基于整體觀的等腰三角形單元教學設(shè)計

潘麗莎

【摘? 要】? 教師在使用教材時要充分尊重但不能盲從，必要時需對教材內(nèi)容的編排進行優(yōu)化設(shè)計，以滿足學生的理解及思維發(fā)展需求，落實學科素養(yǎng).等腰三角形單元的課堂教學容易出現(xiàn)內(nèi)容割裂、銜接不自然、活動安排突兀的問題，為了避免出現(xiàn)知識呈現(xiàn)碎片化、探究操作淺表化的問題，教師就要運用整體觀理解教材的編排思路、尋找邏輯關(guān)系，從整個知識體系上把握呈現(xiàn)順序，必要時需對課時內(nèi)容進行適當調(diào)整.

【關(guān)鍵詞】? 初中數(shù)學；教材優(yōu)化；課堂教學

1? 問題的提出

近期，筆者連續(xù)聽了兩節(jié)等腰三角形的軸對稱性第三課時的課堂教學.教材是蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書·數(shù)學》八年級上冊“2.5等腰三角形的軸對稱性”.經(jīng)過對教學過程的觀察，發(fā)現(xiàn)其教學中存在一些問題.進一步研究發(fā)現(xiàn)，教材內(nèi)容的呈現(xiàn)方式深深地影響著教師的教學行為.經(jīng)過深入研究，發(fā)現(xiàn)對教材中的這部分內(nèi)容的編排和設(shè)計可以做優(yōu)化和重構(gòu).

2? 課例研究

2.1? 兩個課例的教學基本思路

（1）復習回顧，知識再現(xiàn)

提問：上節(jié)課我們學習了什么？（如何判斷一個三角形是等腰三角形？）

通過復習，喚起學生的記憶，引出第一個主題：應用判定方法解決問題.

（2）例題示范，變式拓展

教師給出書本第64頁的例題2：

已知：如圖1，∠EAC是△ABC的外角，AD平分∠EAC，AD∥BC．求證：AB＝AC．

首先教師示范分析問題的方法和途徑，并示范證明過程.其次，利用教科書上的思考環(huán)節(jié)，進行變式教學，追問你能否改變條件或結(jié)論，形成新的問題？教師最后歸納.

（3）折紙活動，操作探究

教師按教科書的設(shè)計程序要求學生先操作折紙，嘗試把一張直角三角形紙片按圖2—5要求折疊，拋出第二個主題：探究——猜想直角三角形斜邊中線的性質(zhì).

（4）演繹推理，歸納性質(zhì)

教師引導學生將猜想的結(jié)論進行分析并證明，簡要寫出過程.兩位教師一個是按照教科書的構(gòu)造方法加以證明的，即在∠C的內(nèi)部做∠BCD=∠B，然后證明∠ACD=∠A，此時說明了兩條折痕交于一點的原因，從而歸納出直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).另一個教師是由折疊得到線段BD=CD，得出∠BCD=∠B，利用等角的余角相等得∠ACD=∠A，從而知道AD=CD.

（5）應用性質(zhì)，歸納總結(jié)

2.2? 課例中存在的問題

（1）知識呈現(xiàn)碎片化

課下與這兩位教師所在的備課組座談交流，他們均表示，這一節(jié)課內(nèi)容不好銜接，第二個教學環(huán)節(jié)讓學生感到很突然，前面應用等腰三角形的判定解決問題，后面突然繞道直角三角形折紙，不能自然、合理的進行數(shù)學思考.他們認為例2的作用僅是等腰三角形判定方法的應用，隨后的變式就是為了歸納一種基本圖形：角等分+平行=等腰三角形.而后半程的直角三角形性質(zhì)的探索與前面沒有關(guān)聯(lián).

（2）操作探索淺表化

課例中的教學第二環(huán)節(jié)，兩位教師都說：請同學們拿出課前準備的直角三角形紙片，按書本的方法進行折疊.這種淺表化的實驗操作源于教師沒有深入思考為什么這個環(huán)節(jié)要安排在等腰三角形的判定應用之后？研究直角三角形的斜邊中線性質(zhì)與等腰三角形的有機聯(lián)系是什么？為什么要折疊？為什么要這樣折疊？為什么拿出的是直角三角形紙片？而不是其他斜三角形的形狀？如何銜接？

3? 剖析原因

3.1? 融入整體理解教材

在教師的眼里之所以本節(jié)課內(nèi)容割裂、沒有關(guān)聯(lián)，其原因之一在于教師.教師沒有從單元的整體結(jié)構(gòu)研究本課時的作用，沒有前后聯(lián)系找到合適的呈現(xiàn)順序，更沒有基于學生已有知識經(jīng)驗自然生成，只是教教材.

《課標》要求：“把每堂課教學的知識置于整體知識的體系中，注重知識的結(jié)構(gòu)和體系處理好局部與整體的關(guān)系，引導學生感受數(shù)學的整體性”.在實施教學時，教師要處理教材、學生、學習環(huán)境幾個要素的關(guān)系.備教材應站在整體的高度上理解教材.蘇科版教科書中本單元是以等腰三角形為主題，而等腰三角形的研究又在軸對稱的大體系之下.如果從這種關(guān)聯(lián)性出發(fā)，則需要設(shè)計與軸對稱、等腰三角形有關(guān)的問題鏈條形成研究路徑，讓學生沿著等腰三角形的研究路徑，自然合理地發(fā)現(xiàn)問題，而不是突然地動手折紙、探究.所以教師需要以系統(tǒng)和整體的觀點思考，從軸對稱的視角、依托等腰三角形的性質(zhì)及判定來籌劃、制定本節(jié)課的教學設(shè)計.

3.2? 重審教材編排思路

但若深究原因，兩位教師不在同一學校，課前沒有溝通，但教學設(shè)計的程序卻相似，出現(xiàn)的問題也是一樣的.那么他們的困惑來源于哪里呢？這要回到教材里找原因.

“教材對教師的教學行為具有重大影響，教材的編寫責任重大，需要不斷研究并改進教材的建設(shè)，使之能承擔起引領(lǐng)教師的數(shù)學教學，促進數(shù)學教學發(fā)展現(xiàn)實的核心素養(yǎng)，落實數(shù)學育人的使命.”對于等腰三角形的軸對稱性，不同版本的教材都是放在軸對稱的體系下，體現(xiàn)了應用軸對稱來研究新問題的編寫意圖.而直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)有的版本是在等腰三角形單元里研究（蘇科版），有的版本放在特殊的平行四邊形之后學習（人教版、北師大版），有的版本是將直角三角形自成單元研究（滬教版、浙教版）.按《課標》要求，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是放在全等和軸對稱圖形的研究的后面，明確運用全等、等腰三角形知識探索并證明這個性質(zhì).不同版本教材對于直角三角形的性質(zhì)探索方式基本有兩種：一種是直接給出定理內(nèi)容，讓學生加以證明；另一種是設(shè)計操作性研究，體現(xiàn)定理的探索過程.無論哪一種呈現(xiàn)方式，證明的思路都是利用構(gòu)造全等圖形、構(gòu)造角的轉(zhuǎn)化思想，與等腰三角形并無緊密、直接關(guān)系.這是造成教師邏輯鏈斷裂的原因，所以不能自然合理的探索直角三角形斜邊上的中線性質(zhì).

4? 對本單元內(nèi)容設(shè)計的改進建議

4.1? 反思編排順序

重新審視本單元的教材，可以調(diào)整編排順序：第三課時的例2可以前置于第二課時的等腰三角形的判定里學習，原第二課時里的等邊三角形是特殊的等腰三角形，可以作為更特殊的軸對稱圖形放在第三課時學習研究，原第三課時的直角三角形性質(zhì)作為可轉(zhuǎn)化成軸對稱圖形的特殊圖形去探究.即第一課時等腰三角形性質(zhì)及應用探究，第二課時等腰三角形判定方法探究，第三課時等邊三角形探究，第四課時直角三角形探究.

4.2? 基于整體觀的設(shè)計

站在軸對稱知識的體系中，作為等腰三角形研究的自然延伸，運用數(shù)學實驗研究方法，對于直角三角形探究設(shè)計建議如下.

課題? 直角三角形探究

課前準備? 如圖6中的等腰三角形紙片、直角三角形紙片各一張、斜三角形紙片兩張.

問題設(shè)計：

（1）拿出一張等腰三角形紙片①，將其翻過來，仍舊和原圖形重合；為什么？

（2）拿出一張其他三角形紙片②③④，將其翻過來，與原圖形重合嗎？為什么？能否把它們進行分割再翻過來與原圖形重合？

思考下面的問題：

（3）能否剪一刀，將紙片②③④剪成兩個三角形，其中一個是等腰三角形？

（4）在第3問的基礎(chǔ)上，觀察另一個三角形的形狀.說出你的發(fā)現(xiàn).

（5）比較同組其他同學，你們的發(fā)現(xiàn)一樣嗎？

（6）紙片②③有沒有這種特殊性？請討論研究“所有的直角三角形都能有這種特性”嗎？為什么只有直角三角形可以？

（7）回顧剪紙過程，將剪開的三角形再拼合成原圖形直角三角形紙片④，觀察分割線的特點并思考，能證明另一個三角形的形狀嗎？引導學生在練習本上畫圖，獨立思考、證明.繼而歸納性質(zhì).

（8）經(jīng)過證明剪出的兩個三角形都是什么形狀？此時的紙片④，經(jīng)過分割，再把每一部分翻過來可以與原圖形重合嗎？

（9）思考：紙片②③能否經(jīng)過分割，再把每一部分翻過來，與原圖形重合嗎？學生再次動手操作.

（10）如果給你一張任意四邊形紙片呢？學生嘗試實驗，展示方法.

5? 結(jié)語

通過上述探究過程，把直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)、提出、證明過程融合到軸對稱的框架下的等腰三角形的深化研究活動中，體現(xiàn)了探索三角形形狀就要研究其構(gòu)成的要素的數(shù)量關(guān)系.這樣，既可以讓學生經(jīng)歷自然合理的觀察、動手、發(fā)現(xiàn)、歸納的抽象過程，又是幾何圖形研究的一般路徑的再現(xiàn)，有利于發(fā)展學生的數(shù)學探究意識、積累思考活動經(jīng)驗.

【本文是江蘇省中小學教學研究課題2021年度第十四期重點課題《初中生數(shù)學建模素養(yǎng)培育實踐研究》（2021JY14-ZB83）階段性研究成果之一】

參考文獻：

［1］中華人民共和國教育部.義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）［S］.北京：北京師范大學出版社，2012.

［2］吳增生.三角形中位線定理教材設(shè)計之我見［J］.中國數(shù)學教育（初中版），2018（23）：3-5+10.

［3］章建躍.從整體上把握好教學內(nèi)容［J］.中小學數(shù)學（高中版），2010.3.封底.

［4］王紅權(quán) 李馨.從系統(tǒng)的觀點看一元二次方程的解法教學設(shè)計［J］.數(shù)學教育學報，2019，28（03）.94-97.