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    化歸思想在初中數(shù)學解題教學中的實踐應(yīng)用

    2024-01-12 09:09:47袁婕妤
    數(shù)理天地(初中版) 2024年1期
    關(guān)鍵詞:化歸思想解題教學初中數(shù)學

    袁婕妤

    【摘要】本文針對化歸思想如何在初中數(shù)學解題教學中應(yīng)用作探討,同時分享幾道解題實踐案例.

    【關(guān)鍵詞】化歸思想;初中數(shù)學;解題教學

    化歸思想其實是轉(zhuǎn)化與歸結(jié)合起來的簡稱,實質(zhì)上把一個問題化復雜為簡單、化繁為簡、化難為易、的過程即為化歸,是一種相當重要的解題思想.初中數(shù)學教師在平常的解題教學中,當遇到一些比較特殊的數(shù)學題目時,就應(yīng)指引學生轉(zhuǎn)變解題方向與思路,不再使用常規(guī)方法,使其嘗試基于化歸思想切入,重新分析題意與題干中給出的條件,通過化歸思想的應(yīng)用找到新的切入點,讓他們順利解題[1].

    1? 應(yīng)用化歸思想將未知問題轉(zhuǎn)變成已知問題

    例1? 如圖1所示,在一個等腰梯形ABCD里面,AD∥BC,AB=CD,兩條對角線AC和BD相交于O點,而且AC⊥BD,已知AD=3,BC=5,那么AC的長度為多少?

    分析? 解決這一試題時,可以結(jié)合題干中給出梯形對角線是垂直關(guān)系這一條件應(yīng)用化歸思想,將對角線進行平移,把未知的等腰梯形轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎闹苯侨切魏推叫兴倪呅?,從而順暢的處理問題[2].

    詳解? 過點D畫一條輔助線DE∥AC,且與BC的延長線于E點相交,

    據(jù)此可得AD=CE,AC=DE,

    所以BE=BC+CE=5+3=8,

    因為AC⊥BD,所以BD⊥DE,

    又因為AB=CD,所以AC=BD,

    所以BD=DE.

    故在Rt△BDE中,根據(jù)勾股定理可得BD2+DE2=BE2,

    代入相關(guān)數(shù)據(jù)后得到BD=DE=42,

    所以AC=42,所以說AC的長度為42.

    2? 應(yīng)用化歸思想將陌生問題轉(zhuǎn)變成熟悉問題

    例2? ?已知方程2(x-1)2-5(x-1)+2=0,請求該方程的解.

    分析? 這是一個特殊的一元二次方程,可結(jié)合原方程的特點把(x-1)視作未知數(shù),由此將陌生問題轉(zhuǎn)變?yōu)槭煜栴},即可輕松解答.

    詳解? 設(shè)y=x-1,

    那么原方程可轉(zhuǎn)變?yōu)?y2-5y+2=0,

    解之得y1=2,y2=12,

    也就是x-1=2或者x-1=12,

    所以x1=3,x2=32,

    故該方程的解x1=3,x2=32.

    3? 應(yīng)用化歸思想將復雜問題轉(zhuǎn)變成簡單問題

    例3? 已知x2+x-1=0,求x3+2x2+2009的值.

    分析? 這一題目從表面上來看較為復雜,題干中提供的信息較少,無法把x的值直接求出來,不過可應(yīng)用華化歸思想進行化零散為整體或者對x進行降次,由此達到將復雜問題轉(zhuǎn)變?yōu)楹唵螁栴}的效果.

    詳解? 因為x2+x-1=0,所以x2=1-x,

    所以x3+2x2+2009=x(1-x)+2(1-x)+2009=-x2-x+2011=-(x2+x-1)+2010=2010,

    所以說x3+2x2+2009的值是2010.

    4? 應(yīng)用化歸思想將一般問題轉(zhuǎn)變成特殊問題

    例4? 如圖2—1所示,假如∠AOB為一個定角,點P為一個定點,而且位于∠AOB的平分線之上,把OP相連接,以O(shè)P當作弦畫出一個圓,同OA相交于C點,同OB相交于D點,請證明:OD+OC的和為一個定值.

    分析? 解答本道題目時,要用到化歸思想中的特殊方法,即為先將一般問題轉(zhuǎn)變?yōu)樘厥鈫栴},再從中尋找解題思路,然后分析特殊情況進行解題,從而順暢證明結(jié)論.

    詳解? 如圖2—2所示,假設(shè)OP位于圓內(nèi)的特殊位置,不是普通的弦,而是特殊的直徑,即為經(jīng)過圓心,設(shè)OP=L,∠AOB=2α,

    因為OP經(jīng)過圓心,

    所以∠ODP=∠OCP=90°,OD+OC=2OD=2Lcosα,所以O(shè)D+OC的和為一個定值;

    當OP不經(jīng)過圓心,是一條普通的弦時,

    如圖2—1所示,做出輔助線PF⊥OB,垂足為F點,畫出PE⊥OA,垂足為E點,

    又因為OP是∠AOB的平分線是,

    所以PF=PE,OF=OE=Lcosα,

    所以∠PDF=∠PCE,Rt△PDF和Rt△PCE是一對全等三角形,所以DF=CE,

    所以O(shè)D+OC=(OF+FD)+(OE-CE)=OF+OE=2Lcosα,

    所以說OD+OC的和為一個定值.

    5? 應(yīng)用化歸思想將函數(shù)問題轉(zhuǎn)變成方程問題

    例5? ?如圖3所示,已知反比例函數(shù)y=-8x與一次函數(shù)y=-x+2的圖像相交于A、B兩點,求:(1)A、B兩點的坐標分別是什么?(2)△AOB的面積是多大?

    分析? 本道題只需將兩個函數(shù)的解析式聯(lián)立起來組成一個二元一次方程組,實現(xiàn)由函數(shù)問題向方程問題的轉(zhuǎn)變,通過解方程組求出A、B兩點的坐標,并根據(jù)坐標獲得相應(yīng)的三角形信息,從而求出△AOB的面積[3].

    詳解? (1)把反比例函數(shù)y=-8x與一次函數(shù)y=-x+2相聯(lián)立轉(zhuǎn)變?yōu)槌梢粋€方程組,

    求得x1=4,y1=-2;x2=-2,y2=4,

    根據(jù)對圖像的觀察可知點A的坐標為(-2,4),點B的坐標為(4,-2);

    (2)因為直線y=-x+2與y軸的交點是D點,坐標為(0,2),

    所以S△AOD=12×2×2=2,

    S△BOD=12×2×4=4,

    所以S△AOB=S△AOD+S△BOD=2+4=6;

    所以說A、B兩點的坐標分別是(-2,4)與(4,-2),△AOB的面積是6.

    6? 應(yīng)用化歸思想實現(xiàn)代數(shù)和幾何問題的互化

    例6? 已知△ABC的三條邊分別為a,b,c,其中a2+b2+c2=ab+bc+ac,那么△ABC的形狀是什么?

    分析? 解決本道問題時,應(yīng)當應(yīng)用化歸思想把原問題轉(zhuǎn)變?yōu)橐粋€代數(shù)類問題,在這里是是“形”向“數(shù)”的轉(zhuǎn)化,然后借助湊完全平方式的方式進行解題,顯得極為高效,可快速、準確的判斷出△ABC形狀.

    詳解? 因為a2+b2+c2=ab+bc+ac,

    所以2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ac,

    所以a2-2ab+b2+a2-2ac+c2+b2-2bc+c2=0,

    由此得到(a-b)2+(a-c)2+(b-c)2=0,

    因為括號內(nèi)的式子只能大于等于0,要想取“=”,只能都為0,

    所以a-b=0,a-c=0,b-c=0,

    據(jù)此可以判斷出a=b=c,從而說明這個三角形三條邊的長度都一樣,

    所以說△ABC的形狀是是一個等邊三角形.

    7? 總結(jié)

    教師應(yīng)指導學生在解題實踐中能做到將問題從未知轉(zhuǎn)變成已知、陌生轉(zhuǎn)變成熟悉、復雜轉(zhuǎn)變成簡單、一般轉(zhuǎn)變成特殊、函數(shù)轉(zhuǎn)變成方程,以及數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)變,讓他們高效解題.

    參考文獻:

    [1]崔偉.化歸思想方法在初中數(shù)學教學解題中的應(yīng)用探索\.數(shù)學之友,2023,37(02):60-61.

    [2]劉玉珍.化歸與轉(zhuǎn)化思想在初中數(shù)學解題中的應(yīng)用\.數(shù)理天地(初中版),2022(06):20-22.

    [3]馬文慧.初中數(shù)學解題中化歸思想的運用\.現(xiàn)代中學生(初中版),2021(20):15-16.

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