數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的巧用

謝成強

【摘? 要】? 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是中考的必考內(nèi)容.二次函數(shù)是數(shù)形結(jié)合的好素材，考查學生畫圖、識圖、用圖的能力，考查學生數(shù)據(jù)處理能力和數(shù)學運算能力.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學；數(shù)形結(jié)合；二次函數(shù)

二次函數(shù)是中學數(shù)學的重要內(nèi)容，其很多性質(zhì)都在圖象上得以呈現(xiàn).正如華羅庚說“數(shù)無形時少直覺，形少數(shù)時難入微”，二次函數(shù)的圖象會告訴我們二次函數(shù)系數(shù)之間的關(guān)系以及更多的有用信息.本文分類剖析數(shù)形結(jié)合思想在二次函數(shù)問題中的應(yīng)用.

1? 利用二次函數(shù)圖象求參數(shù)范圍

例1? （2022·四川南充）已知點在拋物線上，當且時，都有，則m的取值范圍為（? ?）

（A）. （B）. （C）. （D）.

分析? 根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為，然后分四種情況進行討論分析，最后進行綜合即可得出結(jié)果．

解析? 根據(jù)題意可得，拋物線的對稱軸為，

①當0<m<時，恒成立；

②當時，恒不成立；

③當時，使恒成立，

∴m，

∴m，，

④當時，恒不成立；

綜上可得：，故選（A）．

點評? 本題考查拋物線與點的關(guān)系，考查二次函數(shù)的基本性質(zhì)，學會從題目中提取有用信息，熟練掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．

2? 利用二次函數(shù)圖象解決代數(shù)式的最值問題

例2? （2022·涼山州）已知實數(shù)a、b滿足a﹣b2＝4，則代數(shù)式a2﹣3b2+a﹣14的最小值是? ? ?．

分析? 根據(jù)a﹣b2＝4得出b2＝a﹣4，代入代數(shù)式a2﹣3b2+a﹣14中，然后結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得到答案．

解析? ∵a﹣b2＝4，

∴b2＝a﹣4，

∴原式＝a2﹣3（a﹣4）+a﹣14

＝a2﹣3a+12+a﹣14

＝a2﹣2a﹣2

＝a2﹣2a+1﹣1﹣2

＝（a﹣1）2﹣3.

∵1＞0，

又∵b2＝a﹣4≥0，

∴a≥4，

∵1＞0，

∴當a≥4時，原式的值隨著a的增大而增大，

∴當a＝4時，原式取最小值為6，

故答案為：6．

點評? 本題巧妙之處就在于：從求代數(shù)式的最值問題聯(lián)想到二次函數(shù)的最值．解題的關(guān)鍵是靈活掌握配方法，熟練運用代數(shù)式的性質(zhì)，完成本題．

3? 利用函數(shù)圖象確定其他函數(shù)圖象

例3? （2020自貢）函數(shù)與y＝ax2+bx+c的圖象如圖1所示，則函數(shù)y＝kx﹣b的大致圖象為（? ?）

圖1

（A）（B）（C）（D）

分析? 先利用已知圖中的反比例圖象判斷k的符號，利用二次函數(shù)圖象判斷b的符號，即可判斷正誤.

解析 根據(jù)反比例函數(shù)的圖象位于一、三象限知k＞0，

根據(jù)二次函數(shù)的圖象，知a＜0，b＜0，

∴函數(shù)y＝kx﹣b的大致圖象經(jīng)過一、二、三象限，

因此本題選（D）．

點評? 本題考查了反比例、一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)等知識，考查二次函數(shù)的頂點坐標、開口方向和對稱軸等．

4? 利用兩個圖象的交點個數(shù)求參數(shù)范圍

例4? 已知函數(shù)y＝-｜﹣x2+x+2｜與一次函數(shù)y＝x+m，當直線y＝x+m與這個函數(shù)的圖象有四個交點時，m的取值范圍是_______．

分析? 函數(shù)y＝-｜﹣x2+x+2｜的圖象是將二次函數(shù)y＝﹣x2+x+2在x軸上方的圖象沿x軸翻折到x軸下方，圖象的其余部分不變，得到一個新的函數(shù)圖象，如圖2所示，過點B作直線y＝x+m1，將直線向下平移到恰在點C處相切，則一次函數(shù)y＝x+m在兩條直線之間時，兩個圖象有4個交點，即可求解．

解析? 如圖所示，過點B作直線y＝x+m1，將直線向下平移到恰在點C處相切，

則一次函數(shù)y＝x+m在兩條直線之間時，兩個圖象有4個交點，

令y＝﹣x2+x+2＝0，解得：x＝﹣1或2，即點B坐標（2，0），

翻折拋物線的表達式為：y＝（x﹣2）（x+1）＝x2﹣x﹣2，

將一次函數(shù)與二次函數(shù)表達式聯(lián)立并整理得：x2﹣2x﹣2﹣m＝0，

由Δ＝b2﹣4ac＝4+4（2+m）＝0，解得：m＝﹣3，

當一次函數(shù)過點B時，將點B坐標代入y＝x+m，得0＝2+m，則m＝﹣2.

點評? 本題是二次函數(shù)圖象與其他函數(shù)圖象相結(jié)合問題，解決此問題時，先作出函數(shù)圖象，結(jié)合兩個函數(shù)的圖象，求解參數(shù)范圍.

5? 由二次函數(shù)圖象判斷二次函數(shù)系數(shù)關(guān)系

例5? （2022·湖北隨州）如圖3，已知開口向下的拋物線與x軸交于點對稱軸為直線．則下列結(jié)論：①；②；③函數(shù)的最大值為；④若關(guān)于x的方數(shù)無實數(shù)根，則．正確的有（? ?）

圖3

（A）1個.? （B）2個.? （C）3個.? （D）4個.

分析? 根據(jù)二次函數(shù)的圖象，結(jié)合二次函數(shù)的對稱軸和頂點坐標的性質(zhì)得出a，b，c的關(guān)系.

解析? 由圖象可知，圖象開口向下，a＜0，對稱軸為x=1，故，故b＞0，且，則，故②正確.

∵圖象與y軸的交點為正半軸，∴c＞0，則abc＜0，故①錯誤.

由圖象可知當x=1時，函數(shù)取最大值，將x=1，代入，中得：，

由圖象可知函數(shù)與x軸交點為（﹣1，0），對稱軸為x=1，故函數(shù)圖象與x軸的另一交點為（3，0），

設(shè)函數(shù)解析式為：，

將交點坐標代入得：，故化簡得：，

將x=1，代入可得：，故函數(shù)的最大值為-4a，故③正確.

變形為：要使方程無實數(shù)根，

則，將c=-3a，，代入得：，

因為a＜0，則，則，

綜上所述，因此④正確.

所以②③④正確，故選（C）．

點評? 本題主要考查二次函數(shù)的交點式和一般式，同時考查二次函數(shù)的最值，對稱軸及交點坐標，數(shù)形結(jié)合思想化解本題的難點．根據(jù)二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，對四個結(jié)論逐一判斷即可.