位了時空，讓歷史再次重演，把所有參與本節(jié)課探究的師生都帶回到了那個探索勾股定理的數(shù)學(xué)黃金年代. 特別地，本節(jié)課雖已有6個例子驗證了勾股定理的正確性，但這還不足以將其稱之為定理，因為我們還沒有對一般情況進(jìn)行證明，但出彩之處就在于證明方法其實早已暗藏于這兩個“神秘圖形”之中. 本節(jié)課探索勾股定理的拼圖過程其實正是證明勾股定理的趙爽弦圖證法與美國總統(tǒng)證法過程，看似巧合實則是多維關(guān)聯(lián)、勇于試誤的必然產(chǎn)物.

當(dāng)我們面對一個用固化思維已經(jīng)無法解決的數(shù)學(xué)問題時，可以嘗試著將思路打開，從各種不同的維度展開關(guān)聯(lián)，并及時地付諸實踐. 我們或許會失敗，結(jié)論或許會被推翻，但只有親身經(jīng)歷，才有可能找到之前思維層級里“看不到”的隱身元素，從而找到“新的道路”或“破局點”，實現(xiàn)思維上的飛躍. 這會讓我們看問題的程度更深入、角度更寬廣、高度更高遠(yuǎn)、格局更宏大，所以哪怕不斷試錯，我們也要找到能一舉撬動全局的關(guān)鍵點，從而從立體、多元、長遠(yuǎn)的視角來看待問題.

參考文獻(xiàn)：

[1]尤文奕. 關(guān)于勾股定理中“合理猜想”的思考[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)，2020（11）：25-28.

[2]顧繼玲. 探究還是接受——從“勾股定理”的教學(xué)設(shè)計說起[J]. 數(shù)學(xué)通報，2020，59（01）：14-18.

[3]沈仁廣. 論中學(xué)數(shù)學(xué)探究學(xué)習(xí)的價值取向：以勾股定理教學(xué)設(shè)計的改進(jìn)為例[J]. 數(shù)學(xué)通報，2012，51（09）：47-50.

基金項目：2019年江蘇省中小學(xué)教學(xué)研究第十三期立項課題“核心素養(yǎng)觀照下初中數(shù)學(xué)章前導(dǎo)學(xué)課程的開發(fā)研究”（2019JK13-L391）.

作者簡介：周煉（1992—），本科學(xué)歷，中學(xué)一級教師，曾獲江蘇省教科研先進(jìn)個人榮譽(yù)稱號，江蘇省青年教師初中數(shù)學(xué)教學(xué)基本功大賽一等獎等榮譽(yù).