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    定積分微元法的教學(xué)探析與思考

    2024-01-14 13:38:05李靈曉黃元元王鋒葉
    科技風(fēng) 2024年1期
    關(guān)鍵詞:微元法定積分高等數(shù)學(xué)

    李靈曉 黃元元 王鋒葉

    摘?要:本著教育數(shù)學(xué)的思路,結(jié)合分析和比較三種微元法觀點(diǎn)探析定積分微元法的主要思想,總結(jié)出定積分微元法的使用特點(diǎn)及判定方法,并運(yùn)用微元分析法解決曲邊扇形面積和變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量兩個(gè)問題,該方法類似可推廣到其他幾何、物理及經(jīng)濟(jì)問題.

    關(guān)鍵詞:高等數(shù)學(xué);定積分;微元法;高階無窮小;教育數(shù)學(xué)

    中圖分類號(hào):G642??文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼:C

    Exploration?and?Reflection?on?the

    Teaching?of?Differential?Element?Method?of?Definite?Integral

    Li?Lingxiao?Huang?YuanYuan?Wang?FengYe

    School?of?Mathematics?and?Statistics,Henan?University?of?Science?and?Technology?HenanLuoyang?471000

    Abstract:According?to?the?idea?of?educational?mathematics,this?paper?analyzes?the?main?ideas?of?definite?integral?differential?element?method,combined?with?the?analysis?and?comparison?of?three?viewpoints?of?differential?element?method.The?application?characteristics?and?judgment?methods?of?definite?integral?and?differential?element?method?are?summarized.The?differential?element?analysis?method?is?used?to?solve?the?two?problems?of?the?sector?area?of?the?curved?edge?and?the?impulse?of?the?variable?force?to?the?mass?point.This?method?is?similar?and?can?be?extended?to?other?geometric,physical?and?economic?problems.

    Keywords:advanced?mathematics;difinite?integral;differential&nbsp;element?method;infinitesimal?of?higher?order;educational?Mathematics

    1?概述

    大學(xué)數(shù)學(xué)教育的任務(wù),就是運(yùn)用教育數(shù)學(xué)的思路,將已有的數(shù)學(xué)成果進(jìn)行再創(chuàng)造,適當(dāng)?shù)馗倪M(jìn)數(shù)學(xué)表述形式,使之更加科學(xué)、更加適合于教學(xué)[1]。高等數(shù)學(xué)教材就有很多這樣的概念,既經(jīng)典又凝練,如何優(yōu)化其概念表述方式讓它更適合學(xué)生接受?這也是我們數(shù)學(xué)教育工作者值得思考的一個(gè)問題。文獻(xiàn)[2]對(duì)于數(shù)學(xué)知識(shí)的結(jié)構(gòu)和表現(xiàn)方法提出以下三條標(biāo)準(zhǔn):(1)邏輯結(jié)構(gòu)盡可能簡單;(2)概念引入要平易直觀;(3)要建立有力而通用的解題工具.這也是教育教學(xué)追求的主要目標(biāo).

    在解決幾何、物理、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域中的一類實(shí)際問題時(shí),往往用定積分來解決,而微元法(或“元素法”)正是解決該類問題過程中最常用及最方便的方法。什么是微元法?不同的教材有不同的表述方法,而不同的教師又有不同的理解,但大多表達(dá)較為隱晦而凝練,學(xué)生接受起來有一定的難度.本文首先結(jié)合分析三種微元法觀點(diǎn)來討論微元法的主要思想(可參閱文獻(xiàn)[39],尤其是文獻(xiàn)[5]),其次給出微元法的使用特點(diǎn)、判定方法,最后給出兩個(gè)相關(guān)幾何和物理應(yīng)用.

    2?有關(guān)微元法的不同表述

    2.1?概念定義法

    微元法實(shí)質(zhì)上就是定積分定義中的三步法——分割、近似求和、取極限的簡化,其理論基礎(chǔ)是定積分的定義及被積函數(shù)的可積性.這種說法雖然理論上無懈可擊,但在敘述及方法的運(yùn)用上過于煩瑣、零碎,而且對(duì)一些物理量(如質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力)的大小用定義給出的方法有點(diǎn)兒勉強(qiáng),因?yàn)檫@些量都是客觀存在的,它們量值的大小是不以人的主觀定義而改變的.因而這種說法的合理性還須保證相應(yīng)的定義的合理性.

    2.2?物理直觀法

    這種方法采用牛頓、萊布尼茨當(dāng)時(shí)創(chuàng)立微積分時(shí)對(duì)定積分是所謂對(duì)無窮小量(微元)的加法的思想.具體地講,就是要計(jì)算一個(gè)實(shí)際量I,先將這個(gè)量分成部分量的和I=∑ΔI,再通過尋找函數(shù)f(x),求得部分量的一個(gè)線性(關(guān)于Δx的)近似表達(dá)式ΔI≈f(x)Δx,這里一般要求f(x)連續(xù),f(x)Δx就是實(shí)際量I的一個(gè)(積分)微元(元素).從而I=∑ΔI≈∑f(x)Δx,這里∑表示對(duì)離散量求和,將其換為對(duì)連續(xù)量求和即定積分就得到了實(shí)際量I的計(jì)算公式I=∫baf(x)dx.這種方法直觀、簡潔、有效,被現(xiàn)在大多數(shù)的物理學(xué)家或物理教師所采用,但其并不具有數(shù)學(xué)的嚴(yán)格性,因?yàn)樗]有說清楚為什么把∑換為∫,就把一個(gè)原本是近似的等式變成了精確等式,這種缺陷也是微積分初創(chuàng)時(shí)期備受指責(zé)的原因之一.雖然在物理上可以通過數(shù)據(jù)去驗(yàn)證等式,從而彌補(bǔ)此缺陷,但這不能兼容于數(shù)學(xué)家(數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家往往在嚴(yán)謹(jǐn)性方面理解不同,數(shù)學(xué)家認(rèn)為,一百個(gè)實(shí)際驗(yàn)證也不會(huì)比一個(gè)理論證明更可信;而物理學(xué)家則覺得一百個(gè)理論證明也比不上一個(gè)實(shí)際驗(yàn)證更可靠).

    2.3?微分推導(dǎo)法

    這種方法吸收以上兩種方法優(yōu)點(diǎn),既有物理的直觀,又有數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).具體說來就是:要計(jì)算一個(gè)實(shí)際量I,這個(gè)量必須具有兩個(gè)特性:(1)I是一個(gè)與某變量x的變化區(qū)間[a,b]有關(guān)的量,即量I是一個(gè)分布在區(qū)間[a,b]上的整體量;(2)I對(duì)于[a,b]具有可加性,即I=∑ΔI.在(1)、(2)基礎(chǔ)上,為了求實(shí)際量I,需建立一個(gè)關(guān)于I的函數(shù)I(x)(常稱之為分布函數(shù)),使得I(a)=0,I(b)=I,且I=∑ΔI,其中應(yīng)該注意:ΔI既是I在[a,b]的子區(qū)間[x,x+dx]上所對(duì)應(yīng)的部分量,又是函數(shù)I(x)在子區(qū)間[x,x+dx]上的改變量,即ΔI=I(x+dx)-I(x).如果能找到f(x),使得ΔI的近似表示式是ΔI≈f(x)Δx,并且ΔI=f(x)Δx+o(Δx),這里o(Δx)表示Δx的高階無窮?。é→0),從而函數(shù)I(x)可微,且I′(x)=f(x)或dI=f(x)dx(微元或微分表達(dá)式),而f(x)(常稱之為I(x)的密度函數(shù)或邊際函數(shù))一般要求為連續(xù)函數(shù),從而就可推得I=∫baf(x)dx.

    3?微元法三種表述的關(guān)系及框圖說明

    在上述微元法的三種表述中,我們著重分析了它們的區(qū)別,當(dāng)然我們也可從聯(lián)系和共性的方面來對(duì)之進(jìn)行分析.下面用三行框圖來分別表示上述的概念定義法、物理直觀法及微分推導(dǎo)法,從中也反映了三者間的一些聯(lián)系.

    因?yàn)楦拍疃x法分割區(qū)間、取i都要求有任意性,求和、求極限又是固定模式,故可簡述其過程,從而就化為物理直觀法:

    在微段[x,x+Δx]上,I累積的微量ΔI,代之以微分dI=f(x)dx,(dx=Δx),就可簡化成微分推導(dǎo)法,當(dāng)然,關(guān)系式ΔI=f(x)Δx+o(Δx)一般不作驗(yàn)證.

    上面三種方法尤其第三種“微元推導(dǎo)法”,其核心可壓縮為以下框圖:

    用以上所表示的形式,來解決求實(shí)際量I的方法,稱為微元法.在對(duì)實(shí)際量I建立定積分的微元法中,dI稱之為I的積分微元或積分元素.若量I表示面積,dI就稱為面積微元;若量I表示體積,dI就稱為體積微元;若量I表示質(zhì)量,dI就稱為質(zhì)量微元;等等.應(yīng)該注意,作為實(shí)際量的I,它是一個(gè)常數(shù)值,如曲邊梯形的面積、旋轉(zhuǎn)體的體積、細(xì)棒的質(zhì)量等,但微元dI中的I實(shí)質(zhì)上是實(shí)際量I的分布函數(shù),換句話說,這里的符號(hào)I也是身兼兩職.

    微元法在解決實(shí)際問題時(shí)具有簡單、直觀、方便的特點(diǎn),且應(yīng)用廣泛,應(yīng)熟練掌握之.

    4?微元法的使用特點(diǎn)

    微元法的使用特點(diǎn)即能用定積分計(jì)算的量I所須滿足的條件,有下列三條:

    ①I與某變量x的變化區(qū)間[a,b](區(qū)間有時(shí)也可以是無窮的)有關(guān);

    ②I對(duì)于區(qū)間[a,b]具有可加性;

    ③I的部分量ΔI可近似地表示成f(x)·Δx,或者說求得微分表達(dá)式dI=f(x)dx.

    從上面三個(gè)條件可以看出,微元法的關(guān)鍵是求微分表達(dá)式或者說微元表達(dá)式dI=f(x)dx(這也是我們將這種方法稱為微元法的主要原因),而微元表達(dá)式成立的前提是驗(yàn)證一個(gè)高階無窮小:ΔI=f(x)Δx+o(Δx),即證明

    limΔx→0ΔI-f(x)ΔxΔx=0(*)

    而事實(shí)上,要驗(yàn)證(*)式成立在實(shí)際問題中不是一件容易事情,有時(shí)驗(yàn)證(*),其難度甚而超過了找f(x)以及求定積分本身.也正因?yàn)榇耍瑸榱嗽谖⒃ㄖ胁恢劣凇靶e奪主”,這一條件的驗(yàn)證往往被略去或者被淡化,這也許是微元法不叫“微分法”的一個(gè)緣由吧,當(dāng)然這同時(shí)也是微元法受到質(zhì)疑的原因.

    5?微元法中高階無窮小成立的判定方法

    如何做到既要保證(*)式成立(嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男枰?,又不需要直接?yàn)證它(方便的需要)?文獻(xiàn)[10]通過一個(gè)求曲邊梯形面積的問題,總結(jié)出一個(gè)命題,我們將其改造并推廣為更易于接受的一種數(shù)學(xué)表述形式,得到以下兩個(gè)判定定理.

    定理1(判定法則1)設(shè)I是分布在區(qū)間[a,b]上的一個(gè)量,I(x)為區(qū)間[a,b]上的分布函數(shù),且I(a)=0,I(b)=I,ΔI為I在[x,x+Δx][a,b]上的部分量,也是I(x)在小區(qū)間上的函數(shù)增量,即ΔI=I(x+Δx)-I(x),若存在一個(gè)連續(xù)函數(shù)f(x),使得Δx·mxf(x)≤ΔI≤Δx·Mxf(x),其中Δx>0,mxf(x),Mxf(x)分別是f(x)在[x,x+Δx]上的最小值和最大值,則limΔx→0ΔI-f(x)ΔxΔx=0,即dI=f(x)dx,且I=∫baf(x)dx.

    證明:∵f(x)在[x,x+Δx][a,b]上連續(xù),

    ∴mxf(x),Mxf(x)在[x,x+Δx]上是存在的。

    由已知條件Δxmxf(x)≤ΔI≤ΔxMxf(x)

    從而mxf(x)-f(x)≤ΔI-f(x)ΔxΔx≤Mxf(x)-f(x)

    再由f(x)在[x,x+Δx][a,b]上連續(xù),

    ∴當(dāng)Δx→0時(shí),mxf(x)-f(x)→0,Mxf(x)-f(x)→0

    ∵由夾逼定理知limΔx→0ΔI-f(x)ΔxΔx=0,即ΔI-f(x)Δx=o(Δx),從而dI=f(x)dx,且I=∫baf(x)dx.證畢.

    上面我們討論的是所求量為標(biāo)量的情況,進(jìn)一步,我們可將其推廣到矢量的情況.

    設(shè)向量A→=A1,A2,A3為所求的實(shí)際量,定義A→(x)為相應(yīng)一元向量分布函數(shù),ΔA→為A→(x)關(guān)于自變量x的子區(qū)間[x,x+Δx]上的改變量,ΔA→=ΔA1,ΔA2,ΔA3,其中ΔA1,ΔA2,ΔA3為ΔA→分別在x軸、y軸及z軸上的標(biāo)量.

    定理2(判定法則2)對(duì)ΔAi,若fi(x)為連續(xù)函數(shù)且滿足:

    Δx·mxfi

    Δx·Mxfi,(i=1,2,3)

    則A→=∫Rf→(x)dx,其中f→=f1(x),f2(x),f3(x),mxfi,Mxfi分別為fi在小區(qū)間上的最小、最大值.

    證明:∵fi(x)為連續(xù)函數(shù)

    ∴fi(x)在相應(yīng)坐標(biāo)軸上的子區(qū)間上都存在最大值Mif和最小值mif

    又∵Δxmxfi

    ΔxMxfi,

    ∴由判定法則1可同理得到Ai=∫Rfi(x)dx,(i=1,2,3)

    ∴A→=A1,A2,A3=∫Rf1(x)dx,∫Rf2(x)dx,∫Rf3(x)dx=∫Rf→(x)dx

    到此,我們可以看出,只要所求量滿足判定法則1或2的條件,由定理就可判定可以用微元法將所求實(shí)際量化為定積分來計(jì)算.

    6?用微元法計(jì)算實(shí)際量I的步驟

    設(shè)所求實(shí)際量I滿足微元法的使用特點(diǎn),則可按下列步驟將I化作定積分:

    (1)根據(jù)所求問題,選取一個(gè)變量x為積分變量,并確定它的變化區(qū)間[a,b],建立實(shí)際量的分布函數(shù)I(x),使得I(a)=0,I(b)=I;

    (2)設(shè)想將區(qū)間[a,b]分成若干小區(qū)間,取其中的任一小區(qū)間[x,x+Δx],找出[a,b]上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)f(x),使得在[x,x+Δx]上,部分量ΔI有近似關(guān)系ΔI≈f(x)dx;

    (3)在子區(qū)間[x,x+Δx]上,驗(yàn)證條件Δx·mxf(x)≤ΔI≤Δx·Mxf(x),從而可得微元表達(dá)式dI=f(x)dx;

    (4)以[a,b]為積分區(qū)間,計(jì)算定積分I=∫baf(x)dx.

    7?微元分析法在幾何中的應(yīng)用——曲邊扇形面積

    例1:設(shè)由曲線r=f(θ)及射線θ=α,θ=β圍成一圖形(簡稱曲邊扇形,右圖1),這里f(θ)在[α,β]上連續(xù),且f(θ)≥0,求曲邊扇形的面積I.

    圖1?曲邊扇形

    解設(shè)I(θ)是由射線θ=α和角度為0的射線及f(τ)(τ∈[α,θ])圍成的圖形的面積.

    任取θ∈[α,β],并取Δθ∈[0,β-α],使θ+Δθ∈[α,β],則在[θ,θ+Δθ]上的曲邊扇形是以角度為θ,θ+Δθ的射線及曲線r=f(τ)(τ∈[α,θ])所圍成的平面圖形,其面積為ΔI,又因f(θ)在[α,β]上連續(xù),所以分別存在最大值及最小值maxτ∈[θ,θ+Δθ]f(τ),minτ∈[θ,θ+Δθ]f(τ).

    ∵ΔI≥Δθ2ππminτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)=12minτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)Δθ

    ΔI≤Δθ2ππmaxτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)=12maxτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)Δθ

    即?12minτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)Δθ≤ΔI≤12maxτ∈[θ,θ+Δθ]?f2(τ)Δθ

    ∴由判定法則1得:I=∫βα12?f2(θ)dθ.

    8?微元分析法在物理中的應(yīng)用——變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量[11]

    例2:一個(gè)質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在坐標(biāo)oxy平面上運(yùn)動(dòng),其在某一時(shí)刻t的位置矢量為r→=(acosωt,bsinωt).求質(zhì)點(diǎn)A到質(zhì)點(diǎn)B的沖量I及外力做功W.

    解在任一時(shí)刻t時(shí),質(zhì)點(diǎn)速度:v→=dr→dt=(-ωasinωt,ωbcosωt),而其加速度為a→=dv→dt=-(ω2acosωt,ω2bsinωt).

    由牛頓第二定律,該質(zhì)點(diǎn)在任一刻t受到的力為:

    F→=ma→=(F1,F(xiàn)2)=-(mω2acosωt,mω2bsinωt).

    在運(yùn)動(dòng)過程中小球在[t,t+Δt]上的沖量改變量為:ΔI=(ΔI1,ΔI2),則不難得到:

    -mω2acosωtdt

    -mω2bsinωtdt

    故由判定法則2得:

    I→=∫π2ω0F→dt=∫π2ω0(-mω2acosωt,-mω2bsinωt)dt=-mω(a,b).

    下再求外力做功,利用W=F→·S→=F→·v→t,并設(shè)在[t,t+dt]內(nèi)功函數(shù)改變量為ΔW,則:

    m(-ω2acosω(t+Δt),-ω2bsinω(t+Δt))·(-ωasinω(t+Δt),ωbcosω(t+Δt)dt

    m(-ω2acosωt,-ω2bsinωt)·(-ωasinωt,ωbcosωt)dt

    從而再由判定法則1得:

    W=∫π2ω0F→·v→dt

    =∫π2ω0(-mω2acosωt,-mω2bsinωt)·

    ?(-ωasinωt,ωbcosωt)dt

    =∫π2ω0(mω3a2sinωt-mω3a2sinωtcosωtdt

    =mω22(a2-b2)

    9?結(jié)論

    定積分微元法是處理幾何、物理及經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題的一個(gè)理論基礎(chǔ),以教育數(shù)學(xué)思路為導(dǎo)向,就曲邊扇形的面積和變力對(duì)質(zhì)點(diǎn)的沖量運(yùn)用判定法則1和2分別進(jìn)行了分析和計(jì)算,類似可考慮弧長、旋轉(zhuǎn)體體積、細(xì)棒質(zhì)量、變力做功、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量及經(jīng)濟(jì)問題。定積分微元分析法可以推廣為多元函數(shù)情形,對(duì)于重積分、線面積分的幾何、物理、經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題的分析與解決也是一個(gè)極好的借鑒。

    致謝:非常感謝鄭州大學(xué)李夢(mèng)如教授提供的相關(guān)參考文獻(xiàn)[1][2]和[5]對(duì)本文的啟發(fā)以及審稿專家提出的寶貴意見。

    參考文獻(xiàn):

    [1]韓云瑞,劉慶華.從教育數(shù)學(xué)看高等數(shù)學(xué)教材[J].高等數(shù)學(xué)研究,2005,8(2):3336.

    [2]張景中.從數(shù)學(xué)難學(xué)談起[J].世界科技研究與發(fā)展,1996(2):2029.

    [3]馬知恩,王綿森.工科數(shù)學(xué)分析[M].高等教育出版社,2001.

    [4]閆站立.微積分(第二版)[M].高等教育出版社,2007.

    [5]韓云瑞.微積分概念解析[M].高等教育出版社,2007.

    [6]同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)[M].高等教育出版社,2007.

    [7]吳贛昌.高等數(shù)學(xué)(理工類)[M].中國人民大學(xué)出版社,2007.

    [8]大學(xué)數(shù)學(xué)編寫委員會(huì).高等數(shù)學(xué)[M].科學(xué)出版社,2017.

    [9]張?zhí)斓拢醅|.高等數(shù)學(xué)[M].人民郵電出版社,2020.

    [10]賀秋林.微元法原理探究[J].工科數(shù)學(xué),2001,17(3):9596.

    [11]黃生訓(xùn),楊紅.微元法在普通物理力學(xué)中的應(yīng)用[J].中國科技信息,2006(08):301302.

    基金項(xiàng)目:國家自然科學(xué)基金(12101193);河南省高等教育教學(xué)改革研究與實(shí)踐立項(xiàng)項(xiàng)目(2021SJGLX381);2023年高等學(xué)校大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究與發(fā)展中心項(xiàng)目“基于信息技術(shù)和學(xué)科交叉的高等數(shù)學(xué)課程教學(xué)創(chuàng)新與實(shí)踐”(項(xiàng)目編號(hào):CMC20230205);智慧教學(xué)背景下高等數(shù)學(xué)課程創(chuàng)新型數(shù)學(xué)體系的構(gòu)建與優(yōu)化設(shè)計(jì)研究(2023)

    作者簡介:李靈曉(1976—?),女,碩士,教授,從事高等數(shù)學(xué)教學(xué)和非線性數(shù)學(xué)物理的研究。

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